VERHANDELING


OVER DE


QUADRATUUR

OF

INHOUDVINDING


VAN DEN


C I R K E L


IN EEN MEETKUNDIGEN ZIN.

DOOR

M.I.S. BEVEL

A.L.M. PHIL. DOCT. MATHEMATICUS EN ARRONDIS-
SEMENTS IJKMEESTER TE LEYDEN.



Te LEYDEN, bij
J.C. CYFVEER,

1828.



Aanvullende gegevens:
M.I.S. Bevel, Verhandeling over de Quadratuur of Inhoudvinding van den Cirkel in eenen meetkundigen zin, Leiden: J.C. Cijfveer (1828). Een pamflet van 16 pp. (incl. titelpagina) en één uitklapplaat.
In het origineel pamflet staan drie voetnoten, waarvan de merktekens behouden zijn: het betreft twee gewone voetnoten en één voetnoot bij een voetnoot, die allemaal op pagina 4 stonden afgedrukt, en hier in de originele volgorde onderaan de tekst zijn geplaatst.
De opmaak van de formules kon niet geheel behouden blijven: er is met haakjes gewerkt waar in het origineel de deelstreep typografisch was uitgebuit. De vette O was in het origineel een cirkeltje.
Het venijn zit hem geheel in de eerste stelling, waarin Bevel nog vergeet een lemma te bewijzen dat hij gebruikt. Hij krijgt, onder andere daarop, ook stevig commentaar, maar in een ingezonden brief geeft Bevel alsnog een ``bewijs'' voor dit lemma.



VERHANDELING

OVER DE

QUADRATUUR

VAN DEN

CIRKEL.





INLEIDING.


Bekend is het, dat, sints eeuwen, de Quadratuur, of Inhoudvinding van den Cirkel, een beroemd vraagstuk onder de wiskunstenaren geweest is, alsmede, dat onderscheidene befaamde mannen zich, tot het vinden van deszelfs oplossing, hebben afgesloofd, zonder dat het, tot hiertoe, iemand heeft mogen gelukken, het ware doel te treffen - Bijna allen zochten dit, of wel de overëenkomst, tusschen den omtrek en de middellijn des Cirkels, in eenen Rekenkundigen zin; en in die zin kom het mij, met wijlen den Hoogleeraar VAN SWINDEN voor, dat deze oplossing onmogelijk is: dan te gelijk, ben ik het ook met genoemde Hoogleeraar eens, wanneer hij zegt:
,,Men zoude een vierkant kunnen maken, dat gelijk zoude zijn aan den inhoud (van een Cirkel), indien men eene regte lijn trekken konde, die gelijk is aan den omtrek. Indien men dit doen kon, zoude het gewigtig vraagstuk van de Quadratuur of inhoudsvinding des Cirkels, Geömetrisch opgelost zijn. - - - [pag. 4] - - - Ik ben derhalve, met HENNERT en andere, van gevoelen, dat de Quadratuur van den Cirkel, hoewel nog niet gevonden, niet onmogelijk is, in eenen Geömetrischen zin (*).''
Hoe nu dit, naar mijn inzage, zuiver Meetkunstig, dat is, alleen met behulp van Passer en Liniäal, geschieden kan, en alle daarbij noodige bewijzen, uit de eerste beginselen der zuivere, of zoogenaamde elementaire Meetkunde kunnen worden afgeleid, heb ik getracht, in de volgende Grondstellingen en Werkstukken, aan te toonen (+). [pag. 5]

EERSTE GRONDSTELLING. Fig. I.

De omtrek eens Cirkels is gelijk aan viermalen deszelfs Radius, te zamengenomen met viermalen den Tangens van den Boog van dertig graden diens zelfden Cirkels.

Dat is: (als mnen R voor Radius en O voor omtrek stelt)

O = 4 × (R + Tang. 30°).

B E R E I D I N G.

Zij ABCDE de halve omtrek eens Cirkels; stel de regte lijn AF loodregt op de Middellijn AE, en gelijk aan den halven omtrek ABCDE te zijn. Trek EG evenwijdig aan AF, en beschrijf, op EG, het Quadraat EGHI, en trek, in hetzelve, de beide Diagonalen EH en GI, van welke EH, AF snijdt in M. Beschrijft, op EG, den gelijkzijdigen Driehoek EKG, wiens been EK, de regte AF snijdt, in L. Trek, uit het middenpunt O, des Cirkels ABCDEA de regte lijn ON evenwijdig aan EL. Beschrijf eindelijk, uit E, als Middenpunt, met AE = 2AO, als Radius, den Cirkel APQR. [pag. 6]


BEWIJS.

