BIBLIOGRAPHIE.


Aanvullende gegevens:
Recensie van Mannoury in: Nieuw Archief voor Wiskunde (II) 8 (1909), pp. 175-180. Geen voetnoten. Voor de Griekse omega die op p. 179 voorkomt, is een cursieve latijnse ,,w'' gebruikt.

Over de grondslagen der wiskunde door L.E.J. BROUWER. Amsterdam-Leipzig, Maas en Van Suchtelen, 1907.
De strekking van dit werk (het eerste geschrift van eenigen omvang, dat in onze taal over de philosophie der wiskunde is verschenen) is tweeledig.
In de eerste en voornaamste plaats geeft schrijver een kritisch overzicht van de moderne theorieën betreffende den strengen opbouw der wiskunde uit de logistiek, en tracht daarvan het onvoldoende aan te toonen. Naar schrijvers overtuiging trouwens, zal elke methode, welke de wiskundige waarheden langs zuiver formeelen weg tracht af te leiden, in gebreke moeten blijven, omdat de ,,eigenlijke'' wiskunde voor hem iets geheel anders is dan een bloote verzameling van formules en woorden, die naar zekere regels zijn aaneengeschakeld, en deze eigenlijke wiskunde dan ook onmiddelijk moeten steunen op een zeker algemeen menschelijke ,,continuïteitsintuïtie''. Aan deze continuïteitsintuïtie (door den schrijver met de ,,tijdsintuïtie'' geïdentificeerd), moeten dan ook de grondbegrippen (,,bouwelementen'') worden ontleend, die in de wiskundige redeneeringen en berekeningen optreden.
In de tweede plaats evenwel tracht schrijver het aantal dezer bouwelementen te beperken, en wel hoofdzakelijk door invoering eener gewijzigde theorie der transfiniete getallen, welke, naar schrijvers meening, tot niet meer dan vier verschillende machtigheden kunnen behooren.
Wat het eerstgenoemde punt betreft, zijn de aangevoerde argumenten grootendeels van wijsgeerig-bespiegelenden aard, en beoogen in hoofdzaak aan te toonen, dat hoezeer men zich [pag. 176] ook beijvere, de wiskundige stelsels, de wiskundige taal a.h.w., vrij te houden van overwegingen, aan de ervaring ontleend, men toch in laatster instantie zal moeten gebruik maken van die inwendige ervaring, welke door de organisatie van het menschelijk intellect bepaald wordt. Het is hier de plaats niet, op deze beschouwingen, hoe belangrijk ook op zichzelve, uitvoerig in te gaan; alleen willen wij opmerken, dat het hier aangeduide beginsel wel door niemand, ook niet door den meest consequenten voorstander der zuiver symbolische methode, zal worden verworpen. Juist zij, die de wiskunde als een voortbrengsel van het menschelijk intellect beschouwen, moeten ervan overtuigd zijn, dat de bestanddeelen van dit gedachtencomplex in nauw verband staan met het wezen van dat intellect. Het is dan ook bij de velerlei onderzoekingen van de laatste halve eeuw betreffende de grondslagen van de wiskunde niet zoozeer de vraag geweest òf, doch wàar en op welke wijze de wiskunde haar oorsprong neemt uit de (uit- of inwendige) ervaring. Het komt ons dan ook voor, dat zelfs door het ten volle aanvaarden van de continuïteitsintuïtie als de alpha en de omega van de wiskunde, nog in geenen deele iets wordt afgedaan aan de deugdelijkheid der mathematisch-logische methode. Schijnt ons dan ook de verdediging van schrijvers