HET

VOORBEREIDEND ONDERWIJS IN DE MEETKUNDE.

REDEVOERING

Uitgesproken bij de overdracht van het rectoraat der rijks-universiteit
te Groningen, den 19den september 1893,


DOOR


Dr. P.H. Schoute.



Aanvullende gegevens:
Uitgegeven door J.B. Wolters: Groningen (1893)
Gedrukt in de Stoomdrukkerij van J.B. Wolters
Oorspronkelijk pamflet 18 pagina's met voetnoten waarvan de nummering op elke pagina opnieuw begon.
Begin tekst op p. 3



Zeer geachte Toehoorders!


Toen CAYLEY, een der grootste wiskundigen dezer ten einde spoedende eeuw, nu tien jaar geleden als voorzitter de te Southport gehouden 52ste meeting der Britsche Associatie moest openen, ving hij zijn toespraak ongeveer aldus aan: ,,Zoo gij wenschen mocht, dat gij op dit oogenblik op het punt waart van een anderen voorzitter een rede te hooren over een ander onderwerp, zou ik mij dit levendig kunnen voorstellen. Toch is het goed, dat de toespraak moet handelen over het onderwerp van studie van den voorzitter. Want hierdoor wordt de aandacht der vergadering achtereenvolgens gevestigd op onderwerpen van allerlei aard door personen, die geacht mogen worden deze onderwerpen te beheerschen. Wat echter niet wegneemt, dat de algemeene regel in bijzondere gevallen groote bezwaren kan meebrengen. Maar wat nood, deze vergadering is het individu, dat overeenkomstig de regelen der evolutieleer desnoods moet worden opgeofferd aan de ontwikkeling van de soort.''
Beter dan CAYLEY dit gedaan heeft, toen hij tot de meest wetenschappelijke vergadering van Groot-Brittannië sprak, han ik mijn verhouding tot u, geachte toehoorders, niet teekenen. Geloof mij, ik ben er mij volkomen van bewust, dat ik u in bovengenoemden zin opofferen zou, indien ik verder het voorbeeld van CAYLEY wilde volgen door te trachten u een beeld te ontwerpen van den stand der wiskunde op dit oogenblik. Op dit punt echter kunt ge gerust zijn. Niet alleen medegevoel met u, ook zelfkennis noopt mij minder hoog te vliegen. Liever nog laad ik den schijn op mij in het tegenovergestelde uiterste te vervallen door mij heden te bepalen tot het bespreken van een enkele eenvoudige vraag, die de toekomst der wiskunde raakt.

Voldoet het voorbereidend onderwijs in meetkunde aan de eischen des tijds?
Een volledig antwoord op deze vraag zou lijvige boekdeelen kunnen vullen. Want ze is thans, door alle deelen der beschaafde wereld heen, op veler lippen. Natuurlijk kan ik hier slechts enkele hoofdpunten terloops aanstippen. Voor ik daartoe overga, wil ik echter uitdrukkelijk verklaren, dat ik hierbij personen van zaken scheiden zal. Niemand kan er beter van overtuigd zijn [pag. 4] dan ik, dat het wiskundig onderwijs aan de meeste onzer Gymnasia en Hoogere Burgerscholen in uitstekende handen is. Aan het onderwijzend personeel ligt het dus in geenen deele, dat ik de gestelde vraag in ontkennenden zin moet beantwoorden. Wat meer zegt, ik koester de gegronde hoop, dat van deze zijde eerlang veel gedaan zal worden om een beteren toestand voor te bereiden.
