DE


ONBEMINDHEID


DER


WISKUNDE


REDE,


gehouden bij de overdracht van het Rectoraat
der Rijks-Universiteit te Groningen,
op Maandag 20 September 1926.



Aanvullende gegevens:
J.A. Barrau, De onbemindheid der wiskunde, Groningen: Wolters (1926)
Oorspronkelijke redevoering overgenomen uit het Jaarboek der Rijksuniversiteit Groningen (1925-1926), pp. 9-25; zonder voetnoten.


MIJNE HEEREN CURATOREN, DAMES EN HEEREN PROFESSOREN,
LECTOREN, PRIVAAT-DOCENTEN, STUDENTEN EN VERDERE
BELANGSTELLENDEN,


ZEER GEACHT GEHOOR!

Vele jaren geleden gaf een aan eene onzer Universiteiten benoemd hoogleeraar in de Oude Letteren aan zijne inwijdingsrede den titel: ,,de literarum veterum amicis et inimicis'', ,,over de vrienden en de vijanden'' -- wij modernen zouden allicht nuanceeren ,,vóór en tegenstanders'' -- der oude letteren.
Zou er reden bestaan ook iets te zeggen ,,over de vrienden en de vijanden'' der wiskunde? Zoo wij het uitzicht niet beperken tot de universitaire sfeer alleen, zeer zeker.
Vriendschap en vijandschap jegens de wiskunde aan onze middelbare scholen zijn zoo oud als deze inrichtingen zelf en er zal wel niemand onder u zijn, die door deze mededeeling als door eene opzienbarende onthulling wordt getroffen.
Vriendschap -- ik spreek van het standpunt van den leerling, de meening der ouderen, met hoeveel gewicht ook uitgesproken, met hoeveel invloed ook doorgezet, veelal beschouwend als naklanken uit eigen jeugd of als versterkend medeklinken met wat de omringende jeugd verkondigt -- vriendschap voor het vak, waarin nu eindelijk eens het criterium van goed of fout niet in het bloote machtwoord van den leeraar ligt, waar geene loerende uitzondering ons trouwhartig steunen op den regel te schande maakt, omdat de uitzondering even klaarblijkelijk is als de regel zelve, waar het aanleeren en onthouden bijna restloos wordt vergemakkelijkt door nadenken en begrijpen.
Vijandschap tegen het ,,inpompen'' van gewrongen en gekunstelde bewijzen voor stellingen, die, als ze eenvoudig zijn, van zelf schijnen te spreken, doch welker inhoud onbelangwekkender wordt, naarmate de ingewikkeldheid toeneemt -- het is waarlijk de voor het leven minstbelovende leerling niet, die op de vraag, waarom één zijde van een driehoek kleiner is dan de som der beide andere, zeer onwiskundig antwoordt: ,,natuurlijk, omdat een omweg een omweg is''! Verzet, en het gevoel, unfair te worden bejegend, als het succes van zulk leeren zal worden beoordeeld door middel van vragen, welker beantwoording berust op de oplossing van een niet vooraf vertoonde puzzle of de vondst van eene niet eerst voorgedane kunstgreep, vragen nogal over getallen zonder leven en figuren zonder bruikbare beteekenis; verzet, dat juist bij deze afgetrokkenheden met nog meer klem dan bij andere [pag. 10] vakken de eisch wordt gehandhaafd, dat elk gewenscht onderdeel van het vroeger geleerde op elk gewenscht oogenblik moet kunnen worden te pas gebracht. En wrevel, dat men zich, onder het voorwendsel, dat het ons verstand zal scherpen -- eene uitwerking, waarvan men eer het tegendeel bespeurt -- aan dat alles heeft te onderwerpen, ook als men beoogt iets te worden, waarbij geene wiskunde, of althans niet in zoo gezochten vorm, van noode is.
Hoe de aantallen der stemmen van vriend en vijand onder de vele tienduizenden in Nederland, die door de spitsroeden der schoolwiskunde zijn gegaan, zouden uitvallen, moge twijfelachtig zijn, zeker is, dat terwijl de stem der voorstanders geene aanleiding heeft, zich ongevraagd te doen hooren, de andere stem zich telkens weer luide verheft -- en volkomen terecht, indien het waar zou zijn dat een groot deel onzer jongens en meisjes jaren lang aan eene noodelooze en nuttelooze kwelling van het denk- of van het geheugencentrum wordt onderworpen.
En het is verklaarbaar en natuurlijk, dat gretig wordt geluisterd naar nu en dan opklinkende verzekeringen van meer of min deskundige zijde, dat deze of gene ingrijpende wijziging van voordracht of methode wonderen zou uitrichten, dat zich accommodementen met den mathematischen hemel laten treffen, dat niet in de wiskunde zelf, maar in de wiskundige, of overdreven wiskundige, behandeling der wiskunde het groote euvel schuilt.
Waarop dan het wederwoord luidt, dat het suaviter in modo ten allen tijde met alle liefde behoort te worden betracht, maar dat van het fortiter in re niets, maar dan ook niets, mag worden prijsgegeven.
Ten onzent heeft deze oude en onvermijdelijke strijd thans geleid tot het instellen eener ,,Commissie, belast met het onderzoek naar den toestand van het wiskundeonderwijs op de H. B. S. met 5-jarigen cursus'', welke commissie reeds een tweetal zeer lezens- en behartigenswaarde mededeelingen heeft gepubliceerd, wel is waar, als ik mij zoo eens mag uitdrukken, nog niet sprekend over de vrucht: het onderwijs, ook niet over stam en takken: het leeraarscorps en de leeraren, doch over den wortel: de opleiding tot dat ambt -- een begin dus van veelbelovende grondigheid.
Den strijd over de wiskunde vinden wij op hooger plan dan het middelbaar onderwijs, doch even onvermijdelijk, smeulend of laaiend terug bij het technisch hooger onderwijs in buiten- en binnenland. Veel of weinig, doorgrondend of bloot kennisnemend, als samenhangend geheel of tot in zwang zijnde toepassingen beperkt, te onderwijzen door een volbloed wiskundige of te doceeren door een rasecht ingenieur --. ziedaar twistpunten genoeg!
Edoch, de plaats waarvan en de gelegenheid waarbij ik heden het woord tot u richt brengen niet mede, dat ik u verder zou verdiepen in aard en omvang van de rol, welke de wiskunde epeelt of behoort te spelen aan Burgerschool of Technische Hoogeschool -- is er ook sprake van ,,vrienden en vijanden'' der wiskunde in onze eigen, de universitaire` sfeer?
[pag. 11] Ik geloof, néén.
Er is niemand onder u, die de wiskunde hare zoo eigenaardige en afzonderlijke plaats in de rij der wetenschappen misgunt, haar aangewezen nagenoeg geheel vóóraan, of onderaan zoo gij dat bescheidener gezegd vindt, onmiddelijk volgend, of onmiddelijk rustend dan, op de soevereine logica zelve.
Tot voor twintig jaar althans -- want sindsdien maakt zij, bij monde van een harer meest gezaghebbende vertegenwoordigers, aanspraak op de plaats gehéé1 vooraan, beschouwt zich als ,,onafhankelijk van de zoogenaamde logische wetten'' en kent zichzelve eene soevereiniteit toe, die niet ontspringt uit de wet, doch waaruit de wet ontspringt.
Afziende echter van deze jongste troonsaansprask, die ik straks nog zal hebben te bespreken, herhaal ik niet te gelooven, dat een van u aan de wiskunde de haar van ouds ingeruimde plaats wil ontzeggen, eene plaats in den onderbouw van den toren der wetenschappen, waar zij is dragende, doch niet gedragen, dan door den algemeenen bodem van rede en verstaan -- wij mogen dien dan betrouwbaar of calamiteus achten --, dienstbaar, doch geene dienstbaarheid vergend.

