VERHANDELING
OVER DE
QUADRATUUR
OF
INHOUDVINDING
VAN DEN
C I R K E L
IN EEN MEETKUNDIGEN ZIN.
DOOR
M.I.S. BEVEL
A.L.M. PHIL. DOCT. MATHEMATICUS EN ARRONDIS-
SEMENTS IJKMEESTER TE LEYDEN.
Te LEYDEN, bij
J.C. CYFVEER,
1828.
Aanvullende gegevens:
M.I.S. Bevel, Verhandeling over de Quadratuur of Inhoudvinding van den
Cirkel in eenen meetkundigen zin, Leiden: J.C. Cijfveer (1828). Een
pamflet van 16 pp. (incl. titelpagina) en één uitklapplaat.
In het origineel pamflet staan drie voetnoten, waarvan de merktekens behouden
zijn: het betreft twee gewone voetnoten en één voetnoot bij een
voetnoot, die allemaal op pagina 4 stonden afgedrukt, en hier in de originele
volgorde onderaan de tekst zijn geplaatst.
De opmaak van de formules kon niet geheel behouden blijven: er is met haakjes
gewerkt waar in het origineel de deelstreep typografisch was uitgebuit. De
vette O was in het origineel een cirkeltje.
Het venijn zit hem geheel in de eerste stelling, waarin Bevel nog vergeet een
lemma te bewijzen dat hij gebruikt. Hij krijgt, onder andere daarop, ook stevig
commentaar, maar in een
ingezonden brief geeft Bevel alsnog een ``bewijs''
voor dit lemma.
VERHANDELING
OVER DE
QUADRATUUR
VAN DEN
CIRKEL.
INLEIDING.
Bekend is het, dat, sints eeuwen, de Quadratuur, of
Inhoudvinding van den Cirkel, een beroemd vraagstuk
onder de wiskunstenaren geweest is, alsmede, dat onderscheidene
befaamde mannen zich, tot het vinden van
deszelfs oplossing, hebben afgesloofd, zonder dat het,
tot hiertoe, iemand heeft mogen gelukken, het ware
doel te treffen - Bijna allen zochten dit, of wel
de overëenkomst, tusschen den omtrek en de middellijn
des Cirkels, in eenen Rekenkundigen zin; en
in die zin kom het mij, met wijlen den Hoogleeraar
VAN SWINDEN voor, dat deze oplossing onmogelijk
is: dan te gelijk, ben ik het ook met genoemde
Hoogleeraar eens, wanneer hij zegt:
,,Men zoude een vierkant kunnen
maken, dat gelijk zoude zijn aan den inhoud
(van een Cirkel), indien men eene regte lijn
trekken konde, die gelijk is aan den omtrek.
Indien men dit doen kon, zoude het gewigtig
vraagstuk van de Quadratuur of
inhoudsvinding des Cirkels, Geömetrisch
opgelost zijn. - - -
[pag. 4]
- - - Ik ben derhalve, met HENNERT en andere,
van gevoelen, dat de Quadratuur van den Cirkel,
hoewel nog niet gevonden, niet onmogelijk is, in eenen
Geömetrischen zin (*).''
Hoe nu dit, naar mijn inzage, zuiver Meetkunstig,
dat is, alleen met behulp van Passer en Liniäal, geschieden
kan, en alle daarbij noodige bewijzen, uit de
eerste beginselen der zuivere, of zoogenaamde elementaire
Meetkunde kunnen worden afgeleid, heb ik getracht,
in de volgende Grondstellingen en Werkstukken,
aan te toonen (+). [pag. 5]
EERSTE GRONDSTELLING. Fig. I.
De omtrek eens Cirkels is gelijk aan viermalen
deszelfs Radius, te zamengenomen met viermalen den
Tangens van den Boog van dertig graden diens
zelfden Cirkels.
Dat is: (als mnen R voor Radius en O voor omtrek stelt)
O = 4 × (R + Tang. 30°).
B E R E I D I N G.
Zij ABCDE de halve omtrek eens Cirkels; stel de
regte lijn AF loodregt op de Middellijn AE, en gelijk
aan den halven omtrek ABCDE te zijn. Trek EG
evenwijdig aan AF, en beschrijf, op EG, het
Quadraat EGHI, en trek, in hetzelve, de beide Diagonalen
EH en GI, van welke EH, AF snijdt in M. Beschrijft,
op EG, den gelijkzijdigen Driehoek EKG,
wiens been EK, de regte AF snijdt, in L. Trek, uit
het middenpunt O, des Cirkels ABCDEA de regte lijn
ON evenwijdig aan EL. Beschrijf eindelijk, uit E, als
Middenpunt, met AE = 2AO, als Radius, den Cirkel
APQR. [pag. 6]
BEWIJS.