Bij de bespreking der gestelde vraag vestig ik in de eerste plaats de aandacht op de leerstof, het programma van het meetkundig onderwijs. Zoo als bekend is, stamt onze tegenwoordige meetkundige kanon -- d. i. de geregelde aaneenschakeling van stellingen, zoo als deze na het aannemen van eenige axioma's en bepalingen uit elkaar volgen --, rechtstreeks af van het werk, dat op naam staat van den Alexandrijnschen wiskundige EUCLIDES, die omstreeks 290 v. Chr. leefde. Deze [Stoicheia] of Elementen van EUCLlDES vormen den vasten grondslag, waarboven het bewonderenswaardige gebouw der Grieksche meetkunde (EUCLIDES, ARCHIMEDES, ERATOSTHENES en APOLLONIUS) zich verheft. Deze grondslag heeft zijn vastheid behouden, niet alleen gedurende den langen nacht van 1200 jaren, die op de Grieksche bloei-periode volgde en inligt tusschen PAPPUS en DESCARTES, maar ook gedurende het opnieuw ontwaken van de wetenschap der meetkunde in later dagen. Werkelijk vormen de elementen van EUCLIDES dan ook een model van stelselmatige rangschikking, in zoo ver als elke stelling daar geplaatst is, waar de hulpmiddelen tot haar bewijs volledig aanwezig zijn. Is het dan wel wonder, dat er afgoderij gepleegd werd met dit werk en men reeds van heiligschennis werd beschuldigd, zoodra men slechts met den vinger naar een minder gelukkige plaats wilde wijzen? Zoo lezen we in de ,,voor-afspraak'' tot den door W. LA BORDUS bezorgden derden druk der Euclidesuitgave van H. COETS: ,,Schoon Euclides Beginselen van de allerbeste Wiskunstenaars voor veele Eeuwen, gehouden zyn voor een Pronkstuk, daar de Nydt, noch Onkunde geen vatten op vondt, heeft men echter noch eenigen gevonden, die uit onkunde en verwaantheit dezen grooten Man en zyne werken, besprongen hebben, waanende dat zyne Orde niet goedt, zyne bewyzen te lang en lastig waaren.'' Men hoort het ,,ne touchez pas à la Reine''. Maar aan den anderen kant moet ook worden erkend, dat de bestrijders in hun kritiek niet altijd even gelukkig waren. Zoo de strijdlustige PETRUS RAMUS niet, aan wiens in 1569 verschenen Scholae mathematicae thans geen waarde meer toegekend wordt en van wien de boven aangehaalde LA BORDUS dan ook getuigt: ,,Men magh waarlyk wel zeggen, hy maakt met zyn veel weten, dat hy niets met alles weet''. Zoo ook zelfs de groote LEGENDRE niet, wiens in I794 uitgegeven Éléments de géométrie een bijzonder groot succes hadden. Want hoewel hij EUCLIDES in nauwkeurigheid en duidelijkheid van voorstelling ovetreft, staat zijn werk als stelsel beneden dat van EUCLIDES, omdat hij zijn voorliefde voor de analyse niet voldoende heeft weten te beheerschen en zijn meetkunde daardoor afhankelijk geworden [pag. 5] is van de stelkunde. Bovendien heeft hij de ongelukkige bepaling der rechte lijn als de lijn van kortsten afstand ingevoerd. Onafhankelijk van elkaar hebben DURHAMEL en HOÜEL in 1867 dan ook aangeraden, den door LEGENDRE ingeslagen weg weer te verlaten en tot den gedachtengang van EUCLlDES terug te keeren. En nog in 1869 hebben zelfs BRIOSCHI en CREMONA het niet beneden zich geacht het leerboek van EUCLIDES, dat door den minister van onderwijs in Italië was voorgeschreven, tegen den aanval van den Engelschen wiskundige WILSON te verdedigen.