En toch . . . . . Ik wil mij eens verbeelden, dat mij door de aanwezigheid van zoovele van de beroemdste psychologen der wereld in onze stad het vermogen was deelgeworden, de stemming te peilen, waarin gij u zooeven hebt opgemaakt tot het aanhooren eener redevoering over . . . de wiskunde.
Wat ik dan peil, is eene diepte van doffe gelatenheid, zij het ook door eene volmaakte, waarlijk bewonderenswaardige hoffelijkheid, die ik in de allerhoogste mate waardeer, gecamoufleerd.
Vanwaar, indien de mijzelf toegefantaseerde zienersgave mij niet bedriegt, en ik geloof niet, dat zij dat doet, vanwaar, ook bij eene intellectueele élite, die het goed recht der mathesis ten volle erkent, die onbemindheid der wiskunde ?
In hare moeilijkheid kan nu de verklaring niet liggen, elke andere wetenschap stelt even moeilijke problemen, die juist de scherpzinnigsten en volhardendsten het meeste lokken, en met elke andere wetenschap heeft de wiskunde gemeen, dat zij, zoo bij haren beoefenaar de heilige vonk slechts gloeit, vragen in overvloed voorlegt, aangepast aan den aard en de draagkracht van ieders vernuft.
En eene smalende toespeling op hare puzzles en kunstgrepen verwacht ik niet van u, die te vaak op eigen gebied den innerlijken samenhang van losse of verbrobkelde gegevens door stelselmatig en overleggend beproeven hebt gevonden -- de puzzle, Bn die hebt ervaren hoe eene, langen tijd hardnekkig gebleven, moeilijkheid kan wijken voor dat plotselinge, schijnbaar meer ondergane dan gedane, flitsen der gedachte, dat is de ingeving, de vondst, de kunstgreep -- what's in a name?

Vanwaar de onbemindheid der wiskunde ook onder geleerden, teekenender en veelzeggender dan hare impopulariteit bij het grootere publiek?
[pag. 12]Zoo ze niet te wijten is aan hare methoden, die niets afwijkends of ongewoons vertoonen -- puzzle en kunstgreep immers -- aan haren inhoud dan ?
Inderdaad, of eigenlijk: nog erger!
Wat men de wiskunde verwijt is juist haar gemis aan een zakelijken, daadwerkelijken inhoud: de horror matheseos is een horror vacui. In bijna elke andere wetenschap erkent men een geleerd dóórdringen in de geheimen van dingen, die ook ongeleerd bestaan -- de, dusgenaamd abstracte, objecten van het wiskundig onderzoek echter schijnen alleen door wiskundige geleerdheid met groot vernuft, doch even groote willekeur, te kunnen worden ineengezet, waarna diezelfde geleerdheid eene pijnlijke, en dan nog vaak vergeefsche, moeite besteedt aan de taak ze weder te ontleden.
Nagenoeg elke andere wetenschap spreekt over dingen, waarover ook de oningewijde op zijne wijze spreekt, en mededeelingen uit deskundigen mond hebben aldus ook voor den niet-medevakman, los van de zuiver wetenschappelijke, op zijn minst eene zekere, ik zou willen zeggen anecdotische waarde -- die de theorema's der wiskunde hopeloos schijnen te derven.
De instemming, die deze verklaring mogelijkerwijze bij u vindt, moge eene aanwijzing ervoor zijn, dat de richting waarin wij ze zochten de goede is, ze mag ons van onbevooroordeeld verder toetsen niet ontheffen.
Zoo zou het billijk zijn, eens te luisteren naar vaktermen, uitdrukkingen en begrippen in de vele andere leerzalen onzer faculteiten dagelijks gebruikt, en het gehalte aan abstractie te wegen, dat ze open of verholen met zich dragen. Of dat nimmer zwaarder zou blijken dan bij eene figuur of bij eene formule?
Maar een schoenmaker houde zich bij zijne leest, ik zal mij dus houden bij mijne wiskunde en een tweetal vragen stellen over deze zelf.
Bezit zij in het geheel geene anecdotische waarde?
en
Vervaardigt zij inderdaad zicbzelf in vrije willekeur haar eigen onderwerp, zijn hare resultaten bedenksels, geene ontdekkingen?