In de regthoekige driehoeken ALI en MFH, is:
|
| AI
| =
| FH
|
|
|
| /
| IAL
| =
| / MFH
| =
| |
|
en
| /
| AIL
| =
| / MHF
| =
| 45°.
|
dus: AL = MF
Addeer AM = AM
komt: AM + AL = AM + MF = AF.
voorts: / AEM = boog AS = 45°.
wijders van / AEG = 90°
Trek / GEK = 60°
Rest: / AEL = boog AT = 30°.
Hieruit, en uit de beschouwing der Figuur, blijkt,
dat AM de Tangens eens boogs van 45°, en AL de
Tangens eens boogs van 30° is, beide behoorende tot
den Cirkel, die met AE, als Radius, beschreven is. Dus
AM = AE = 2AO = 2 malen de Radius des Cirkels
ABCDEA.
Daar voorts ON evenwijdig aan EL is, is / AON =
/ AEL = 30°, van den Cirkel ABCDEA.
Daar eindelijk de driehoeken ALE en ANO gelijkvormig
zijn, zoo is:
AE : AO = AL : AN
of: 2AO = AO = AL : AN
waaruit: 2 : 1 = AL : AN en AL = 2AN = 2 × Tang 30° [pag. 7]
Men heeft derhalve:
AF = AM + AL
Maar AM = 2 × R
Dus: AF = 2 × R + AL
en AL = 2 × Tang. 30°
Daarom: AF = 2 × R + 2 × Tang. 30° = 2 × (R + Tang.
30°).
Maar volgens de onderstelling is AF = ½OABCDEA.
Dierhalve: ½OABCDEA = 2 × (R + Tang. 30°).
Waaruit blijkt: O = 4 × (R + Tang. 30°).
D.T.B.W.
EERSTE GEVOLG.
Tang. = [R × Sin.]/Cos. en Cos =
(R2 - Sin.2);
dus: Tang. = [R × Sin.]/[(R2 - Sin.2)].
en Tang. 30° = [R × Sin. 30°]/[(R2 - (Sin.
30°)2)]; maar Sin. 30° = ¼R, dus:
Tang. 30° = [R × ½R]/[(R2 - ¼R2)] =
½R2/½R3 = R/3 =
R3/3 =
1/3R3.
Daarom, O = 4 × (R +
1/3R3).
En, R = 1 stellende:
O = 4 × (1 +
1/33).
Vergelijk FAS, Differentiaal en Integraalrekening,
III. Voorbeeld, Blad. 166 en 167.
[pag. 8]
TWEEDE GEVOLG.
Als men (Fig. II.) de lijn AF grooter of kleiner
neemt dan de halve Omtrek des Cirkels, vervolgens, als
voren, het Quadraat EFGH beschrijft, daarin de beide
Diagonalen EH en GI trekt, en den gelijkzijdigen Driehoek
EKG beschrijft, zal Aa = AE = 2 × R en Ab =
2AN = 2 Tang. 30° zijn.
De snijdpunten, L en M, vallen alsdan niet op
de lijn AF, maar zullen onder AF vallen, als deze grooter,
en boven dezelve, als zij kleiner dan de halve Omtrek
des Cirkels genomen wordt.
Daarenboven is, in Fig. I.
van / AEM = 45°
Trek / AEL = 30°
Rest: / LEM = 15°
Add: / LME = 45°
Komt: / LEM + / LME = 60°
Daarom: / ELM = 120°
Bij / LEU = / LEM = 15°
Add. / EUL = 90°
Komt: / LEU + / EUL = 105°
Dus: / ELU = / ILK = 75°
Bij / ELM = 120°
Addeer / ALE = 60°
/ ALI = 45°
/ ILK = 75°
en / KLM = 60°
Komt: / ELM + / ALE + / ALI + / ILK + / KLM
= 360°
[pag. 9]
En op gelijke wijze blijkt, dat ook / GMF + /
GML + / LMK + / KMH + / HMF = 360° is; uit welk een
en ander volgt, dat de Diagonalen GI en EH, des Quadraats
EGHI, en de zijden EK en GK, des gelijkzijdigen
Driehoeks EKG, elkander snijden, in dezelfde punten
van de raaklijnen AF, welke gelijk aan den halven
Omtrek des Cirkels is.