De schitterendste rechtvaardiging, die het werk van EUCLIDES heeft ondergaan, heeft betrekking op het derde axioma, gewoonlijk het postulaat van EUCLlDES genoemd. Volgens dit axioma kan er door een gegeven punt slechts een rechte lijn evenwijdig aan een gegeven rechte lijn getrokken worden. Hiervan zei reeds D'ALEMBERT ,,le postulatum des parallèles fait, depuis tant de siècles, le scandale de la géométrie et le désespoir des géomètres''. Werkelijk is het aantal pogingen, dat men heeft aangewend om dit derde axioma te bewijzen en het dus tot stelling te verheffen, zeer groot. Als dit bewijs mogelijk was, dan moest de waarheid, dat men uit een gegeven punt slechts een rechte lijn trekken kan evenwijdig aan een gegeven rechte lijn, mede uit de beide andere axioma's zijn af te leiden en dus de tegenovergestelde hypothese, dat men uit een punt meerdere lijnen evenwijdig aan een gegeven lijn trekken kan, als met deze axioma's onvereenigbaar tot tegenstrijdige resultaten voeren. Van deze premisse uitgaande hebben twee onderzoekers, een Rus en een Hongaar, LOBATSCHEFFSKY en BOLYAI, bijna terzelfder tijd een van onze meetkunde geheel verschillende meetkunde opgebouwd, waarin van tegenstrijdigheid geen sprake is. In deze nieuwe meetkunde is de som der drie hoeken van een driehoek minder dan twee rechte hoeken. Daarna heeft RIEMANN nog weer op een andere meetkunde opmerkzaam gemaakt, waarin omgekeerd de som der hoeken van een driehoek grooter is dan twee rechte hoeken; van deze maakt de meetkunde op den bol een bijzonder geval uit. En eindelijk heeft BELTRAMI oppervlakken aangewezen, waarop de meetkunde van LOBATSCHEFFSKY voorkomt, en daarmee de opmerking weerlegd, dat deze laatste, zoo ze slechts ver genoeg voortgezet werd, nog wel eens tot tegenstrijdigheid zou kunnen voeren. Hiermee is dus eens voor al bewezen, dat het derde axioma voor den opbouw van het stelsel onzer meetkunde ten eenenmale onmisbaar is en zou men kunnen meenen, dat pogingen het tot stelling te verheffen thans niet meer voorkomen. Werkelijk ontvangt -- zoo merkt POINCARÉ op -- de Académie des sciences te Parijs jaarlijks dan ook nog slechts een à twee proeven in deze richting.
De verleiding is groot, geachte toehoorders, u omtrent deze belangrijke beschouwingen der zoogenaamde niet-Euclidische meetkunde met haar oppervlakken en ruimten van constante krommingsmaat wat langer bezig te houden en u te wijzen op de verdiensten van GAUSS, VON HELMHOLTZ, [pag. 6] KLEIN, LIE en POINCARÉ met betrekking tot dit vraagpunt. Doch dan zou ik mij te ver van mijn onderwerp verwijderen en bovendien de belofte u boven gedaan schenden. Reeds nu moet ik verschooning vragen voor deze uitwijding en mij, onder verwijzing naar een artikel van POINCARÉ, bepalen tot de mededeeling, dat LOBATSCHEFFSKY, door CLIFFORD den COPERNICUS der meetkunde genoemd, leefde en werkte aan de Universiteit te Kazan en deze instelling zich thans gereed maakt, den 2den November van dit jaar, het eerste eeuwfeest te vieren van LOBATSCHEFFSKY'S geboorte door het stichten van een naar hem te noemen fonds, waaruit telkens na een bepaald tijdsverloop een prijs zal worden toegekend aan den buitenlandschen geleerde, wiens geschriften in dien tijd het meest hebben bijgedragen tot de ontwikkeling der niet-Euclidische meetkunde.