De eerste vraag is eigenlijk van statistischen aard: wij zouden eene enquête moeten instellen naar het mathematisch amateurisme en nagaan aan welke onderwerpen dit zijne aandacht schenkt.
Bij gebreke daarvan moeten wij ons tevreden stellen met te zien naar den inhoud van voor amateurs bestemde boeken, welker publicatie een schrijver en, wat meer zegt, een uitgever aandurfden; zoo de vier deelen Récréations mathématiques van Lucas, of, beknopter, de Mathematical Recreations and Problems van Ball en de Mathematische Unterhaltungen und Spiele van Ahrens.
Onze bevinding is zeer merkwaardig.
De honderderlei kunststukjes en spelletjes, met merkwaardige geheele getallen en toovervierkanten, met lucifers, speelkaarten en dominosteenen, op schaak- en dambord zelf of op hunne reelsoortige varianten, over [pag. 13] bruggen, die de oevers en de eilanden eener vertakkende rivier verbinden en door de gangen en sloppen van een doolhof, vanaf het overzetten van wolf, geit en kool tot het kleuren eener landkaart met zoo weinig mogelijk kleuren, zoo dat toch elk tweetal aangrenzende landen verschillend van kleur wordt, ze behooren alle tot het genre van de puzzle, dat wil zeggen, dat het stelselmatig verrichten van een eindig, zij het soms ook geweldig groot, aantal pogingen met zekerheid alle oplossingen verschaft, dan wel beslissend uitmaakt, dat geene oplossing mogelijk is.
Al vormen echter deze door de smakelijkste inkleeding gekruide en onder de bloemrijkste benamingen opgedischte raadsels en raadseltjes van het puzzle-type het hoofdgerecht, het type kunstgreep ontbreekt niet geheel en al.
Het is vertegenwoordigd wanneer wordt gevraagd de stelling van Pythagoras te bewijzen, door het vierkant op de schuine zijde in stukken te verdeelen, waarmede men juist de vierkanten op de rechthoekszijden kan opvullen. En dit stuksnijden van veelhoeken en op andere wijze samenvoegen der deelen levert nog vele verrassingen, waarvan de oplossing, zoo ten minste de deellijnen moeten worden gezocht, boven de oplossing van een puzzle uitgaat, daar geen eindig aantal pogingen de wijzen, waarop een veelhoek kan worden verdeeld, vermag uit te putten. Anders wordt dit weder, als de deellijnen gegeven zijn, als dus de veelhoek uit eenige losse stukjes van steen of hout bestaat, die tot voorgeschreven figuren moeten worden vereenigd, nu voert weder stelselmatig beproeven met zekerheid tot het doel.
Gij hebt reeds opgemerkt, dat de ,,recreaties'' van het kunstgreeptype een veel kennelijker ,,wiskundigen'' indruk maken dan de zuivere puzzles, wij zullen ook nog hebben onder het oog te zien, in hoe verre deze dat predicaat verdienen.
Maar gij wilt mij intusschen de opmerking veroorloven, dat puzzle en kunstgreep blijkbaar als tijdverdrijf en ontspanning bekoring hebben voor wellicht dezelfden die haar optreden in de school verfoeien -- eene opvatting, waartegen in zooverre geen bezwaar kan worden gemaakt, dat iets wel op zijne plaats kan zijn in de huiskamer, dat niet past in het leslokaal. Of zou de weerzin tegen de schoolwiskunde er ook een zljn als die tegen ,,toujours perdrix''?
Onmiskenbaar, schoon dan eenigszins averechts, wiskundig zijn ook de drogbewijzen voor foutieve stellingen: ,,8 × 8 = 5 × 13'' of ,,elke driehoek is gelijkbeenig'', waarin de corrupte schakel moet worden gezocht; goed wiskundig weder de bij voortduring door amateurs in den wind geslagen raadgevingen, geen tijd en moeite te verkwisten aan het oplossen van problemen, welker onoplosbaarheid vaststaat: het bewijzen van het evenwijdigheidspostulaat van Euclides, de verdubbeling van den kubus, de driedeeling van den hoek, de constructie van den regelmatigen zeven-, of negen-, of elfhoek of van een driehoek uit zijne drie bissectrices en last not least de kwadratuur van den cirkel, van welke het aan Arago was opgevallen, dat ze in het voorjasr vaker wordt [pag. 14] ontdekt dan in de andere jaargetijden. En een bord, ditmaal niet met het opschrift: ,,afgrond'', maar wel, gezien de talrijke verongelukten uit goed intellectueele kringen, met de waarschuwing: ,,gevaarlijke helling'' mocht ook wel worden geplaatst bij het laatste theorema van Fermat, waarvan tot nu toe noch de onjuistheid, noch de juistheid bewezen is. Die echte puzzles dan, is dat nu wiskunde?
Zeker niet wiskundig, ook niet bij toevallig slagen, is hunne oplossing op goed geluk, door zoeken in het wilde, zonder herkenning van reeds eenmaal ingeslagen paden of zonder waarborg, dat geen zijweg kan zijn over het hoofd gezien
Wordt echter bij het zoeken aan den eisch van stelselmatigheid en volledigheid voldaan, worden recepten gevonden, die voor geheele categoriën van door welbepaalde kenmerken onderscheidbare gevallen gelden, dan is reeds, volgens den gangbaren zinsinhoud van het woord, de wiskunde aan het werk. Dan blijken ook alras de toepasbaarheid van bepaalde mathematische technieken, de leer der permutaties en combinaties allereerst met de theorie der groepen van eindige orde, en de samenhang met op het eerste gezicht geheel verschillende problemen, waarvan de combinatorische kern dezelfde is. Doch liever dan deze verzekering in het afgetrokkene uit te werken, zal ik ze met een paar voorbeelden illustreeren.

