GROEPENTHEORETISCHE ONDERZOEKINGEN

DOOR

P.J.H. BAUDET




HOOFDSTUK II.

Stelsels van Cauchy. Eigenschappen van eindige groepen.

7. Stelsels. In dit hoofdstuk stel ik mij voor hoofdzakelijk eigenschappen van eindige groepen te behandelen. Desalniettemin behoudt een groot aantal der eigenschappen hare geldigheid voor oneindige groepen. Het zal echter niet noodig zijn, dit overal aan te geven, daar uit de bewijsvoeringen voldoende blijkt, of de resultaten al dan niet afhankelijk zijn van het eindigheidspostulaat.
Wij beschouwen stelsels, bestaande uit een eindig of oneindig aantal operaties, waarbij op te merken valt, dat, indien we zeggen, dat een stelsel nul operaties bevat, dit een andere zegswijze is voor het niet bestaan van een stelsel met de verlangde eigenschappen. Bovendien stellen wij eens en vooral vast, dat bij onze behandeling een stelsel eenzelfde operatie niet meermalen zal bevatten, zoodat voor het geval, dat tengevolge van het uitvoeren van zekere processen eene operatie meermalen zou voorkomen, dit slecht éénmaal in rekening gebracht wordt. Is S een stelsel operaties en A een willekeurige operatie, dan verstaat men onder S.A (A.S) het stelsel operaties, dat men verkrijgt door elke operatie van S met A te post- (prae-) multipliceeren. Zijn S1 en S2 [pag. 19] twee stelsels (verschillend of identiek), dan zullen we onder S1S2 verstaan het stelsel, dat bestaat uit de verschillende operaties, die men verkrijgt, door elke operatie van S1 te postmultipliceeren met elke operatie van S2. Ten slotte schrijven we S1 = S2 als elke operatie, die in een dezer stelsels voorkomt in beide wordt aangetroffen.
Bevat een stelsel een eindig aantal operaties, dan noemen we dit aantal de orde van het stelsel. We vermelden nog even de volgende eigenschap:

Is S een stelsel bestaande uit een eindig aantal operaties, dan vormen de operaties, die S door post- (prae-) multiplicatie in zich zeve overvoeren, eene groep.

Heeft men toch SA = S en SB = S dan is SAB = SB = S. Het stelsel A, B, ... heeft een eindige orde, daar elke operatie van S slechts op ééne wijze in een andere door post- (prae-) multiplicatie kan worden overgevoerd. Bovendien bevat het stelsel minstens ééne operatie, daar E ertoe behoort. De operaties A, B, .... vormen dus eene groep (n°. 6 XIV).

8. Stelsels van Cauchy. Deelers van eene groep. Wij zeggen, dat een stelsel operaties N een stelsel van Cauchy is, indien het de eigenschap bezit, dat, als B1, B2 twee willekeurige operaties van N beduiden, en als A eene willekeurige operatie is, de operaties B1A, B2A òf beide tot N behooren, òf geen van beide van N deel uitmaken. Ter bekorting zal in 't vervolg een stelsel van Cauchy veelal als C-stelsel aangeduid worden. Uit de definitie volgt direct, dat het stelsel NA òf met N geen operatie gemeen heeft, òf een deel van N is. Men heeft: [pag. 20]

II. Heeft NA met N minstens eene operatie gemeen, dan is NA = N.

Daar, volgens het reeds opgemerkte, NA een deelstelsel van N is, behoeven we nog slechts aan te toonen, dat omgekeerd N een deel van NA is. Zij thans B1 eene willekeurige operatie van N en toonen wij aan, dat deze in NA voorkomt. B1A behoort klaarblijkelijk tot N. Zij B1A = B2. Het stelsel NA-1 bevat dan de operatie B2A-1 = B1, en is dientengevolge een deel van N. Maar dan behoort ook B1A-1 tot N. Hieruit volgt, dat (B1A-1)A = B1 eene operatie van het stelsel NA is.
Voor eindige C-stelsels kan men het bewijs voeren, door op te merken, dat NA evenveel operaties bevat als N, en dat dus NA nooit een echt deel van N kan zijn.
We merken nog op, dat een stelsel, dat de door II uitgedrukte eigenschap bezit, noodzakelijk een C-stelsel is.