Ook bij het oordeel over de wenschelijkheid EUCLIDES' werk bij het onderwijs te gebruiken - en hieromtrent wil ik mij straks verklaren - blijkt weer, hoeveel er van plaatselijke omstandigheden afhangt. Aan de eene zijde schreven BRIOSCHI en CREMONA in 1869 ,,Chez nous, l'introduction d'Euclide dans des écoles a rendu un autre service considérable: celui d'écarter les innombrables petits traités, fabriqués dans un pur intérêt de spéculation, qui infestaient les écoles.'' En in Engeland werd in I871 onder den titel Association for the Improvement of Geometrical Teaching een vereeniging opgericht, die zich o. a. ten doel stelt de opperheerschappij van EUCLIDES te fnuiken en de misbruiken, waartoe deze aanleiding geeft, te doen ophouden door andere leerboeken naast EUCLIDES te stellen. Zoo voeren verschillende soorten van misbruiken tot lijnrecht tegenovergestelde uitkomsten. Dat deze misbruiken in Engeland nog niet uit den weg geruimd zijn, blijkt uit een bericht in het 10 Maart 1892 verschenen nummer van Nature. ,,Weldra'' -- zoo lezen we daar -- ,,zal er door de Vereeniging tot verbetering van het meetkundig onderwijs een belangrijk request worden ingediend bij de Faculteit van wis- en natuurkunde te Oxford, dat betrekking heeft op de naar de meening der Vereeniging zeer verkeerde inrichting van het schriftelijk werk bij het toelatingsexamen tot de Universiteit. Dit schriftelijk werk bestaat doorgaans uit een reproductie van de bewijzen der aan den gewonen tekst van EUCLIDES ontleende stellingen, terwijl men daarbij slechts zelden tracht te ontdekken of wat er ingeleverd wordt wel van iets meer blijk geeft dan van een bijzondere inspanning van het geheugen. De Vereeniging meent, dat deze regeling een onverstandige wijze van onderwijs geven in de hand werken moet en wenscht derhalve bij het schriftelijk werk ook enkele eenvoudige vraagstukken opgenomen te zien, opdat hierdoor een meer rationeele studie der meetkunde bevorderd moge worden.'' Naast dit request leg ik het ingezonden stukje in het 21 November 1889 verschenen nummer van Nature met het opschrift ,,How not to teach geometry'', waarin een leerling eener school de volgende verklaring aflegt: ,,Men schrijft ons de helft eener stelling [pag. 7] op het bord en wij schrijven deze thuis uit het geheugen over. De volgende les wordt met de tweede helft der stelling eveneens gehandeld. Daarna moeten we de geheele stelling leeren en op de derde les in staat zijn ze met andere letters op te zeggen en op te schrijven.'' Herinnert dit niet aan de scholen van voorheen, waar men de tafel van vermenigvuldiging van buiten leerde door ze te zingen?
Hen, die wenschen te weten, hoe het op dit oogenblik met de macht van EUCLIDES in de verschillende deelen der beschaafde wereld gesteld is, kan ik verwijzen naar de onder den titel ,,Over het verschillend lot van EUCLIDES met betrekking tot de vraagpunten van het elementair onderwijs in meetkunde'' in Februari van dit jaar verschenen Italiaansche brochure 1) van Dr. GINO LORIA Uit Genua. Hierin lezen we omtrent ons land: ,,Ook in Holland kent men geen door de regeering voorgeschreven of door het geheele onderwijs aangenomen Syllabus van meetkunde. Hoewel velen erkennen, dat dit bezwaren meebrengt, is het in strijd met den geest van onafhankelijkheid, die dit dappere volk kenmerkt, zulk een Syllabus in te voeren. In zijn oorspronkelijken vorm is EUCLIDES er onbekend, doch de in den laatsten tijd verschenen leerboeken hebben een treffende overeenkomst met zijn werk.''
Dit oordeel, den Italiaanschen wiskundige in de pen gegeven door Dr. J. DE VRIES, leeraar aan de Hoogere Burgerschool te Haarlem, moet ik wel onderschrijven, wijl de afwijkingen der nieuwere leerboeken van EUCLIDES werkelijk van ondergeschikt belang zijn. Bij EUCLIDES zijn de bepalingen der verschillende meetkundige vormingen vereenigd in een hoofdstuk, dat alle stellingen voorafgaat. Deze handelwijs doet aan den leerling denken, die in een opstel de interpunctie vergeten had en er nu een blaadje met komma's en punten bijvoegde met het verzoek die op de juiste plaats in den tekst in te lasschen; zij is sedert langen tijd verlaten. Blijven deze en enkele overeenkomstige verbeteringen van den vorm buiten beschouwing, dan bestaan de wijzigingen alleen uit de verschikking van een paar stellingen en de in veel minder schoolschen vorm tusschengevoegde reeksen van vraagstukken. Doch overigens is zelfs -- en hierop kom ik later terug -- de indeeling der leerstof onveranderd gebleven. En hoewel nu de toevoeging der vraagstukken zeker een goede stap voorwaarts genoemd mag worden, blijven er mijns inziens ook met betrekking tot de leerboeken van den laatsten tijd twee bezwaren gelden. Primo zijn ze te abstract om als eerste leerboeken dienst te doen en secundo zijn ze niet op de hoogte van den tegenwoordigen tijd. Ik vraag verlof elk dezer beide bezwaren iets breeder te ontwikkelen.