Indien ik u de definitie geef van een tripelsysteem van N elementen als een stelsel, zoo dit mogelijk is, van 1/6N(N - 1) verschillende drietallen uit die elementen gekozen, zoodanig, dat de 1/6N(N - 1) × 3 paren elementen, die men aan die drietallen (aan elk drietal drie) kan ontleenen, juist de ½N(N - 1) mogelijke paren der N elementen zijn, en u dan opdraag, alweder zoo het mogelijk blijkt, de drietallen van een tripelsysteem te verdeelen in ½(N - 1) stellen van 1/3N tripels elk, zoodat in elk stel van 1/3N tripels juist alle N elementen vóórkomen dan zal u die opdracht hoogstwaarschijnlijk met weinig geestdrift vervullen. Maar dit verandert, wanneer ik u voor eene bepaalde waarde van N, namelijk 15, dezelfde vraag voorleg in de inkleeding, waarin Birkman ze in The Lady's and Gentleman's Diary voor het jaar 1850 publiceerde:
Vijftien kostschoolmeisjes gaan dagelijks wandelen in vijf rijtjes van drie. Gevraagd wordt, het wandelrooster voor eene week te ontwerpen zóó, dat geen meisje in den loop der week tweemaal met hetzelfde andere in ééne rij loopt.
Allicht wilt gij als tijdverdrijf dit eens beproeven, en ik zie met inwendig genoegen toe, hoe gij het bij die poging, die vrij spoedig succes heeft, niet noodig acht, de meisjes bij haren naam te noemen, Anna, Bertha, Corrie, . . . . , neen, stomme letters, die niets liefelijks suggereeren, a, b, c, . . . . zijn u voldoende -- eerste stap op het pad der abstractie, welks bewandeling ons, wiskundigen, vroeg of laat de sympathie onzer medemenschen doet verliezen.
Gij hebt dan eene oplossing gevonden; welnu, hoevele verschillende oplossingen, waarbij bloote verwisseling van wandelvoorschrift voor de [pag. 15] dagen der week onderling niet als nieuwe oplossing wordt beschouwd, zijn in het geheel mogelijk?
Deze vraag, sinds 1850 door menigeen reeds opgevat en losgelaten, werd eerst beantwoord in een proefschrift, in 1917 aan onze Universiteit verdedigd en, zoo het antwoord uwe weetgierigheid prikkelt, wil ik het u gaarne mededeelen, het is 404.756.352.000, alleszins voldoende dus, om belanghebbende pensionaten voor langen tijd van wandelroosters te voorzien. En dit antwoord is niet zóó bedoeld, dat men in het veen der milliarden op het turfje van een enkel duizendtal niet moet zien, neen, het is tot de eenheid gewaarborgd correct.
De volledige toerusting kunnen gegadigden zich verschaffen door het copiëeren van slechts een zevental roostertypen. Is toch zulk een type opgesteld in de elementen a, b, c, . . . . dan kan men de eerste week aan Anna de rol van het element a toebedeelen, aan Bertha die van b, aan Corrie van c enzoovoort. De volgende week zal Bertha eens a zijn . . . . , in het geheel kunnen de 15 meisjes aldus op 15 × 14 × 13 × . . . . × 3 × 2 × 1 = 1.307.674.368.000 verschillende wijzen voor de 15 letters inspringen. Dit wil nu niet zeggen, dat uit. dat roostertype evenzoovele verschillende roosters ontstaan. Wandelen bijvoorbeeld de eerste week Anna, Bertha en Corrie als a, b, c op Zondag in eene rij, doch is de volgende week Bertha a, Corrie b, Anna c, dan wandelt dat drietal meisjes, ondanks de letterverwisseling, op Zondag weer te samen, het tripel Anna, Bertha, Corrie is tegen die verwisseling bestand, is invariant. Zoo kan, en zal inderdaad, het geheele roostertype (zij het ook onder verwisseling van wandelvoorschrift voor dagen der week onderling, doch dat beschouwden wij niet als eene andere oplossing) invariant zijn voor eene dusgenaamde ,,groep'' van eenige bepaalde verwisselingen en door het aantal verwisselingen, waaruit die groep bestaat, moet ons billioen worden gedeeld om het aantal verschillende roosters van dat bepaalde type te verkrijgen.
De volledige oplossing van Kirkman's puzzle in het bedoelde proefschrift bestaat nu uit:
de opstelling der zeven typen;
de vaststelling der groep van elk type -- van de zeven typen blijken er twee voor 168, twee voor 24, twee voor 12, een voor 21 verwisselingen invariant;
het bewijs, dat geen achtste type mogelijk is.
Reeds in 1862 bezat een oplosser alle zeven de typen, doch door onbekendheid met de groepeigenschap publiceerde hij acht gevallen, waaronder een type tweemaal voorkwam. In 1912 publiceerde een andere oplosser elf gevallen, waaronder vier type-duplicaten. Zonder de kennis der groep was het berekenen van het totale aantal oplossingen onuitvoerbaar -- met die kennis is het een eenvoudig rekensommetje. Ligt er dan toch niet iets onbillijks in het sarcasme van Schopenhauer, dat een mathematicus iemand is, die een gezond been laat afzetten, omdat hij meent op een houten beter te kunnen loopen?
Maar genoeg van de 15 kostschoolmeisjes.
[pag. 16]Met eene andere bedoeling dan om u te doen zien hoe ook de charmantst geredigeerde puzzle gedoemd is in het dorre zand der mathesis te verdrogen, ditmaal om u te illustreeren hoe zulk een puzzle de kern kan zijn van vraagstukken van meer echt wiskundigen aard, wil ik u eene soort van opgaven beschrijven, die men onder den naam van tegeltableaux kan samenvatten.
Wij willen een vierkant, een vierkanten meter bijvoorbeeld, beleggen met tegels in verschillende kleuren, maar alle van een vierkanten decimeter, daarbij wat het te verkrijgen patroon aangaat, zorg dragende dat de eene of andere nader voor te schrijven regelmaat wordt in acht genomen.
Laten wij eerst met slechts twee klenren wergen, zwart en wit, en den eisch stellen, dat in elke rij, alsook in elke kolom, een vast aantal, bijvoorbeeld drie, zwarte tegels moeten voorkomen, terwijl verder elk tweetal rijen ten hoogste eenmaal een zwarten tegel mag vertoonen in dezelfde kolom (dus ook elk tweetal kolommen in dezelfde rij). Tableaux die door verwisseling van rijen onderling en kolommen onderling, of van de rijen met de kolommen, zooals bij een kwartslag draaien, in elkander overgaan, zullen wij weder van één type noemen.
Het onderzoek leert, dat er tien typen zijn; een ervan, het zoogenaamde cyclische, kan zeer eenvoudig worden verkregen door in de bovenste rij den eersten, tweeden en vierden tegel zwart te nemen en deze figuur in elke volgende rij ééne plaats naar rechts op te schuiven.
Welnu, het ontwerp van zulk een tegelvloer vinden wij terug in de meetkundige dusgenaamde configuraties, bestaande uit tien verschillende punten en tien verschillende rechte lijnen in het platte vlak, zoodanig dat elke van die tien lijnen door drie van die tien punten gaat en elk dier punten op drie van de tien lijnen ligt -- eene opgave, die men in huiskamerredactie kan brengen door te verlangen dat tien boompjes zullen worden geplant op tien rijtjes van drie. De eenvondigste wijze om eene dergelijke configuratie (103) meetkundig te ontwerpen bestaat in het teekenen van een viervlak, waarvan alle zijvlakken, zoo noodig verlengd, door een vijfde vlak worden gesneden: de teekeningen van de tien snijlijnen der vijf vlakken paarsgewijze worden dan de tien rechte lijnen, de tien snijpunten van de vijf vlakken drie aan drie leveren de punten der configuratie -- het type van deze naar Desargues genoemde figuur is echter niet het zooeven genoemde cyclische.
Waarin bestaat nu het verband van configuratie en tegelpatroon? Men behoeft slechts met de punten der figuur de rijen, met de lijnen der figuur de kolommen van het vloertje te laten correspondeeren en een zwarten tegel te leggen op de snijding van rij en kolom dan, en dan alleen, als het correspondeerende punt op de correspondeerende lijn ligt, de overige plaatsen met een witten tegel beleggend; elke configuratie levert aldus een ondubbelzinnig door haar bepaald plaveiseltype. Dat geen twee rijen tweemaal een zwarten tegel in dezelfde kolom vertoonen, is slechts de schematische vertolking van de eigenschap der figuur, dat geene twee punten op twee der rechten liggen [pag. 17].
Toch is het tegelvraagstuk niet gelijkwaardig met de configuratieconstructie, het is gelijkwaardig met het ontwerpen van een spoorwegnet voor tien diensten, die desnoods over wegen met kromlijnig tracé mogen worden onderhouden, doch zoodanig dat elke dienst op eene eigen iijn volgens een met een tableau overeenstemmend voorschrift, drie van tien willekeurig verspreid gelegen stations aandoet. Wat de constructie eener configuratie (103) méér verlangt, is de ligging der stations te kiezen zóó, dat de tien spoorlijnen, hoewel verschillend, toch alle rechtlijnig worden. Deze eisch is soms te zwaar, van onze tien tableaux kan er dan ook één niet in punten en rechte lijnen verwezenlijkt worden, dit recalcitrante type is niet het cyclische.