III. Is N een stelsel van Cauchy, dan is NA ook een stelsel van Cauchy. Is bovendien N van eindige orde, dan is de orde van NA gelijk aan de orde van N.

Ten bewijze van het eerste gedeelte nemen wij aan, dat het stelsel NAB met NA minstens ééne operatie gemeen heeft, en laten zien, dat thans NAB = NA. Volgens onze aanname bevat N twee operaties D1, D2 zoodanig, dat D1A = D2AB, waaruit volgt: D1 = D2ABA-1. Men heeft dus wegens II: NABA-1 = N, waaruit men door postmultiplicatie met A afleidt, dat NAB = NA. Het laatste gedeelte der bewering is thans een direct gevolg van n°.
I VI. [pag. 21]

IV. Is N een C-stelsel, dan zijn de stelsels NA, NB identiek, of ze hebben geene operatie gemeen.

Hebben NA en NB minstens ééne operatie gemeen, dan is dit ook het geval met N en NBA-1. Uit II volgt dan echter N = NBA-1, waaruit men door postmultiplicatie met A afleidt: NA = NB.

V. Behooren de operaties van een stelsel L alle tot een C-stelsel N, en heeft LA met N minstens eene operatie gemeen, dan maken alle operaties van LA deel uit van N.

Het stelsel NA heeft met N minstens ééne operatie gemeen, en is er dus mede identiek. De operaties van LA behooren alle tot NA en dus ook tot N.
De laatste eigenschap geeft aanleiding tot de volgende beschouwing. Hierbij voeren we dit spraakgebruik in: is N een stelsel van Cauchy, dan zeggen we dat NA een postmultiplicatorisch nevenstelsel van N is. Deze betrekking tusschen N en NA is klaarblijkelijk reciprook.
Als praemultiplicatorisch nevenstelsel van N definieeren wij een stelsel van de gedaante AN. In de eigenschappen VI-X wordt nevenstelsel steeds in de beteekenis van postmultiplicatorisch nevenstelsel gebruikt.
Zij thans N een C-stelsel, L een C-stelsel, dat een deel van N is, dan kan men de operaties van N zoodanig in systemen groepeeren, dat elk systeem een nevenstelsel van L is. Hiertoe bewijzen we:

VI. Behooren alle operaties van een C-stelsel L tot een C-stelsel N, dan behoort elk willekeurige operatie van N tot juist één nevenstelsel L, dat deel van N is.

[pag. 22] Zij A een willekeurige operatie van N, D eene van L. Er bestaat eene operatie X, voldoende aan DX = A. Het stelsel LX bevat de operatie A. Indien bovendien een nevenstelsel LY van L de operatie bevat, heeft men krachtens IV: LY = LX. Uit V volgt nog, dat de operaties van LX alle tot N behooren.
Hieruit blijkt de mogelijkheid der bedoelde groepeering tot systeemen. Wij zeggen, dat hierdoor het C-stelsel N ontwikkeld is volgens de nevenstelsels van L, en noemen de bedoelde systemen, tegelijkertijd beschouwd, een volledig systeem van nevenstelsels. Hierbij moet het ten grondslag gelegde C-stelsel N natuurlijk gegeven zijn.
Het kan gebeuren, dat het C-stelsel N bestaat uit een aantal nevenstelsels van L. In dit geval noemt men dit aantal den index van L ten opzichte van N, en men kan de ontwikkeling dan voorstellen door de volgende symbolische som:

N = L + LX1 + LX2 + .... + LXm-1.

VII. Behooren de operaties van een C-stelsel L alle tot een eindig C-stelsel N, dan is de orde van L een deeler van de orde N.

De ontwikkeling van N volgens de nevenstelsels van L bevat hier een eindig aantal termen, die, krachtens III, elk evenveel operaties bevatten. Is l de orde van L, m de index van L t.o.v. N, n de orde van N, dan geldt dus de betrekking

n = ml.

Van deze eigenschap is een bijzonder geval reeds [pag. 23] door CAUCHY behandeld met behulp van een volkomen analoge bewijsmethode.