In de Educational Times van Maart 1893 komt een zeer lezenswaardig [pag. 8] artikel voor van Prof. W. H. H. HUDSON, getiteld ,,The teaching of mathematics.'' Daarin worden met betrekking tot het onderwijs zeer behartigenswaardige wenken gegeven. Eerst worden de drie volgende wetten ontwikkeld. Primo, het onderwijs moet het verstand van den leerling geheel in beslag nemen (law of understanding). Secundo, het onderwijs moet een bepaalde volgorde in acht nemen en steeds van waarneming door de zintuigen tot het vormen van begrippen, van het concrete tot het abstracte opklimmen (law of sequence). Tertio, het nieuwe en onbekende moet zich langs geleidelijken weg uit het oude en bekende ontwikkelen (law of continuity). Welnu, tegen elk dezer drie wetten zondigt de in onze handboeken gevolgde leerwijze. Daar wordt alles opgeofferd aan de strenge logica, die nog niet tot het verstand van den leerling spreekt. Daar worden begrippen vooropgesteld, zonder dat er sprake van is ze op eenvoudige waarneming door de zintuigen te doen rusten. Daar wordt het nieuwe plotseling geheel op den voorgrond gesteld. In stede van den leerling lineaal en passer in handen te geven en hem in het wezen der dingen in te leiden, stelt men voor dit luilekkerland een rijstenbrij-barrikade vaa axioma's en bepalingen op. Wat gebeurt er dan met hem? ,,Son intelligence, ainsi brusquée," -- zegt J. MACÉ -- ,,se refuse à l'abstraction pui se présente avant l'heure et sa mémoire seule entre en jeu pour se charger douloureusement de mots et de pratiques dont le sens 1ui échappe.'' Is het dan wel te verwonderen, dat er leerlingen zijn, die afgeschrikt worden en beweren, geen wiskunde te kunnen leeren? Werkelijk, DESCARTES heeft gelijk, waar hij beweert, dat iedereen wiskunde leeren kan, wijl men daarvoor alleen noodig heeft ,,ce bon sens également réparti entre tous les hommes.'' En waar nu de uitkomst een andere is, daar is dit aan bijomstandigheden te wijten.

Toen ik aandrong op de opklimming van zintuigelijke waarneming tot abstracte begrippen heb ik eigenlijk een onvoorzichtigheid begaan. Op drieërlei grond toch is beweerd, dat men in meetkunde niet van waarneming spreken mag.
Vooreerst heeft men gewezen op het eigenaardig karakter der meetkundige figuren. Een punt zonder afmetingen, een lijn zonder breedte en dikte, een oppervlak zonder dikte zijn denkbeeldige scheppingen der rede, die in de ons omringende natuur niet voorkomen en dus ook niet kunnen worden waargenomen. Evenmin treffen we in de natuur een cirkel of een bol aan waarvan alle stralen gelijk zijn, een lichaam begrensd door volkomen platte vlakken die met volkomen rechte lijnen aan elkaar sluiten, enz.
Deze beschouwing, die in het algemeen tegen het gebruik van figuren en modellen bij het meetkundig onderwijs gekant is, verdient bijna geen weerlegging. Natuurlijk zijn figuren en modellen slechts benaderde voorstellingen, aan welke men niet moet blijven hangen. Maar dit belet niet, dat de aanschouwing van het onjuiste beeld de vorming van de juiste voorstelling zeer vergemakkelijken kan. Anders gezegd: la géométrie est l'art de raisonner [pag. 9] juste sur des figures fausses 2). De vraag, of men een figuur opzettelijk misteekenen moet, ten einde te voorkomen, dat men aan haar blijft hangen, dan wel of men ze zoo nauwkeurig mogelijk teekenen moet om te voorkomen, dat men uit onjuiste figuren onjuiste gevolgtrekkingen afleidt, zoo als bij de zoogenaamde ,,fallacies'' van den laatsten tijd, kan in verschillende gevallen in verschillenden zin beslist worden.