Stelt men aan een zwart-wit plaveisel van bijvoorbeeld zeven tegels in lengte en breedte, vier zwart en drie wit in elke rij en in elke kolom, nog den eisch, dat, welke twee men men ook kiest, van de vier zwarte tegels in die rijen er twee in overeenkomstige kolommen vallen, de twee andere niet, dan geeft het eene oplossing voor eene geheel andere meetkundige vraag.
Deze luidt: is het mogelijk de 27 = 128 hoekpunten van een maatpolytoop in de ruimte van zeven afmetingen in te deelen in 16 achttallen, zoodat elk achttal de hoekpunten vormt van een regelmatig simplex, welks middelpunt samenvalt met dat van het maatpolytoop? De bedoeling der vraag komt wellicht nader tot u als ik mededeel dat ze de analogie is van de eigenschap in onze ruimte, dat de acht hoekpunten van een kubus kunnen worden ingedeeld in twee viertallen, die de stellen hoekpunten zijn van twee elkander doordringende regelmatige viervlakken.
Noodig voor de analoge indeeling in eene ruimte van n afmetingen is, dat a een viervoud plus drie zij. Of deze voorwaarde voldoende is, is niet bekend, wel is dit voor eenige rijen van waarden van n bewezen, en aaneengesloten voor de veelvouden plus drie tot en met 35, maar niet voor elke dergelijke waarde. Ook is nog geene classificatie van oplossingstypen ondernomen.

Bonter dan zwart en wit wordt ons plaveisel, als we evenveel kleuren bezigen, als er tegels in lengte en breedte gaan, zij dit aantal n. De eisch zal zijn, dat in elke rij en in elke kolom elke kleur juist éénmaal zal voorkomen. Had men alle typen van zulke tableaux, dan zou men daarmede de groepen der ne Orde kunnen classificeeren, niet alleen de gewone, associatieve, welker classificatie een eind weegs verricht is, maar ook de niet-associatieve -- een nog onontgonnen terrein. En deze groepen zijn op hare beurt weder voor velerlei verderstrekkende wiskundige doeleinden dienstig.
Voldoen deze plaveisels nu bovendien nog aan den eisch, dat alle kleuren ook in elke der beide diagonalen verschijnen, dan bieden ze een hulpmiddel tot het opstellen van dubbele toovervierkanten, ,,carrés bimagiques''. Voor bijvoorbeeld n = 8 luidt deze opgave: schrijf in de 64 hokjes van een vierkant van aoht hokjes zijde de getallen van 1 tot [pag. 18] en met 64 zóó, dat niet alleen de som der getallen, die in eene rij, eene kolom of eene diagonaal staan, altijd dezelfde is, maar dat ditzelfde opnieuw geldt voor de som hunner kwadraten.

Als voorbeeld van een ,,puzzle voor twee personen'', elkander tegenwerkend om zelf te slagen, een spel dus, wil ik u noemen het nim, waaraan enkele jaren geleden twee onzer scherpzinnigste wiskundigen te samen eene studie wijdden.
De spelregel is als volgt: ,,Men heeft drie hoopjes lucifers. Om de beurt neemt ieder der spelers van een zelfde, bij iederen zet door hem te kiezen, hoopje een of meer lucifers weg (hij mag ook het geheele hoopje wegnemen). De speler, die het laatst wegneemt, wint.''
De oplossing is zuiver wiskundig, elementair en toch in het geheel niet voor de hand liggend. Kennen beide spelers ze, dan is ,,de aardigheid er af'', ze behoeven slechts de aantallen lucifers in de drie hoopjes te tellen om vooruit te weten of de eerste speler winnen of verliezen zal. Die ,,aardigheid'' schijnt dus niet zoozeer te liggen in het kennen der oplossing, als in het zoeken daarnaar -- een troostgrond, die de vaak als mistroostig gevoelde slechte oneindigheid der wetenschap zelf voor ons in eene goede moge verkeeren!

Natuurlijk is met al deze, reeds eenigszins klassieke, mathematische recreaties de belangstelling van niet-vakgenooten in de wiskunde niet uitgeput. Maar over het algemeen geldt voor haar wel zeer sterk het, wederzijdsch causale, onbekend, onbemind.
Zeer helder wordt dit dan ook ingezien door organisatoren van cursussen en voordrachten, door redacteurs der wetenschappelijke kolommen in tijdschrift en courant, die vrijmoedig hunne, op korten steel gesneden, bloemen te samen lezen uit de verborgenste hoeken van den veelkleurigen lusthof aller faculteiten, zich alleen zorgvuldig wachtend hoorder of lezer te bezeeren aan de droge stekels der mathesis.
Toch gebiedt de billijkheid het bestaan te erkennen van eene anonieme schaar van getrouwen, talrijker wellicht dan wij weten. Ik bedoel hen, die, blijvend op het niveau eener niet opwaarts voortgezette schoolkennis, uit liefhebberij nog eens eene driehoeksconstructie beproeven, een theorema of eene formule opsporen, onbekommerd om eenige prioriteit -- waarlijk wiskundig bezielden dus, die in bescheiden stilte de zuivere vlam der vereering brandende houden.

Ik stelde nog eene tweede vraag: beantwoordt de wiskunde aan iets werkelijks of broedt zij hersenschimmen?
Gij zult zeggen: deze vraag, al betreft zij de wiskunde, is zelve niet wiskundig, zij behoort op het terrein der bespiegelende wijsbegeerte en het antwoord zal afhangen van den gezichtshoek, waaronder de ondervraagde philosooph de dingen ziet, van het systeem, dat hij aanhangt, van de school, waartoe hij zich bekent. [pag. 19]
Ongetwijfeld.
Maar gij hebt daarmede uitgesproken en ik ben geneigd dat te beamen, dat er dus tusschen het terrein der wijsbegeerte en dat der afzonderlijke wetenschap eene grens loopt, aan weerszijden waarvan eene andere taal wordt gesproken, of dezelfde taal anderen klank en zin heeft.
Om geen misverstand te wekken moeten wij dus aan de eene of de andere zijde dier grens domicilie kiezen, ik doe dit door mijne vraag aldus te beperken: hoe dachten en denken de wiskundigen over de werkelijkheidswaarde van hun werk? -- wat dan op zijne beurt en in laatste instantie beduidt: hoe heb ik begrepen en hoe geef ik u weer, dat zij denken, of dachten.
De historici onder u willen mij wellicht toegeven, dat er altijd iets arbitrairs ligt in het verdeelen der geschiedenis in tijdperken, de historici doen dit echter steeds. Ik zal hun voorbeeld volgen en een drietal opvolgende zienswijzen onderscheiden.