In de regthoekige driehoeken ALI en MFH, is:
AI = FH
/ IAL = / MFH = |
en / AIL = / MHF = 45°.

dus: AL = MF
Addeer AM = AM

komt: AM + AL = AM + MF = AF.

voorts: / AEM = boog AS = 45°.

wijders van / AEG = 90°
Trek / GEK = 60°

Rest: / AEL = boog AT = 30°.

Hieruit, en uit de beschouwing der Figuur, blijkt, dat AM de Tangens eens boogs van 45°, en AL de Tangens eens boogs van 30° is, beide behoorende tot den Cirkel, die met AE, als Radius, beschreven is. Dus AM = AE = 2AO = 2 malen de Radius des Cirkels ABCDEA.
Daar voorts ON evenwijdig aan EL is, is / AON = / AEL = 30°, van den Cirkel ABCDEA.
Daar eindelijk de driehoeken ALE en ANO gelijkvormig zijn, zoo is:

AE : AO = AL : AN
of: 2AO = AO = AL : AN

waaruit: 2 : 1 = AL : AN en AL = 2AN = 2 × Tang 30° [pag. 7]
Men heeft derhalve:

AF = AM + AL
Maar AM = 2 × R

Dus: AF = 2 × R + AL

en AL = 2 × Tang. 30°


Daarom: AF = 2 × R + 2 × Tang. 30° = 2 × (R + Tang. 30°).
Maar volgens de onderstelling is AF = ½OABCDEA.
Dierhalve: ½OABCDEA = 2 × (R + Tang. 30°).
Waaruit blijkt: O = 4 × (R + Tang. 30°).

D.T.B.W.


EERSTE GEVOLG.

Tang. = [R × Sin.]/Cos. en Cos = (R2 - Sin.2); dus: Tang. = [R × Sin.]/[(R2 - Sin.2)].
en Tang. 30° = [R × Sin. 30°]/[(R2 - (Sin. 30°)2)]; maar Sin. 30° = ¼R, dus:
Tang. 30° = [R × ½R]/[(R2 - ¼R2)] = ½R2/½R3 = R/3 = R3/3 = 1/3R3.
Daarom, O = 4 × (R + 1/3R3).
En, R = 1 stellende:
O = 4 × (1 + 1/33).

Vergelijk FAS, Differentiaal en Integraalrekening, III. Voorbeeld, Blad. 166 en 167. [pag. 8]



TWEEDE GEVOLG.

Als men (Fig. II.) de lijn AF grooter of kleiner neemt dan de halve Omtrek des Cirkels, vervolgens, als voren, het Quadraat EFGH beschrijft, daarin de beide Diagonalen EH en GI trekt, en den gelijkzijdigen Driehoek EKG beschrijft, zal Aa = AE = 2 × R en Ab = 2AN = 2 Tang. 30° zijn.
De snijdpunten, L en M, vallen alsdan niet op de lijn AF, maar zullen onder AF vallen, als deze grooter, en boven dezelve, als zij kleiner dan de halve Omtrek des Cirkels genomen wordt.
Daarenboven is, in Fig. I.

van / AEM = 45°
Trek / AEL = 30°
Rest: / LEM = 15°
Add: / LME = 45°
Komt: / LEM + / LME = 60°
Daarom: / ELM = 120°

Bij / LEU = / LEM = 15°
Add. / EUL = 90°
Komt: / LEU + / EUL = 105°
Dus: / ELU = / ILK = 75°

Bij / ELM = 120°
Addeer / ALE = 60°
/ ALI = 45°
/ ILK = 75°
en / KLM = 60°

Komt: / ELM + / ALE + / ALI + / ILK + / KLM = 360° [pag. 9]
En op gelijke wijze blijkt, dat ook / GMF + / GML + / LMK + / KMH + / HMF = 360° is; uit welk een en ander volgt, dat de Diagonalen GI en EH, des Quadraats EGHI, en de zijden EK en GK, des gelijkzijdigen Driehoeks EKG, elkander snijden, in dezelfde punten van de raaklijnen AF, welke gelijk aan den halven Omtrek des Cirkels is.



