EEN STELLING OVER REKENKUNDIGE REEKSEN
VAN HOOGERE ORDE,
door
Dr. P.J.H. Baudet
Aanvullende gegevens:
Artikel in: Christiaan Huygens I (1921-22), pp. 146-149
Formules als plaatjes weergegeven, zodat opmaak behouden is gebleven.
Dit stuk verscheen kort na het overlijden van dhr. Baudet; zijn collega
prof. Fred Schuh had vlak voor dit artikel een "In Memoriam" geplaatst. De naam
van Baudet boven het artikel was voorzien van een kruisje.
Laten P en Q twee slechts naar één kant
voortgezette rekenkundige reeksen van willekeurige orden > 0 zijn. Verondersteld
wordt, dat men bij elken term van Q een term van P kan aanwijzen, die aan dezen
gelijk is. De orde p van P is dan deelbaar op de orde q van Q en de
opeenvolgende termen van Q zijn dan de termen van P, wier rangnummers een
zekere rekenkundige van de orde q : p vormen, indien men, zoo noodig, de reeks P
naar links met een eindig aantal termen voortzet.
Dit voortzetten naar links kan noodig zijn, als de reeks P een
term bevat, die gelijk is aan een term der voortzetting van P naar links en aan
een term van Q. Het kan wel gebeuren, dat niet de positieve aanwijzer, maar wel
de aanwijzer < 0 in de rekenkundige reeks van de orde q : p past.
Voor het bewijs kunnen we de termen der reeksen reëel
onderstellen. Door beschouwing der reeksen van de reëele deelen der termen
of van de coëfficiënten van i is het nl. achteraf gemakkelijk in te
zien, dat de stelling ook voor reeksen met complexe termen doorgaat.
Zij de reeks P gegeven door
P(x) = xp + a1xp-1 +
a2xp-2 + . . . . . + ap,
waaruit de termen der reeks ontstaan door aan x de opeenvolgende natuurlijke
getalwaarden toe te kennen. Zonder beperking mogen wij den coëfficiënt
van xp gelijk aan 1 nemen; was deze toch a0 [ongelijk] 1,
dan konden wij elken term van P en Q door a0 deelen en de stelling
voor de verkregen reeks bewijzen. Zij voorts de reeks Q gegeven door
Q(y) = b0yq + b1yq-1 +
b2yq-2 + . . . . . + bq.
[pag. 147] De gemaakte onderstelling wordt nu daardoor uitgedrukt,
dat de vergelijking
P(x) = Q(y) (1)
voor elke natuurlijke waarde van y een wortel x bezit, die een natuurlijk getal
is.
Nu is P(x) voor voldoend groote waarden van x een monotoon
stijgende functie van x, zoodat men een getal M bepalen kan, zoodanig, dat
voor N > M de vergelijking
P(x) = N
juist één positieven wortel bezit. Q(y) neemt voor de
natuurlijke y-waarden oneindig veel verschillende waarden aan en moet dus
(krachtens het onderstelde) willekeurig groote positieve waarden kunnen aannemen;
men heeft dus b0 > 0, zoodat er een positief getal Y bestaat zoodanig,
dat voor y > Y geldt:
Q(y) > M.
Voor elke y > Y heeft dan (1), als vergelijking in x beschouwd,
één positieven wortel, die krachtens de gemaakte veronderstelling
geheel is.
Uit (1) berekenen we dezen wortel door uit de beide leden den
pden machtswortel te trekken:
waaruit door reeksontwikkeling volgt:
Hierin is A(x) een functie van x, die voor voldoend groote
waarden van x naar boven absoluut begrensd is. Voor k wordt genomen het grootste
aantal geheelen, dat in q/p zit, dus k = [q/p]. De cj (j = 0, 1, 2, . .
. ., k) zijn constanten, die gemakkelijk te berekenen zijn; zoo heeft men:
C(y) is een functie van y, die wederom voor voldoend groote waarden van y naar
boven absoluut begrensd is.
[pag. 148] Uit (2) vinden wij:
Men kan nu y zoo groot kiezen, dat de laatste twee termen van
het rechterlid absoluut genomen willekeurig klein worden, krachtens boven
gemaakte opmerkingen.
Wij beschouwen thans de (k + 1)ste differentie van
de x-waarden, die men verkrijgt door aan y achtereenvolgende natuurlijke waarden
te geven. De differentie van het rechterlid van (3) vindt men door de differentie
van elken term afzonderlijk te bepalen en deze differenties te sommeeren. De eerste
term geeft een differentie nul, de laatste twee termen een differentie, die absoluut
genomen voor voldoend groote waarden van y willekeurig klein wordt en die we
door [epsilon] voortstellen. Voor de differentie der overige termen passen we de
middelwaardestelling toe, die, daar y telkens met 1 toeneemt, luidt:
Door
te stellen, vinden wij dus:
Door y voldoende groot te nemen, kan men elk der termen onder het
-teeken absoluut willekeurig klein krijgen, dus ook het geheele rechterlid
van (4). Men heeft dus voor elke y, die een zeker getal overtreft:
|/\k+1(x)| < 1. (5)
Nu zijn de getallen x alle geheel, dus ook
/\k+1(x), zoodat uit (5) volgt:
/\k+1(x) = 0 (6)
d.w.z. van zeker rangnummer af vormen de rangnummers in P der termen van Q een
rekenkundige reeks, waarvan de orde hoogstens k is.
[pag. 149] Beschouwen wij nu k+1 van deze y-waarden, dan bestaat
er juist een polynoom in y, dat voor deze y-waarden de bijbehoorende x-waarden
aanneemt en waarvan de graad hoogstens k is. Zij R(y) dit polynoom.
Nu zal van de y-waarden, die bij (6) ter sprake kwamen, elke
bijbehoorende x geleverd worden door
x = R(y) (7)
daar een rekenkundige reeks, waarvan de orde hoogstens k is, door k+1 termen
volkomen bepaald is.
Beschouwen wij thans de polynomen Q(y) en P{R(y)}. Het eerste
heeft een graad q, het tweede een graad, die hoogstens pk, dus hoogstens q is.
Nu zijn er tenminste q+1 waarden van y aan te wijzen (immers, er zijn er
oneindig veel), waarvoor deze polynomen dezelfde waarde aannemen. Hieruit volgt,
dat die polynomen identiek zijn.
Is nu g de graad van R(y), dus pg de graad van P{R(y)}, dan is
dus:
pg = q.
Het in (7) voorkomende polynoom R(y) is dus van den graad q:p,
waarmede het gestelde bewezen. Daar R(y) voor een eindig aantal natuurlijke
waarden van y negatief of nul worden kan, moet eventueel de reeks P met een eindig
aantal termen naar links worden voortgezet.