AANMERKING. Fig. II.
Als men de lijn AF evenveel grooter als kleiner dan
de halve Omtrek neemt, de beide Quadraten EGHI,
op dezelfde regte lijn GEG, nevens elkander plaatst,
en voorts de zijde HI des Quadraats verlengt,
zal deze door de snijdpunten L en M in het grootste
Quadraat gaan, en zullen de snijdpunten L en M, in
het kleinste Quadraat, op gelijken afstand van AF boven
dezelve zijn, als zij zich in het grootste onder dezelve
bevinden.
[pag. 10]
TWEEDE GRONDSTELLING. Fig. IV.
De inhoud eens Cirkels is gelijk aan dien van eenen
Driehoek, wiens Grondlijn gelijk aan den Omtrek diens
Cirkels, en wiens Loodlijn of Hoogte gelijk aan de
Radius dienszelfden Cirkels is.
BEWIJS.
Zij de regte lijn AC, gelijk aan den Omtrek, en AB,
loodregt op AC, gelijk aan de Radius eens Cirkels; zoo
den /\ ABC niet gelijk aan dien Cirkel is, zoo moet
hij of grooter of kleiner dan dezelve zijn.
Zij nu de Cirkel grooter dan de /\ ABC, zoo
veronderstelle men, in den Cirkel, een regelmatige Veelhoek
beschreven te zijn, die, hoewel kleiner dan de
Cirkel, echter grooter dan de /\ ABC is. Nu zal de
Omtrek van den ingeschreven Veelhoek kleiner dan die
des Cirkels, en dus kleiner dan AC zijn; zij de Omtrek
diens Veelhoeks gelijk aan Ac; ook zal de Loodlijn
diens Veelhoeks kleiner dan de Radius diens Cirkels
wezen; zij deze gelijk aan Ab; trek bc, zoo zal die
Veelhoek gelijk zijn aan /\ Abc, welke kleiner dan /\
ABC zoude zijn, hetwelk ongerijmd is, daar men /\
Abc grooter dan /\ ABC ondersteld heeft.
Zij de cirkel kleiner dan de /\ ABC, zoo stelle
men om den Cirkel een regelmatigen Veelhoek beschreven,
die, hoewel grooter dan de Cirkel, echter kleiner dan
de /\ ABC is. Nu is de Omtrek des omgeschreven
Veelhoeks grooter dan die des Cirkels, en dus grooter
dan AC; zij die Omtrek gelijk aan Aa; de Loodlijn van
[pag. 11]
dien Veelhoek is gelijk aan de Radius des Cirkels, en
dus gelijk aan AB; trek Ba, dan is de inhoud van
dien Veelhoek gelijk aan den /\ ABa, welke grooter
dan /\ is; daar men echter /\ ABC kleiner dan
/\ onderstelt heeft, blijkt dit weder ongerijmd te
zijn.
De Inhoud des Cirkels is dus noch grooter, noch
kleiner dan die des Driehoeks ABC, derhalve moet de
inhoud des Cirkels gelijk aan dien des Driehoeks ABC zijn.
D.T.B.W.
GEVOLG.
Hieruit volgt: Dat de inhoud eens Cirkels ook gelijk
zal zijn, aan dien van eenen Regthoek, wiens
Grondlijk gelijk aan den halven Omtrek, en wiens
Hoogte gelijk aan de Radius des Cirkel is; en dus ook
gelijk aan een Quadraat, welks zijde de Meetkundig
midden evenredige is, tusschen deze beide lijnen.
EERSTE WERKSTUK. Fig. V en VI.
Eene regte lijn te trekken, die gelijk is aan den
den Omtrek eens Cirkels, wiens Radius gegeven is.
EERSTE OPLOSSING. Fig. V.
Laat BCDEF de Omtrek eens Cirkels zijn, wiens Radius,
AB, gegeven is; beschrijf uit B, als middenpunt,
met AB als Radius, een Boog, welke dien Omtrek snijdt
in D, zoo zal BD een Boog van 60° zijn; deel den Boog
BD midden door, door de regte AG, welke den Omtrek
snijdt in C, zoo zal BC een Boog van 30° wezen;
[pag. 12]
rigt uit B, op AB, de loodlijn BG op, zoo zal BG de
Tangens van 30° zijn.
Trek eene onbepaalde regte lijn HL; maak op dezel-
HI = AB en IK = BG, zoo is HK = AB + BG, en
maak HM = 4HK, zoo zal de regte lijn HM gelijk aan
den omtrek des Cirkels BCDEF zijn. Zie de eerste
Grondstelling.