AANMERKING. Fig. II.

Als men de lijn AF evenveel grooter als kleiner dan de halve Omtrek neemt, de beide Quadraten EGHI, op dezelfde regte lijn GEG, nevens elkander plaatst, en voorts de zijde HI des Quadraats verlengt, zal deze door de snijdpunten L en M in het grootste Quadraat gaan, en zullen de snijdpunten L en M, in het kleinste Quadraat, op gelijken afstand van AF boven dezelve zijn, als zij zich in het grootste onder dezelve bevinden. [pag. 10]


TWEEDE GRONDSTELLING. Fig. IV.

De inhoud eens Cirkels is gelijk aan dien van eenen Driehoek, wiens Grondlijn gelijk aan den Omtrek diens Cirkels, en wiens Loodlijn of Hoogte gelijk aan de Radius dienszelfden Cirkels is.

BEWIJS.

Zij de regte lijn AC, gelijk aan den Omtrek, en AB, loodregt op AC, gelijk aan de Radius eens Cirkels; zoo den /\ ABC niet gelijk aan dien Cirkel is, zoo moet hij of grooter of kleiner dan dezelve zijn.
Zij nu de Cirkel grooter dan de /\ ABC, zoo veronderstelle men, in den Cirkel, een regelmatige Veelhoek beschreven te zijn, die, hoewel kleiner dan de Cirkel, echter grooter dan de /\ ABC is. Nu zal de Omtrek van den ingeschreven Veelhoek kleiner dan die des Cirkels, en dus kleiner dan AC zijn; zij de Omtrek diens Veelhoeks gelijk aan Ac; ook zal de Loodlijn diens Veelhoeks kleiner dan de Radius diens Cirkels wezen; zij deze gelijk aan Ab; trek bc, zoo zal die Veelhoek gelijk zijn aan /\ Abc, welke kleiner dan /\ ABC zoude zijn, hetwelk ongerijmd is, daar men /\ Abc grooter dan /\ ABC ondersteld heeft.
Zij de cirkel kleiner dan de /\ ABC, zoo stelle men om den Cirkel een regelmatigen Veelhoek beschreven, die, hoewel grooter dan de Cirkel, echter kleiner dan de /\ ABC is. Nu is de Omtrek des omgeschreven Veelhoeks grooter dan die des Cirkels, en dus grooter dan AC; zij die Omtrek gelijk aan Aa; de Loodlijn van [pag. 11] dien Veelhoek is gelijk aan de Radius des Cirkels, en dus gelijk aan AB; trek Ba, dan is de inhoud van dien Veelhoek gelijk aan den /\ ABa, welke grooter dan /\ is; daar men echter /\ ABC kleiner dan /\ onderstelt heeft, blijkt dit weder ongerijmd te zijn.
De Inhoud des Cirkels is dus noch grooter, noch kleiner dan die des Driehoeks ABC, derhalve moet de inhoud des Cirkels gelijk aan dien des Driehoeks ABC zijn.

D.T.B.W.


GEVOLG.

Hieruit volgt: Dat de inhoud eens Cirkels ook gelijk zal zijn, aan dien van eenen Regthoek, wiens Grondlijk gelijk aan den halven Omtrek, en wiens Hoogte gelijk aan de Radius des Cirkel is; en dus ook gelijk aan een Quadraat, welks zijde de Meetkundig midden evenredige is, tusschen deze beide lijnen.

EERSTE WERKSTUK. Fig. V en VI.

Eene regte lijn te trekken, die gelijk is aan den den Omtrek eens Cirkels, wiens Radius gegeven is.

EERSTE OPLOSSING. Fig. V.

Laat BCDEF de Omtrek eens Cirkels zijn, wiens Radius, AB, gegeven is; beschrijf uit B, als middenpunt, met AB als Radius, een Boog, welke dien Omtrek snijdt in D, zoo zal BD een Boog van 60° zijn; deel den Boog BD midden door, door de regte AG, welke den Omtrek snijdt in C, zoo zal BC een Boog van 30° wezen; [pag. 12] rigt uit B, op AB, de loodlijn BG op, zoo zal BG de Tangens van 30° zijn.
Trek eene onbepaalde regte lijn HL; maak op dezel- HI = AB en IK = BG, zoo is HK = AB + BG, en maak HM = 4HK, zoo zal de regte lijn HM gelijk aan den omtrek des Cirkels BCDEF zijn. Zie de eerste Grondstelling.