Ten tweede wil men er een verlaging der wiskunde in zien, dat men bij deze wetenschap, die door deductie alleen reeds kan worden opgebouwd, ook tot waarneming zijn toevlucht neemt. Zoo als BOURDEAU zegt ,,La perception a ses méprises, la conception ses lacunes, l'inducftion ses témérités, l'opinion ses dissidences, l'observation ses mécomptes, l'expérience ses égarements. Seule la déduction ne trompe point, quand elle suit la loi du raisonnement. Les vérités qu'elle établit, une fois démontrées, sont parfaites, définitives et ne changent plus.''
Natuurlijk staat een deductief bewijs veel hooger dan een bewijs, dat op waarneming berust. GALILEI vond door het gewicht van een cycloïdale plaat te vergelijken met dat van den voortbrengenden cirkel, dat het oppervlak der cycloïde gelijk is aan dat van drie voortbrengende cirkels. HUYGENS ontwikkelde de theorie der ontwondenen van kromme lijnen en kwam door deductieve redeneering tot hetzelfde resultaat. Hierbij neemt GALILEI het nog weinig wetenschappelijke standpunt in van den jongen uit Turin, van wien J. J. ROUSSEAU verhaalt, dat hij in zijn jeugd het verband tusschen omtrek en oppervlakte van vlakke figuren had leeren kennen door het eten van isoperimetrische wafels, d. i. van wafels met gelijken omtrek; terwijl HUYGENS te vergelijken is bij STEINER en anderen, die in deze eeuw door middel van meetkundige beschouwingen onomstootelijk bewezen hebben, dat van alle vlakke figuren met gelijken omtrek de cirkel de grootste oppervlakte heeft. Evenwel, al staat ook deductie oneindig hoog boven waarneming en experiment, toch verlieze men niet uit het oog, dat het opbouwen eener wetenschap en het onderwijzen van de beginselen er van twee geheel verschillende zaken zijn en de wafelmethode dikwijls meer naar de smaak van den leerling zal wezen.
Ten derde zijn er menschen, die meenen, dat de wiskunde van waarnemen niets weet. ,,Of observation, experiment, induction, analogy the mathematician knows nothing'' schreef in 1836 de hoogleeraar in logica Sir W1LLIAM HAMILTON, wel te onderscheiden van den grooten wiskundige Sir WILLIAM ROWNAN HAMILTON, den ontwerper der quaternionentheorie. En in 1869 herhaalde de u allen bekende physioloog T. H. HUXLEY bij de beoordeeling der philosophische werken van A. COMTE deze uitspraak in de Fortnightly [pag. 10] Review. De weerlegging dezer meening vormt de hoofdinhoud der meesterlijke rede, waarmee SYLVESTER in hetzelfde jaar de wis- en natuurkundige sectie van de 39ste meeting der Britsche Associatie te Exeter opende. Daarin nu wordt o. a. meegedeeld, dat LAGRANGE -- de grootste autoriteit die kan worden aangevoerd -- het waarnemingsvermogen voor den wiskundige van groot gewicht achtte; dat GAUSS de wiskunde een wetenschap van het oog noemde en in overeenstemming hiermee er met de uiterste zorg voor trachtte te waken, dat zijn geschriften niet door drukfouten werden ontsierd; dat de veel te vroeg gestorven RIEMANN zijn naam mede dankt aan het bewijs, dat onze ruimteopvatting geheel empirisch is en er -- zoo als boven reeds werd aangestipt -- andere ruimten zijn, voor welke geheel andere wetten gelden, om welke redenen hij even als zijn leermeester GAUSS, als VON HELMHOLTZ en anderen in tegenspraak komt met de omtrent ruimte en tijd door KANT ontwikkelde meeningen, enz. En verder tracht SYLVESTER daarin aan te toonen, dat de meeste, zoo