D.T.D.W.
TWEEDE OPLOSSING. Fig. VI.
Laat BCDE de omtrek des Cirkels zijn wiens Radius
AB gegeven is; trek eene regte lijn FG, en neem op
dezelve GH = AB en FH = 3AB; zoek de Meetkundig
midden evenredige, HI, tusschen GH en HF, zoo zal
HI = 3
zijn; maak voorts HK = 1/3HI, zoo is
HK = 1/33;
trek wijders eene onbepaalde lijn LP, en neem op
dezelve LM = AB, en MN = HK; maak eindelijk LO
= 4LN, zoo zal de regte lijn LO gelijk aan den Omtrek
des Cirkels BCDE zijn. Zie het eerste gevolg op de
eerste Grondstelling.
D.T.D.W.
TWEEDE WERKSTUK. Fig. VII en I.
Eene regte lijn gegeven zijnde, de Radius des Cirkels
te vinden, wiens Omtrek aan die regte lijn gelijk is.
EERSTE OPLOSSING. Fig. VII.
Zij AB de gegevene regte lijn; deel dezelve midden
door in C, en rigt CD loodregt op AB op; beschrijf
op AC den gelijkzijdigen Driehoek AEC; deel den /
ACD midden door, door de regt CF, dezelve verlengende
tot aan AE in F, en laat uit F de loodlijn FG
[pag. 13]
op AB neder, zoo zal deze de Middellijn, en dus GH =
FH = ½FG, de begeerde Radius wezen.
D.T.D.W.
BEWYS.
In den regthoekigen Driehoek is / FAG = 60°,
dus / AFG = 30°, daarom AG = 2 Tang. 30°. In
den regthoekigen Driehoek CGF is / GCF = 45° =
/ CFG, daarom CG = FG. Maar AC = CG + AG =
FG + AG = ½O = 2R + 2 Tang. 30°
Trek af: AG = 2 Tang. 30°
Rest: FG = 2R
en GH = FH = ½FG = R.
D.T.B.W.
TWEEDE OPLOSSING. Fig. I.
Zij EG de gegevene lijn; beschrijft op dezelve een
Quadraat EGHI, benevens een gelijkzijdigen Driehoek
EKG, en trek de beide Diagonalen EH en GI; trek,
door de snijdpunten L en M de regte AF; zoo zal het
stuk AE, hetwelk door AF, van de zijden EI diens
Quadraats wordt afgesneden, de Middellijn, en dus
AO = ½AE de begeerde Radius zijn.
D.T.D.W.
BEWIJS.
Volgt onmiddelijk uit het tweede Gevolg op de
eerste Grondstelling.
D.T.B.W.
Ik ben deze Oplossing verschuldigd aan mijnen
hooggeschatten Vriend en Leermeester, den Hooggel. Heer
S. S. VAN DER EYK, A. L. M. Phil. Doct. Math. Subl.
et Phys. Professor, aan 's Rijks Universiteit te Leyden.
[pag. 14]
DERDE WERKSTUK. Fig. VIII.
Een Vierkant te beschrijven, welks Inhoud gelijk
is aan dien van eenen Cirkel, waarvan de Radius gegeven
is.
OPLOSSING.
Zij AB de gegevene Radius, maak, door het eerste
Werkstuk, de regte CF gelijk aan den halven Omtrek
des Cirkels, en verleng dezelve; tot DF = AB zij;
zoek de Meetkundig midden evenredige EF, tusschen
CF en DF; beschrijf op EF het Vierkant EFGH, zoo
zal dit het begeerde Vierkant zijn. Zie het gevolg op
de tweede Grondstelling.
D.T.D.W.
VIERDE WERKSTUK. Fig. VIII.
De Radius te vinden van eenen Cirkel, wiens Inhoud
gelijk is aan dien van een gegeven Vierkant.
OPLOSSING.
Laat ABCD het gegeven Vierkant zijn; beschrijf,
met een Radius EF, naar welgevallen genomen, eenen
Cirkel; maak, door het eerste Werkstuk, de regte
HI gelijk aan den halven Omtrek diens Cirkels; verleng
HI, tot IK gelijk aan de Radius EF zij; zoek de
Meetkundig midden evenredige IL, tusschen HI en IK,
en trek KL; verleng IL, tot IM = AB, of de zijde van
het gegeven Vierkant zij; trek MN evenwijdig aan KL,
en verleng HK tot aan N, zoo zal IN de Radius des
begeerden Cirkels zijn.