D.T.D.W.


TWEEDE OPLOSSING. Fig. VI.

Laat BCDE de omtrek des Cirkels zijn wiens Radius AB gegeven is; trek eene regte lijn FG, en neem op dezelve GH = AB en FH = 3AB; zoek de Meetkundig midden evenredige, HI, tusschen GH en HF, zoo zal HI = 3 zijn; maak voorts HK = 1/3HI, zoo is HK = 1/33; trek wijders eene onbepaalde lijn LP, en neem op dezelve LM = AB, en MN = HK; maak eindelijk LO = 4LN, zoo zal de regte lijn LO gelijk aan den Omtrek des Cirkels BCDE zijn. Zie het eerste gevolg op de eerste Grondstelling.

D.T.D.W.


TWEEDE WERKSTUK. Fig. VII en I.

Eene regte lijn gegeven zijnde, de Radius des Cirkels te vinden, wiens Omtrek aan die regte lijn gelijk is.

EERSTE OPLOSSING. Fig. VII.

Zij AB de gegevene regte lijn; deel dezelve midden door in C, en rigt CD loodregt op AB op; beschrijf op AC den gelijkzijdigen Driehoek AEC; deel den / ACD midden door, door de regt CF, dezelve verlengende tot aan AE in F, en laat uit F de loodlijn FG [pag. 13] op AB neder, zoo zal deze de Middellijn, en dus GH = FH = ½FG, de begeerde Radius wezen.

D.T.D.W.


BEWYS.

In den regthoekigen Driehoek is / FAG = 60°, dus / AFG = 30°, daarom AG = 2 Tang. 30°. In den regthoekigen Driehoek CGF is / GCF = 45° = / CFG, daarom CG = FG. Maar AC = CG + AG =
FG + AG = ½O = 2R + 2 Tang. 30°
Trek af: AG = 2 Tang. 30°
Rest: FG = 2R
en GH = FH = ½FG = R.

D.T.B.W.


TWEEDE OPLOSSING. Fig. I.

Zij EG de gegevene lijn; beschrijft op dezelve een Quadraat EGHI, benevens een gelijkzijdigen Driehoek EKG, en trek de beide Diagonalen EH en GI; trek, door de snijdpunten L en M de regte AF; zoo zal het stuk AE, hetwelk door AF, van de zijden EI diens Quadraats wordt afgesneden, de Middellijn, en dus AO = ½AE de begeerde Radius zijn.
D.T.D.W.


BEWIJS.

Volgt onmiddelijk uit het tweede Gevolg op de eerste Grondstelling.
D.T.B.W.
Ik ben deze Oplossing verschuldigd aan mijnen hooggeschatten Vriend en Leermeester, den Hooggel. Heer S. S. VAN DER EYK, A. L. M. Phil. Doct. Math. Subl. et Phys. Professor, aan 's Rijks Universiteit te Leyden. [pag. 14]

DERDE WERKSTUK. Fig. VIII.

Een Vierkant te beschrijven, welks Inhoud gelijk is aan dien van eenen Cirkel, waarvan de Radius gegeven is.

OPLOSSING.

Zij AB de gegevene Radius, maak, door het eerste Werkstuk, de regte CF gelijk aan den halven Omtrek des Cirkels, en verleng dezelve; tot DF = AB zij; zoek de Meetkundig midden evenredige EF, tusschen CF en DF; beschrijf op EF het Vierkant EFGH, zoo zal dit het begeerde Vierkant zijn. Zie het gevolg op de tweede Grondstelling.
D.T.D.W.


VIERDE WERKSTUK. Fig. VIII.

De Radius te vinden van eenen Cirkel, wiens Inhoud gelijk is aan dien van een gegeven Vierkant.

OPLOSSING.

Laat ABCD het gegeven Vierkant zijn; beschrijf, met een Radius EF, naar welgevallen genomen, eenen Cirkel; maak, door het eerste Werkstuk, de regte HI gelijk aan den halven Omtrek diens Cirkels; verleng HI, tot IK gelijk aan de Radius EF zij; zoek de Meetkundig midden evenredige IL, tusschen HI en IK, en trek KL; verleng IL, tot IM = AB, of de zijde van het gegeven Vierkant zij; trek MN evenwijdig aan KL, en verleng HK tot aan N, zoo zal IN de Radius des begeerden Cirkels zijn.
D.T.D.W.