niet alle groote denkbeelden der nieuwere wiskunde aan waarneming hun oorsprong ontleenen. Zoo -- om slechts enkele onderwerpen te noemen -- de rekenkundige theorie der vormen, waarvan de grondslag ligt in de onbewezen stellingen van FERMAT, die weerstand boden aan de pogingen van EULER'S reuzengeest en zich eerst lieten omsmelten in de blaaspijpvlam van GAUSS' brandend vernuft. Zoo de door HUYGENS ontworpen theorie der kettingbreuken, volgens LAGRANGE een der schoonste ontdekkingen van onzen landgenoot, die hij schijnt gedaan te hebben bij de samenstelling van een automatisch planetarium. Zoo STURM'S theorema omtrent de bestaanbaarheid van de wortels eener vergelijking, waarover hij in zijn nederigheid steeds sprak als van ,,le théorème dont j'ai l'honneur de porter le nom'' en dat hem onverwacht aanstaarde bij het onderzoek naar de beweging van den samengestelden slinger. Zoo de waarnening van een enkelen invariant door EISENSTEIN -- een waarneming even toevallig als die van een uit de ,,zoological gardens'' ontsnapten ijsbeer in de straten van Londen zou zijn -- welke in de handen van EISENSTEIN onvruchtbaar bleef, doch later een reeks van onderzoekingen in het leven riep die een geheele ommekeer in de nieuwere analyse bewerkstelligden. En eindelijk -- zoo kan ik er als schitterende bevestiging van SYLVESTER'S beschouwing aan toevoegen -- de uit differentiaalquotienten opgebouwde invariant van SCHWARZ, die het uitgangspunt vormt van de ruim 15 jaren later, in het najaar van 1885, door SYLVESTER zelven ontworpen theorie der reciprocanten.

Naar mijn oordeel zijn onze leerboeken voor meetkunde dan te abstract. Waarschijnlijk kan dit ten deele hieraan worden toegeschreven, dat ze te gelijk aan twee eischen schijnen te willen voldoen. Ze willen zoowel den leeraar als den leerling gerieven. En nu lijdt het eene onder het andere en is met name den leerling de voeding wat zwaar. Is deze beschouwing in hoofdzaak juist, dan zou het geneesmiddel gelegen zijn in een scheiding der [pag. 11] twee doeleinden. Doch er is naar mijne meening nog een beter expedient, en hierop wijst ook Dr. LORIA in zijn aangehaalde brochure, n.l. voorbereidend lager onderwijs in meetkunde, waarschijnlijk verbonden met meetkundig teekenen, waardoor het kind reeds vertrouwd raakt met de verschillende meetkundige figuren en haar allereenvoudigste eigenschappen. Reeds HOÜEL, FIEDLER en de voornaamste meetkundigen van Engeland hebben in dien geest geadviseerd. In Duitschland is men van de wenschelijkheid er van overtuigd en in Oostenrijk en Denemarken is het reeds ingevoerd. Is het te verwonderen, dat ik thans denk aan de beslissing, op 30 Augustus 1889 bij gelegenheid van de gedeeltelijke herziening der wet op het lager onderwijs met betrekking tot de ,,vormleer'' genomen, en ik met die beslissing slechts ten deele vrede kan hebben? Wie zou niet gaarne toegeven, dat goed onderwijs in meetkundig teekenen meer ontwikkelt dan slecht onderwijs in vormleer? Maar als goed onderwijs in vormleer, laat ons liever zeggen goed voorbereidend aanschouwelijk onderwijs in meetkunde, nu een eisch des tijds is, dan hebbe men zorg te dragen, dat dit onderwijs goed gegeven worde. Naar mijne overtuiging is de toen genomen maatregel slechts een halve maatregel geweest en daarom noodlottig, wijl de halve maatregelen zich gewoonlijk zoo levensvatbaar toonen.