D.T.D.W.
[pag. 15]
BEWIJS.
De regthoekige Driehoeken IKL en IMN zijn
gelijkvormig. Daarom:
| IK
| :
| IN
| =
| IL
| :
| IM
|
|
|
en
| IK2
| :
| IN2
| =
| IL2
| :
| IM2
|
|
|
Maar:
| IK2
| :
| IN2
| =
| Cirkel op IK
| :
| Cirkel op IN
|
Dus:
| Cirkel op IK
| :
| Cirkel op IN
| =
| IL2 : IM2
|
Nu is:
| Cirkel op IK
|
|
|
|
| =
| IL2
|
Dierhalve ook: Cirkel op IN = IM2.
D.T.B.W.
GEVOLG.
Daar men altijd eene regtlijnige figuur kan herleiden
in eene, welke ééne zijde minder heeft, en met
dezelve gelijk van Inhoud is, en alzoo de figuur eindelijk
tot den Driehoek brengen, en men voorts weder
een Regthoek kan maken, die gelijk aan een gegeven
Driehoek is, en wederom een Vierkant, dat gelijk is aan
dezen Regthoek, en men eindelijk, door dit Werkstuk
een Cirkel kan beschrijven, welke aan een gegeven
Vierkant gelijk is, zoo volgt: dat men altijd den Inhoud
eener regtlijnige figuur tot dien van eenen Cirkel
herleiden kan.
BIJVOEGSEL Fig. X.
Als men, op de Middellijn AB eens Cirkels, eenige
punten G, H, I enz. neemt, voorts aan den Cirkel trekt
de Raaklijn BF, deze gelijk aan den halven Omtrek des
Cirkels maakt, en AF trekt; wijders uit elk der punten
G, H, I enz. eene loodlijn op de Middellijn AB oprigt,
[pag. 16]
elk derzelve verlengende tot aan de lijn AF,
zal men hebben:
AG : AB = CG : BF
AH : AB = DH : BF
AI : AB = EI : BF
Waaruit volgt: dat de stukken AG, AH,
AI enz. Middellijnen zijn van Cirkels, wier
halve Omtrekken, als regte lijnen, gelijk zijn aan
de overeenkomstige Loodlijnen CG, DH, EI enz.
Voetnoten:
(*) Zie v. Swinden Meetk. VII B. XV Voorst. II
Aanmerk.
(+) Een mijner Vrienden en gewezen Leerling liet mij onlangs
het afschrift zien, van een onuitgegeven voorstel van zekeren Heer
P. Carsten Schonegevel, Wiskunstenaar aan de Kaap de
Goede Hoop, inhoudende: De Basis van de Cyclois
(§) is gelijk,
aan tweemaal de middellijn des makenden Cirkels, plus twee
tangenten of raak lijnen, onder hoeken van dertig graden begrepen.
Dan dit kwam mij voor niet zuiver elementair, en bovendien niet
genoegzaam bepalend te zijn; ook is de toepassing, welke de Heer
Schonegevel van deze eigenschap, op de overeenkomst, tusschen
de Middellijn en den Omtrek des Cirkels, maakt, meer Reken-
dan Meetkundig. -- Echter moet ik de waarheid huld doen,
en bekennen, dat dit voorstel van den Heer Schonegevel voor
mij een wenk tot verder nadenken geweest is.
(§) Voor den onervarenen in de hoogere Meetkunde, acht ik
het niet ondienstig, de bepaling der Cyclois hierbij te voegen:
De Cyclois AA'A''A'''A'''' (Fig. III.) is eene
krommelijn, welke ontstaat, wanneer men begrijpt, dat een Cirkel AB,
langs eene regte lijn AA'''' rollende, zich gelijkmatig voortbeweege,
wanneer het punt A van deszelfs omtrek, lang of door de punten
AA'A''A'''A'''' zal bewogen worden, en alzoo de Cyclois beschrijven.
De regte lijn AA'''' wordt alsdan de Bazis, en de Cirkel
zelve, de makende Cirkel van de Cyclois genoemd; waaruit ligtelijk is
af te leiden, dat de geheele Bazis AA'''' van de Cyclois, gelijk aan
den geheelen Omtrek, en de halve Bazis AB'' gelijk aan den halven
Omtrek des makenden Cirkels wezen moet. Zie breeder Florijn
Hoogere Meetkunde II Boek IV Hoofdst.