De oudste, die vermoedelijk ook ieder individueel aanvankelijk aanhangt, is die der abstraheerende axiomatiek. Men telt en deelt de dingen, men ziet en bevindt, dat ze afstand en uitgebreidheid, vorm en grens hebben. Hun bijzondere materieele aard doet daarbij niet ter zake, hij wordt niet meer genoemd en voor de namen der dingen komen nieuwe immaterieele termen in de plaats: eenheden, vlakken, lijnen, punten. De dingen worden daarbij tevens van storende ruwheden gezuiverd, de vormen worden geïdealiseerd. De logische samenhang hunner arithmetische en geometrische eigenschappen wordt onderzocht en elk resultaat heeft den rang eener ontdekking.
De wiskundige vermeit zich in grootere en fijnere berekeningen dan te pas komen, in kunstiger en ingewikkelder vormen dan de werkelijkheid vertoont, maar vrees, dat zijn werk een waan zou zijn, komt niet in hem op, daar immers wat hij denkt en doet redelijkheid en bestaan ontleent aan de werkelijkheid zelve, waarvan het de geledigde huls is.
Mocht hij niettemin in wijsgeerige scrupules geraken, mocht hij in het bijzonder huiverig worden bij den limietovergang van de gegeven ruwe werkelijkheid tot het geïdealiseerde schema, dan behoeft hij slechts over de grens te gaan tot den wijsgeer, om te worden vertroost met de woorden, dat wat hij hield voor eene geledigde huls niet anders is dan een door hemzelf medegedragen gietvorm, waarin de werkelijkheid, za1 zij kenbaar worden, zich moet gieten.
De geldigheid van wiskunde en werkelijkheid voor elkander blijft daarbij dezelfde, elk zich voordoend geschil moet, zoo vertrouwt men onschokbaar, door nauwkeuriger waarneming eenerzijds, door het in rekening brengen van eerst verwaarloosde omstandigheden anderzijds op den weg eener steeds voortschrijdende verzoening kunnen worden gebracht en uiteindelijk verzoenbaar zijn. Hare eerste groote, stoutmoedige schrede, het onmeetbare getal, \/2 of [pi], deed de wiskunde dan ook onder den drang der werkelijkheid: de diagonaal van het eenheidsvierkant kan toch op de lengteschaal worden afgepast, en eene cirkelvormige [pag. 20] scbijf beslaat toch oppervlakte! Ook het negatieve getal wordt, eeuwen later, als de moeilijkheid der vermenigvuldiging wordt overwonnen, aanvaard.
Maar fel en hardnekkig is het wantrouwen bij de verschijning van het imaginaire getal, van \/(-1). Hoe nu, moet aan eene vierkantsvergelijking, als zij geene wortels heeft, een paar wortels, ,,onbestaanbaar'' dus a fortiori onbestaand, met geweld worden opgedrongen? Moeten wij ons laten wijsmaken, dat eene rechte lijn, die buiten een cirkel langs gaat, dien in eene soort van andere wereld tweemaal snijdt?