[pag. 15]

BEWIJS.

De regthoekige Driehoeken IKL en IMN zijn gelijkvormig. Daarom:
IK : IN = IL : IM
en IK2 : IN2 = IL2 : IM2
Maar: IK2 : IN2 = Cirkel op IK : Cirkel op IN
Dus: Cirkel op IK : Cirkel op IN = IL2 : IM2
Nu is: Cirkel op IK = IL2
Dierhalve ook: Cirkel op IN = IM2.
D.T.B.W.


GEVOLG.

Daar men altijd eene regtlijnige figuur kan herleiden in eene, welke ééne zijde minder heeft, en met dezelve gelijk van Inhoud is, en alzoo de figuur eindelijk tot den Driehoek brengen, en men voorts weder een Regthoek kan maken, die gelijk aan een gegeven Driehoek is, en wederom een Vierkant, dat gelijk is aan dezen Regthoek, en men eindelijk, door dit Werkstuk een Cirkel kan beschrijven, welke aan een gegeven Vierkant gelijk is, zoo volgt: dat men altijd den Inhoud eener regtlijnige figuur tot dien van eenen Cirkel herleiden kan.

BIJVOEGSEL Fig. X.

Als men, op de Middellijn AB eens Cirkels, eenige punten G, H, I enz. neemt, voorts aan den Cirkel trekt de Raaklijn BF, deze gelijk aan den halven Omtrek des Cirkels maakt, en AF trekt; wijders uit elk der punten G, H, I enz. eene loodlijn op de Middellijn AB oprigt, [pag. 16] elk derzelve verlengende tot aan de lijn AF, zal men hebben:
AG : AB = CG : BF
AH : AB = DH : BF
AI : AB = EI : BF
Waaruit volgt: dat de stukken AG, AH, AI enz. Middellijnen zijn van Cirkels, wier halve Omtrekken, als regte lijnen, gelijk zijn aan de overeenkomstige Loodlijnen CG, DH, EI enz.







Voetnoten:

(*) Zie v. Swinden Meetk. VII B. XV Voorst. II Aanmerk.

(+) Een mijner Vrienden en gewezen Leerling liet mij onlangs het afschrift zien, van een onuitgegeven voorstel van zekeren Heer P. Carsten Schonegevel, Wiskunstenaar aan de Kaap de Goede Hoop, inhoudende: De Basis van de Cyclois (§) is gelijk, aan tweemaal de middellijn des makenden Cirkels, plus twee tangenten of raak lijnen, onder hoeken van dertig graden begrepen. Dan dit kwam mij voor niet zuiver elementair, en bovendien niet genoegzaam bepalend te zijn; ook is de toepassing, welke de Heer Schonegevel van deze eigenschap, op de overeenkomst, tusschen de Middellijn en den Omtrek des Cirkels, maakt, meer Reken- dan Meetkundig. -- Echter moet ik de waarheid huld doen, en bekennen, dat dit voorstel van den Heer Schonegevel voor mij een wenk tot verder nadenken geweest is.

(§) Voor den onervarenen in de hoogere Meetkunde, acht ik het niet ondienstig, de bepaling der Cyclois hierbij te voegen:
De Cyclois AA'A''A'''A'''' (Fig. III.) is eene krommelijn, welke ontstaat, wanneer men begrijpt, dat een Cirkel AB, langs eene regte lijn AA'''' rollende, zich gelijkmatig voortbeweege, wanneer het punt A van deszelfs omtrek, lang of door de punten AA'A''A'''A'''' zal bewogen worden, en alzoo de Cyclois beschrijven.
De regte lijn AA'''' wordt alsdan de Bazis, en de Cirkel zelve, de makende Cirkel van de Cyclois genoemd; waaruit ligtelijk is af te leiden, dat de geheele Bazis AA'''' van de Cyclois, gelijk aan den geheelen Omtrek, en de halve Bazis AB'' gelijk aan den halven Omtrek des makenden Cirkels wezen moet. Zie breeder Florijn Hoogere Meetkunde II Boek IV Hoofdst.