standpunt, juist tegenover de meer strenge symbolisten (DEDEKIND, PEANO) het minst sterk toe, één opmerking, door schrijver in dit verband gemaakt, willen wij gaarne als zeer gerechtvaardigd erkennen. Het is, waar hij aan de symbolisten verwijt, bij de niet-strijdigheidsbewijzen, welke zij gewoonlijk aan hun formule-systemen toevoegen, te kwistig gebruik te maken van voorbeelden, aan de (wiskundige) ervaring ontleend, waardoor zij dus plotseling van den formeelen weg afwijken. Schrijver gaat evenwel weder te ver, als hij daar, waar die niet-strijdigheidsbewijzen ontbreken (zooals bij DEDEKIND'S ,,Was sind und was sollen die Zahlen''), uit de bovenbedoelde slechte gewoonte van vele symbolici afleidt, dat die bewijzen niet zonder dergelijke ervaringsvoorbeelden, dus op zuiver formeele wijze, zouden kunnen worden geleverd. Juist hier ligt, naar het ons voorkomt, een der belangrijkste problemen, welke de symbolische logica nog heeft op te lossen.
Sterker is schrijvers betoog, waar hij stelling neemt tegenover degenen (KANT, RUSSELL), die aan de intuïtie of inwendige [pag. 177] ervaring een nog grooter aandeel in den opbouw der wiskunde willen toekennen, dan in zijn eigen bedoeling ligt. Vooral de ,,Essay on the foundations of geometry'' van laatstgenoemden schrijver wordt uitvoerig besproken en op vele punten grondig weerlegd. Alleen komt ons het bezwaar, dat schrijver aanvoert tegen RUSSELL's axioma's der projectieve meetkunde (1°, de ruimte is continu en tot in het oneindige deelbaar; 2°, twee punten bepalen één enkele figuur, de rechte lijn; 3°, drie punten, niet in één rechte lijn liggend, bepalen weder één enkele figuur, het platte vlak) onjuist voor. Schrijver merkt nl. (terecht) op, dat we in een Cartesische ruimte zooveel stelsels van krommen, oppervlakken enz., die aan de projectieve axioma's voldoen, kunnen opbouwen, als wij willen, doch vervolgt dan: ,,En we kunnen dan tenslotte als relatie tusschen 2 punten de rechte lijn uit een der stelsels, als relatie tusschen 3 punten het platte vlak uit een ander stelsel, enz, definieeren; zoo wordt aan de axioma's van RUSSEL voldaan, maar niet aan de projectieve axioma's'' (p. 108). Dit nu zou strijden tegen het derde Russell'sche axioma, daar dan door drie punten, gelegen op een ,,rechte lijn'' uit het tweede stelsel (en dus in het algemeen niet op een ,,rechte lijn'' uit het eerste stelsel) niet één ,,plat vlak'' zou worden bepaald. Een beter voorbeeld ter illustratie van de onvoldoendheid van de axioma's van RUSSELL (waaraan de noodige elementen ter onderscheiding der dimensie-aantallen van punt, rechte lijn, plat vlak, enz. ontbreken), zou het geweest zijn, RUSSELL's ,,rechte lijnen'' door de gewone rechten in een plat vlak, doch zijn door drie punten bepaalde ,,platte vlakken'' door de cirkels van dat vlak voor te stellen, wat wel in overeenstemming met zijn axioma's zou zijn, maar natuurlijk niet tot de projectieve meetkunde zou voeren.
De hier bedoelde beschouwingen worden door schrijver samengevat in een schema, waarin hij zijn standpunt vergelijkt met die van KANT en RUSSELL, en dat wij duidelijkheidshalve hier willen citeeren: [pag. 178]