Ook in de staatkundige geschiedenis zijn er van die gebeurtenissen, die met voorliefde als grenspalen der tijdperken worden gekozen -- in de historie der wiskunde zou ik de invoering van het imaginaire willen aanzien als het evenement, dat de tweede era inluidt: die van de vrije, mits niet-contradictoire, axiomatiek.
Zooals in de historie, volgen dan alras andere voorvallen, die het stempel dragen van den nieuwen tijd, revisie van de zienswyze op het onmeetbare getal, het gebroken getal, het geheele zelfs, die ontwerkelijkt worden en vrijmachtig opnieuw gedefiniëerd, waarbij het den wiskundige gaat toeschijnen dat het onverschillig is of de dingen zijne beweringen believen te bevestigen of tegen te spreken, als deze maar met elkander rijmen. De meetkunde wordt met evenveel genoegen niet-Euclidisch als Euclidisch, meerdimensionaal als driedimensionaal, zij verloochent hare afkomst en noemt zich een hoofdstuk der algebra. Men hoort uitspraken als: ,,wiskunde is de leer der bewerkingen met eenheden van algemeenen aard'' -- bedoeld wordt: met eenheden zonder aard, of: ,,bestaan in de wisknnde wil alleen zeggen: vrij zijn van innerlijke tegenspraak'' en men bespreekt functien en geometrieën, die men zelf gekscherend ,,pathologische functien'' en ,,pathologische geometrieën noemt.
Haar hoogtepunt tot op heden bereikt deze era in de verzamelingenleer, die onbeschroomd, behalve vele andere gedurfdheden, getalklassen construeert van steeds hoogere oneindige machtigheid, rare mathematische brontosauren en pteranodons.
Statistisch gesproken, zoo men eene telling kon houden onder de huidige wisknndigen, leven wij volop in dat tweede tijdperk, al heeft men moeten ervaren, dat ongebreideld verzamelen tot hinderlijke paradoxen kan voeren. Gij hebt dus veel kans, dat de wiskundige van heden op onze tweede vraag tal antwoorden, dat zijne getallen en figuren met hunne eigenschappen inderdaad zl]ne verzinsels zijn, verstandige verzinsels. Hij stelt ze tot uwe beschikking, of ge echter zijne sommaties op iets van toepassing wilt achten, welker zijner geometrieën gij gebruiken wilt, ja, dat moet ge zelf maar uitmaken. Zooals hij ook, wanneer hij zich op toegepast terrein begeeft, uit het eigen arsenaal de wapenen kiest die hij hoopt, dat het best doel zullen treffen. Aan juistheid van zijn werk besteedt de wisknndige al zijne zorg, maar geldigheid naar buiten wordt niet gegarandeerd.
[pag. 21] Ik neem aan, dat aan velen van u de mathematici der Saturnische eeuw sympathieker voorkomen.
Geduld -- eene reactie teekent zich af, al kan men niet zeggen, dat zij dóórbreekt. ,,Terug naar de intuitie'' is hare leus en het meest beginselvast en overtuigd klinkt hare stem in de Amsterdamsche school. ,,Formalisme'' noemt zij de richting, die ik als ,,vrije axiomatiek'' bestempelde, omdat ik het billijk achtte elke partij den naam te geven, die uitdrukt wat den aanhanger bekoort, niet wat den tegenstander mishaagt. De nieuwe richting drage dus ook den titel, dien zij zichzelve geeft: intuitionisme.
Onder intuitie versta men echter niet al wat maar spontaan opwelt uit de diepte van het brein, neen, streng en scherp wordt aangevoeld wat dien naam wè1, wat niet mag dragen -- de koude formalist ziet hierin eene willekeurige zelfbeperking en spreekt allicht van ,,beperkt ééndimensionaal apriorisme''. Eéndimensionaal omdat oer-intuitie der wiskunde de tijdsintuitie zal zijn; beperkt omdat het verzamelen van, ook oneindig vele, elementen gebonden wordt aan den eisch, dat elk op te nemen element individueel zij geconstrueerd, het oneindig vele is toegankelijk door toelating van het ,,enzoovoort'', namelijk ,,enzóóvoort'', het ,,zóó'' moet een niet mis te verstaan voorschrift inhouden.
De intuitionist nu leert:
,,De wiskunde is eene vrije schepping, onafhankelijk van de ervaring; zij ontwikkelt zich uit eene enkele aprioristische oer-intuitie, . . . .''
en
,,Vervolgens het projecteeren van wiskundige systemen op de ervaring is eveneens een vrije daad, die in den strijd om het bestaan doeltreffend blijkt; het eene wiskundige eysteem kan daarbij practischer, ekonomischer blijken dan hetandere . . . .''
Aldus de beginselverklaring, hoe is nu de politiek?
Zij haalt eene streep door de hoogere machtigheden en door de befaamde paradoxen, eene streep door alle niet aan haren eisch voldoende verzamelarij, en daarmede valt menig dierbaar geworden begrip, menig vast betrouwd theorema, menige voor een bewijs gehouden redeneerwijze. Een streep ook door de onderworpenheid van wiskunde aan logica -- de logica herkrijgt slechts eene gedeeltelijke en voorwaardelijke geldigheid: gedeeltelijk, daar het beginsel van het uitgesloten derde haar wordt ontnomen, en voorwaardelijk, daar zij alleen toepassing heeft op de, nu gezuiverde, wiskunde.
Waarom bekeeren zich nu de mathematici niet in drommen tot de nieuwe leer? Ik zie daarvoor altijd weer de reden, die ik reeds noemde: wat zou moeten worden aanvaard als eene vlammende openbaring, de intuitie, wordt vriendelijk koel ontvangen met: ,,zeker, het staat óók vrij, het zóó aan te pakken''.
En de verdwijning der paradoxen, die pijnlijke splinters in den vingertop, wordt met amputatie aan een geheelen arm te duur betaald geacht, gehoopt wordt nog op eene minder energische chirurgie.
[pag. 22] Duidelijk komt de verwijdering tusschen beide standpunten uit aan het verschillend uitzicht dat zij bieden op een bepaald voorbeeld, in de intuitionistische school ineengezet om daaraan de nieuwe denkwijze te demonstreeren.
Ik bedoel het getal r.
Het wordt gedefinieerd met behulp van het getal [pi] = 3,1415926535... en verder. Aan dat verder is eene kleine chronique scandaleuse verbonden, hoort slechts de volgende, nog verkorte, lijst:
1706.Machin100decimalen, allegoed,
1841.Rutherford208,,, 152,, ,
1811.Clansen250,,, 248,, ,
1853.Rutherford440,,, allegoed,
1873.Shanks707,,, nietnader gecontroleerd.
Felix Klein was van meening, dat deze rekenwedstrijd zonder practisch of theoretisch nut alleen uit den sportieven lust in een record kon ontspruiten en daar schijnt wel iets van waar te zijn, als wij zien, dat een ander in de wiskunde optredend getal, e, zeer onlangs door Lehmer berekend werd in 707 decimalen ,,to match Shanks' last value for [pi]''. Toch heeft Lehmer's werk iets hoogere pretentie, vooreerst beschrijft hij sterke proeven, waaraan hij zijne berekeningen heeft onderworpen en verder legt hij nadruk op de snelheid zijner methode: de deeling, die het belangrijkste stuk van zijn werk uitmaakte, ,,probably the largest division ever made'', werd op de rekenmachine uitgevoerd in vier en twintig uren.
Hoe dan ook, wij kennen, sauf erreur, 707 decimalen van [pi], alsook van e, en, op conditie van voldoenden leveringstijd, kunnen bestellingen worden ingewacht tot elk gewenscht quantum. Het is deze daadwerkelijk uitvoerbare receptmatige algorithmus voor het n-de cijfer hunner eindeloos voortloopende decimale ontwikkeling, hoe groot n ook zij, die e of [pi] door wisknndigen uit beide kampen als ,,getallen'' doet erkennen, ook al zouden ze niets te maken hebben met het natuurlijke logarithmenstelsel of de kwadratnur van den cirkel.
Bezien wij nu de 707 bekende cijfers van [pi] of e, dan merken wij in de afwisseling daarvan geenerlei wetmatigheid op, ze schijnt ons grillig toe. Het komt enkele malen voor, dat drie opvolgende cijfers dezelfde zijn, vier opvolgende gelijke cijfers vinden wij niet, evenmin ontdekken wij ergens de tien cijfers 0123456789 in natuurlijke orde naast elkaar. Op het aan de beurt komen van dit cijfertiental berust nu de constructie van r.
Men vorme eene rij van machten van (-½), te beginnen met (-½)1 en steeds lettende op de decimale ontwikkeling van [pi]. Zoolang, bij dóórtellen tot n, in [pi] na het n-de cijfer 0-9 niet aan de beurt komt, verhoogen wij ook telkens den exponent met 1, tot (-½)697 loopt dan, als Wij Shanks vertrouwen, de rij van machten aldus door. Wij ontwikkelen [pi] verder, Shanks voorbij, getrouw den exponent met 1 verhogende, als het cijfertiental nog niet aanbreekt. Zoodra het echter aan de beurt [pag. 23] komt, stel na de k-de decimaal, zetten wij wel de rij van machten van (-½) voort, maar verhoogen den exponent niet langer, laten hem wat hij de laatste maal was, k.
De aldus ondubbelzinnig gedefinieerde rij getallen:
-1/2, +1/4, -1/8, +1/16, . . . . .
en volgens het gegeven recept vóórt, is naar de regels der wiskunde convergent en bepaalt een getal, hare zoogenaamde limiet. Dit is het getal r.
Zou de eerstkomende [pi]-ontwikkelaar op het cijfertiental 0-9 stuiten, dan zou dat jammer zijn, dan was de aardigheid van r af, het zou (-½)k bedragen, dus negatief zijn, als k oneven, positief als k even bleek. Wij zouden dan een ander voorbeeld kiezen.
Maar zooals wij er nu voorstaan is r ontegenzeggelijk in hooge mate ,,aardig''.