VIII. Hebben twee stelsels van Cauchy gemeenschappelijke operaties, dan vormen deze wederom een stelsel van Cauchy.

Laten M, N twee C-stelsels zijn en zij L de verzameling der gemeenschappelijke operaties. Bevat LA minstens ééne operatie behoorende tot L, dan behooren alle operaties van LA zoowel tot M als tot N d.w.z. tot L. Hieruit volgt, dat L een stelsel van Cauchy is.

IX. Zijn M, N twee C-stelsels, die gemeenschappelijke operaties bezitten, en is L het aan hen gemeenschappelijke C-stelsel van, dan zullen twee stelsels MA en NB, indien zij gemeenschappelijke operaties bezitten, een nevenstelsel van L gemeen hebben.

Krachtens de veronderstelling hebben MA en NB minstens ééne operatie D gemeen. Zij nu C een willekeurige operatie van L dan, heeft de vergelijking CX = D eene oplossing; het stelsel MX zal samenvallen met MA, omdat het er de operatie D mede gemeen heeft (IV). Evenzoo valt NX samen met NB. Het stelsel LX behoort tot MX en tot NX, zoodat we reeds hebben aangetoond, dat de verzameling der aan MA en NB gemeenschappelijke operaties het stelsel LX tot deel bezit. Is nu Y een gemeenschappelijke operatie van MA en NB, dus van MX en NX, dan is YX-1 eene operatie van MXX-1 en NXX-1, dus eene van L. Daar YX-1 tot L behoort, zal YX-1X = Y tot LX behooren. Hieruit volgt, dat de verzameling der aan MA en NB gemeenschappelijke operaties een deel [pag. 24] van LX is. Hiermede is dus het gestelde volledig bewezen.

Wij besluiten hieruit, in verband met III, nog tot:

X. Zijn M en N twee stelsels van Cauchy waarvan het gemeenschappelijk C-stelsel de orde l bezit, dan zullen twee stelsels MA en NB een gemeenschappelijk C-stelsel bezitten, waarvan de orde 0 of l is.

XI. Elk stelsel van Cauchy bezit de grondeigenschap der C-stelsels ook t.o.v. praemultiplicatie, d.w.z. zoodra An met N ééne operatie gemeen heeft, geldt: AN = N.

Zij A eene operatie zoodanig, dat het stelsel AN met het C-stelsel N minstens ééne operatie gemeen heeft. Er bestaat dan eene betrekking van de gedaante AD2 = D1, waarin D1, D2 operaties van N zijn. Zij thans D3 eene willekeurige operatie van N, dan bestaat er eene operatie X, die voldoet aan D3 = D2X, en die dus N postmultiplicatorisch in zich zelf overvoert. We hebben dan AD3 = AD2X = D1X = D4, waarbij D4 eene operatie van N is. Elke operatie van AN behoort dus tot N. Hieruit besluit men op bekende wijze, dat AN = N.
Uit deze eigenschap blijkt, dat de eigenschappen II-X blijven gelden, indien overal de postmultiplicatie door praemultiplicatie vervangen wordt.

XII. Een stelsel van Cauchy, dat de eenheidsoperatie bevat is eene groep.

Bevat het C-stelsel N de eenheid, dan behoeft men slechts te verifieeren, dat aan het postulaat c) van n°. 3 is voldaan. Laten nu A1, A2 twee operaties van N zijn, dan beschouwen we de operatie X, voldoende aan [pag. 25] A1X = A2. Men heeft A1-1N = N, immers de stelsels N en A1-1N hebben de operatie A1-1A1 = E gemeen; A1-1A2 = X maakt dus deel uit van N, zoodat aan het bedoelde postulaat eveneens voldaan is.
Weet man, dat N uit een eindig aantal operaties bestaat, dan kan men het bewijs als volgt voeren. Bestaat N uit de eenheid alleen, dan behoeft de stelling geen nader betoog. In het tegengestelde geval beschouwen we NA1, waarin A1 eene willekeurige operatie van N beduidt. NA1 heeft nu met N de operatie A1 gemeen, zoodat NA1 = N. Wegens n°. 6 XIV is dus N een groep.
Uit deze eigenschap blijkt, dat men de groep ook zou kunnen definieeren, als een stelsel van Cauchy, dat de eenheidsoperatie bevat. Het is toch duidelijk, dat elke groep omgekeerd een stelsel van Cauchy is (n°. 3 VIII en X).
De afgeleide eigenschappen der stelsels van Cauchy zijn dus in 't bijzonder eigenschappen van groepen, en wij vermelden nog eens uitdrukkelijk de volgende, waarbij wij de groep eindig veronderstellen:

Maakt een C-stelsel N deel uit van eene groep G, dan is de orde van het C-stelsel N deeler van de orde van de groep. Men heeft twee ontwikkelingen van de groep volgens de nevenstelsels van N, te weten:

G = N + NA1 + NA2 + .... + NAm-1,
G = N + B1N + B2N + .... + Bm-1N,

terwijl in 't algemeen deze twee ontwikkelingen van elkaar verschillend zijn.
Het geval, dat zij samenvallen zal in het volgende [pag. 25] nummer behandeld worden. Hierbij valt nog op te merken, dat de operaties A1, A2, ...., Am-1, B1, B2, ...., Bm-1 alle tot de groep behooren. In 't bijzonder kan het C- stelsel N zelve een groep zijn, en we zeggen in dat geval dat een deeler van de groep G is; is deze deeler niet identiek met G, dan spreekt men van een echten deeler.
De gemeenschappelijke operaties van twee groepen vormen zelve eene groep, welke men hun grootsten gemeenen deeler noemt; immers, het hun gemeenschappelijke C-stelsel bevat de eenheid 1).
Ten slotte vermelden we:

XIII. Is G een groep, N een tot de groep behoorend stelsel van Cauchy, dan is er eene prae- en een postmultiplicatorisch nevenstelsel van N, dat zelve een groep is. Hierbij is N zelve als nevenstelsel meegerekend.

Ontwikkelt men G volgens de nevenstelsels van N, dan moet E, eene operatie van G, in een der nevenstelsels van N voorkomen. Volgens XII is dat nevenstelsel eene groep.





Noten

1) Vgl. voor de genoemde eigenschappen H. WEBER, loc. cit. Bd II § 2.

2) In deze paragraaf leggen we aan ons onderzoek een groep G ten grondslag. Men zou ook van een C-stelsel kunnen uitgaan: de noodige modificaties zijn gemakkelijk aan te brengen. In plaats van de factorgroep treedt dan een factor C-stelsel.

3) Deze eigenschap wordt gewoonlijk als definitie van den normaaldeeler genomen; vgl. de geciteerde leerboeken.

4) Zie b.v. O. HÖLDER, Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen; Math. Annalen, Bd. 34, pg. 26.


5) O. HÖLDER, loc. cit. Behandeling volgens het standpunt der elementengroepen.

6) Zie bijv. W. BURNSIDE, loc. cit. § 29.

7) Zie bijv. W. BURNSIDE, loc. cit. § 28.

8) Zie bijv. W. BURNSIDE, loc. cit. § 28, 29.

9) Zie bijv. H. WEBER, loc. cit. § 3.

10) Zie bijv. W. BURNSIDE, loc. cit. § 24.

11) bijv. W. BURNSIDE, loc. cit. § 25.

12) bijv. W. BURNSIDE, loc. cit. § 26.

13) Zie bijv. H. WEBER, loc. cit. § 32.

14) V. DIJCK, Gruppentheoretische Studiën, Math. Ann. Bd. 22 pg. 97.

15) Bijzonder geval hiervan bij H. WEBER, loc. cit. § 11.

16) IL en L: CAUCHY, Exercices d'Analyse, III pg. 151.

17) p > 0, daar de eenheid een geïsoleerde operatie is.

18) Minder algemeen W. BURNSIDE, loc. cit. § 33.

19) W. BURNSIDE, loc. cit. § 33.

20) Is nl. P eene operatie van [Gamma]1 voorkomende in G1Ai dan hebben de nevenstelsels G1P en G1Ai minstens ééne operatie, te weten P, gemeen; men heeft dus: G1P = G1Ai, zoodat men voor Ai eene passende operatie P van [Gamma]1 kan substitueeren.

21) O. HÖLDER, loc. cit

22) H. WEBER, loc. cit. § 9.

23) Volgens bekend spraakgebruik is Gp dus een karakteristieke deeler van G.

24) O. HÖLDER, loc. cit.