In KANT'S Transcendentale Aestetiek: In RUSSELL'S Foundations of Geometry: In dit werk:
Onafscheidelijk gebonden aan de uitwendige ervaring is: de Euclidische driedimensionale ruimte en de maatlooze tijd. de Euclidische driedimensionale ruimte, en de meetbare tijdscoordinaat. niets.
Noodzakelijk treedt op in het wiskundig receptaculum der ervaring:
a) op grond van de organisatie van het menschelijk intellect: de Euclidische driedimensionale ruimte en de maatlooze tijd. de projectieve ruimte, de vrije bewegelijkheid in de ruimte en de meetbare tijdscoordinaat. de oer-intuïtie der wiskunde, of tijdsintuïtie.
b) op grond der ervaring: niets. de driedimensionaliteit der ruimte en het parallellenaxioma van Euclides. niets.


Gelijk wij reeds opmerkten, is een belangrijk deel van schrijvers betoog gewijd aan de theorie der transfiniete getallen of puntverzamelingen, en aan de beperking van het aantal mogelijke machtigheden tot vier, waarvan de eerste twee de bekende machtigheden a) der eindige b) der aftelbare oneindige verzamelingen zijn, doch de derde de machtigheid is van zekere verzamelingen, welke de schrijver als de ,,aftelbaar oneindig onaffe'' aanduidt, en de vierde die van het continuum. De hier bedoelde ontwikkelingen lijden naar onze meening aan een zekere vaagheid en onbepaaldheid, welke aanleiding heeft gegeven tot eenige niet voldoende gerechtvaardigde gevolgtrekkingen. Zoo geeft de schrijver b.v. van zijn bovengenoemde ,,onaffe'' puntverzamelingen de volgende omschrijving: ,,we verstaan dan onder een aftelbaar onaffe verzameling een, waarvan niets anders dan een aftelbare groep welgedefinieerd is aan te geven, maar waar [pag. 179] dan tevens dadelijk volgens een of ander vooraf gedefinieerd wiskundig proces uit elke zoodanige aftelbare groep nieuwe elementen zijn af te leiden, die gerekend worden eveneens tot de verzameling in kwestie te behooren. Maar streng wiskundig bestaat die verzameling als geheel niet; evenmin haar machtigheid; we kunnen deze woorden echter invoeren als willekeurige uitdrukkingswijzen voor een bekende bedoeling'' (p. 148). Aan deze definitie (?) nu voldoen, als wij haar goed begrijpen, alle puntverzamelingen van hoogere machtigheid dan die van het aftelbaar oneindige (CANTOR's eerste machtigheid), doch schrijver noemt als voorbeeld het geheel der definieerbare punten op het continuum, d.i. van die punten of getallen, welke ieder afzonderlijk door een eindig aantal symbolen, hetzij cijfers, teekens of woorden, kunnen worden gedefinieerd (b.v. \/3, [pi], e, enz.). Deze puntverzameling is evenwel, zooals schrijver te anderer plaatse zeer terecht opmerkt, aftelbaar oneindig. Het schijnt dan ook, dat schrijver onder ,,aftelbaar oneindig onaf'' niet inderdaad verzamelingen van hooger machtigheid dan de eerste van CANTOR wil verstaan hebben, die op een bijzondere wijze zijn gedefinieerd of gerangschikt.
Trouwens alleen met deze bedoeling (welke dan evenwel in lijnrechten strijd is met het opnemen van ,,onaffe'' verzamelingen in de reeks der mogelijke machtigheden) kan in overeenstemming worden gebracht schrijvers uitvoerig betoog, dat CANTOR's tweede getalklasse ondenkbaar is.
Wat dit laatste betoog betreft, richt schrijver zijn kritiek in hoofdzaak tegen de bekende en reeds vaak bestreden definitie der tweede getalklasse, welke CANTOR in zijn ,,Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre'' (pag. 35) gegeven heeft: ,,Wir definiren daher die zweite Zahlenclasse als der Inbegriff aller mit Hülfe der beiden Erzeugungsprincipe [1° éen eenheid verder gaan, 2° van een ordetype w tot het naast hoogere element overgaan] bildbaren, in bestimmter Succession fortschreitenden Zahlen a, welche der Bedinging unterworfen sind, dass alle der Zahl a vorangehenden Zahlen, von 1 an, eine Menge von der Mächtigkeit der ersten Zahlenclasse bilden.'' Nu zijn inderdaad tegen deze definitie (en vooral tegen de uitdrukking ,,Inbegriff aller'') zeer vele bezwaren aan te voeren, en ook ons komt het voor, dat zij eensdeels niet scherp genoeg is geformuleerd, en anderdeels niet tot een nieuwe, [pag. 180] van de eerste onderscheiden getalklasse voeren kan. Iets geheel anders evenwel is het, uit die onvoldoendheid nu ook tot de ondenkbaarheid der tweede (en der hoogere) getallenklassen zelve te besluiten. De veel strengere invoering der hoogere machtigheden, door middel der ,,belegging'' of transfiniete machtsverheffing, wordt door de schrijver dan ook wel terloops besproken (p. 158, 159), doch allerminst weerlegd. Wij onderstellen dan ook, dat schrijver het onvoldoende van zijn betoog zal moeten inzien, indien hij het op een bepaald geval tracht toe te passen, en b.v. zou pogen aan te toonen, dat het geheel van alle (continue en discontinue) functies y = f(x) niet tot de derde getallenklasse, doch tot een lagere zou behooren.
Wij zouden nog enkele andere punten kunnen noemen (waaronder eenige der groote problemen van de transfiniete getallenleer, als de paradox van BURALI-FORTI (p. 151), de wel-ordening eener willekeurige verzameling (p. 152), het theorema van BERNSTEIN-SCHRÖDER (p. 153)), welke naar onze meening door den schrijver op niet geheel bevredigende wijze zijn behandeld, maar dit neemt niet weg, dat wij dit geschrift, in zijn geheel genomen, beschouwen als een ernstig en belangrijk stuk werk, dat wellicht aanleiding zal geven tot velerlei bestrijding, maar ook zeer zeker ertoe zal bijdragen, velen wiskundigen een beter en dieper inzicht in de grondslag hunner wetenschap te geven.

G. MANNOURY.