Wat zegt nu van r de intuitionist?
,, . . . . een reëel getal r, waarvoor noch r = 0, noch r > 0, noch r < 0 geldt.''
Elders:
,,Noemen wij een getal g rationaal, als men twee geheele rationale getallen p en q kan berekenen, wier quotient gelijk is aan g, dan is r niet rationaal, doch anderzijds kan de rationaliteit van r onmogelijk ongerijmd zijn, immers in dat geval zou k onmogelijk kunnen bestaan, waaruit zou volgen r = 0, dus r rationaal.''
en
,,Zeggen we verder, dat een reëel getal g met nul vergelijkbaar is, als hetzij g > 0, hetzij g = 0 geldt, dan is r niet met 0 vergeliikbaar, doch anderzijds kan de vergelijkbaarheid van r met nul onmogelijk ongerijmd zijn, immers dan zou in het bijzonder r > 0 ongerijmd zijn, waaruit zou volgen r = 0, dus r met nul vergelijkbaar.''
Hiermede is dan door een voorbeeld uitgemaakt, dat uit de ongerijmdheid van de ongerijmdheid eener stelling niet hare juistheid volgt -- en het principe van het uitgesloten derde is onttroond.
Natuurlijk is ook r, of nemen wij gemakshalve liever het zeker positieve ½ + r, niet ontwikkelbaar in eene decimale breuk. Was het toch ontwikkelbaar, dan moest een recept kunnen worden gegeven om de opvolgende decimalen te berekenen. Maar dit kan reeds niet voor de eerste decimaal -- begint ½ + r als 0,4 (correspondeerend met r < 0) of als 0,5 (correspondeerend met r > 0)?

Wat zegt echter van r de vrij-axiomaticus?
Voor zoover ik kon nagaan, deed bij er het zwijgen toe, maar het is er verre van, dat dit zwijgen als een toestemmen zou mogen worden opgevat. Wij zullen dus onze woorden moeten leenen aan wat hij van zijn standpunt zou kunnen of zou willen zeggen.
Vrij-axiomatici echter zijn er velen en velerlei, een uiterste rechtervleugel van fanatieke logistici en hartstochtelijke verzamelaars; een linkervleugel, intuitionisten bijna, die, historisch gesproken, door hunne [pag. 24] afwijzing van en hunne critiek op het extremisme in het eigen kamp, den weg bereidden voor het autonome intuitionisme; en verder een breed, massaal centmm, bovenal gehecht aan de verruiming van arbeidsveld, die het vrij-axiomatisme bracht.
Laten wij dan een viertal stemmen materialiseeren.

Eerste stem, de objectiveerende:
,,De decimale ontwikkeling van [pi], hoewel ons slechts ten deele bekend, staat toch vast. Dus is k òf even, òf oneven, òf bestaat niet en daarmede r òf positief, òf negatief, òf nul, doch in elk geval rationaal en met nul vergelijkbaar.
In plaats van te zeggen ,,noch r = 0, noch r > 0, noch r < 0 geldt'', zeg ik ,,noch r > 0, noch r < 0 zijn tot nu toe bewezen, evenmin r = 0 en van dit lastste is ook niet in te zien, hoe het ooit bewezen zou kunnen worden''. Er zijn in de wiskunde, en daarbuiten, wel meer onopgeloste problemen, waarvan niet wordt ingezien, hoe ze ooit opgelost zouden kunnen worden; de verdienste van r is, deze met een te hebben vermeerderd''.

Tweede stem, de verzamelgrage:
,,Het oontinuum tusschen -1 en +1 is, met de gebruikelijke afspraak aangaande de repeteerende 9, de verzameling der decimale ontwikkelingen met 0 vóór de komma en voorzien van het teeken + of het teeken -. Wilt gij mij een punt van dat continuum aanwijzen, dan moet gij òf mij zulk eene ontwikkeling rechtstreeks verschaffen òf andere gegevens, die volgens de regels der wiskunde met zulk eene ontwikkeling equivalent zijn en ertoe kunnen worden herleid. Gij doet geen van beide, gij wijst mij dus geen punt aan.''

Derde stem, de teleurgestelde:
,,Als vrij-axiomaticus stel ik belang in elk onderzoek naar wat er van de wisknnde overblijft of wat er aan kan worden toegevoegd door axioma's en postulaten op allerlei wijzen te varieeren. Ik volg u dus gaarne in uw opzet, inbegrepen de oer-intuitie der wiskunde of tijdsintuitie. Ik kom met u tot het te samen bestaan op het meetbaar gemaakt continuum van twee punten, 0 en r. Noem ik 0 het heden, dan geldt voor r noch dat het heden, noch dat het verleden, noch dat het toekomst is. Dit nu strijdt met mijne tijds-intuitie, het ie eene nieuwe, interessante paradox. De poging, de wiskunde paradoxen-vrij te maken, kan ik dus tot mijn leedwezen niet geslaagd achten: het kwaad, dat gij de deur uitbant, komt door het venster weder binnen.''

Vierde stem, de radicale, plus royaliste que le roi:
,,Dat ,,enzoovoort'', die ,,aftelbaar oneindige verzameling'', dat ,,limietbegrip'' zijn mij altijd al verdacht voorgekomen en het doet mij hartelijk genoegen, det het wiskundig vernuft daaruit eindelijk eens een fiksche, klinkende tegenstrijdigheid heeft afgeleid. Laat de wiskunde nu voortaan [pag. 25] blijven op den eenigen bodem, waarop zij veilig gaat, het natuurlijk getal en wat daaruit door een eindig aantal manipulaties kan worden vervaardigd: rationale getallen, wortels van stelsels hoogere machts-vergelijkingen met rationale coëfficienten, ook de complexe, het geheele algebraïsche gebied dus en daarmede het geheele algebraïsch meetkundige, wat niet al. Laten wij gelijkheden, in welker leden ,,transcendente'' functies optreden, eerlijk interpreteeren als wat ze zijn, systemen van ongelijkheden aangaande algebraïsche functies, zooals ieder, die achter de coulissen eener logarithmentafel kijkt, wel weet.
De wiskunde werkt met rustige, discrete dingen, er ,,vloeit'' niets en zij heeft geene behoefte noch aan een, te gebrekkig, kunstcontinuum -- wie kan, terwijl een getal continu heet toe te nemen, den vloedgolf van oneindig vele negens uit het oneindige zien komen aanzwellen om, met oneindig kleine tusschenpoozen, te breken op de overal dicht gelegen klippen der decimale schaal in eene branding van schuim van oneindig vele nullen? -- noch aan het, te vage, intuitieve. En het totaal der wiskundige dingen, door één mathematicus in zijn leven, of door de gansche mathesis in haar bestaan, geponeerd, is niet ,,aftelbaar oneindig'', maar eindig.''

Deze vier stemmen zijn het, gij hoort het, onderling verre van eens en wat alle vier zeggen zal het oor van den intuitionist of als zinledig voorbijgaan of als grove mathematische ketterij kwetsen.
Het laatste woord over onze tweede vraag: zijn de onderwerpen der wiskunde, zooals zij reilt en zeilt, ,,reine'' verzinsels of hebben zij werkelijkheidswaarde, schijnt dus vooreerst nog niet gesproken.
Gelukkig -- er moet ook iets te spreken overblijven!

Ik heb gezegd.