Nu kan men beweren, dat de leerlingen der lagere school te jong zijn om meetkunde te leeren. Gij, die zoo spreekt, luister naar J. J. ROUSSEAU. ,,J'ai dit'' -- zegt deze in zijn Emile -- ,,que la géométrie n'était pas à la portée des enfants; mais c'est notre faute. Nous ne sentons pas que leur méthode n'est point la nôtre et que ce qui pour nous devient l'art de raisonner ne doit être pour eux pour l'art de voir. Au lieu de leur donner notre méthode, nous ferions mieux de prendre la leur.'' En verder: ,,Pour moi je ne prétends point apprendre à Emile la géométrie, c'est lui qui me l'apprendra; je chercherai les rapports et il les trouvera, car je les chercherai de manière à les lui faire trouver.'' En naar LACROIX: ,,La géométrie est peut-être de toutes les parties des mathématiques, celle que l'on doit apprendre la première; elle me paraît très propre à intéresser les enfants.'' En naar LAMÉ: ,,Tous les hommes apportent en naissant la faculté des mathématiques. Elle se développe chez quelques-uns et s'atrophie chez la plupart, par défaut d'exercice et d'enseignement.'' Laat het verder voldoende zijn hieraan toe te voegen, dat de groote wiskundige CLIFFORD kort voor zijn dood het plan opvatte een meetkunde voor den ,,Kindergarten'' (Fröbelschool) te schrijven.

Het tweede bezwaar, dat ik tegen de nieuwere leerboeken der meetkunde aanvoer, is, dat ze niet op de hoogte van den tijd zijn. Van alle groote uitkomsten op meetkundig gebied, die in deze eeuw verkregen zijn, is in die leerboeken zoo goed als geen spoor te ontdekken. Naar deze te oordeelen zou de meetkunde in ontwikkeling met een doode taal gelijk staan. Want [pag. 12] bijna alles, wat in deze boelten te vinden is, wordt ook reeds bij EUCLIDES aangetroffen. Noch door PONCELET'S Traité des propriétés projectives des figures (1822, 1865), noch door MOEBIUS' Barycentrischer Calcul (1827), noch door STEINER'S Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander (1832), noch door VON STAUDT en REYE'S Geometrie der Lage (1847 en I866, 1877 1892), noch door CHASLES' Géométrie supérieure (1852, 1880) is eenige invloed uitgeoefend op den inhoud dezer leerboeken. Hierbij versta men mij niet verkeerd. Ik wensch niet, dat deze geheele stortvloed van resultaten het vlakke land der lagere meetkunde overstroomen, doch dat een malsche regen van uit deze resultaten afgeleide algemeene beginselen daar nieuw leven wekken mocht. ,,Ik zou gaarne zien" -- zegt SYLVESTER in de boven aangehaalde rede -- ,,dat de wiskunde onderwezen werd met dat vuur en die opgewektheid, welke het voorbeeld harer jongere en meer opgewekte zuster -- de natuurwetenschap -- haar op den duur wel moet meedeelen, dat korte wegen verkozen werden boven lange, dat het werk van EUCLIDES -- volgens sommigen alleen voor den Bijbel in heiligheid onderdoende, volgens anderen een der stevigste bolwerken der Britsche staatsregeling -- eervol in de boekenkast weggeborgen of geheel buiten het bereik van den schooljongen begraven werd, dieper dan ooit een dieplood peilde, dat de transformatie werd opgenomen in de stelkunde en projectiviteit, perspectiviteit en beweging als hulpmiddelen der meetkunde werden aangewend, dat het inzicht van den leerling verhaast en verhoogd en zijn vertrouwen gewekt werd door hem vroegtijdig in te wijden in de hoofdbegrippen van dualisme, continuïteit, oneindigheid en hem gemeenzaam te maken met de leer van het onbestaanbare.''
Bij een der boven aangestipte algemeene beginselen, de beweging, wensch ik uwe aandacht nog een oogenblik te bepalen, wijl het Lehrbuch der Elementargeometrie van J. HENRICI en P. TREUTLEIN, Waarvan de eerste druk in 1881 en de tweede in 1891 verscheen, dit beginsel tot grondslag eener geheel nieuwe verdeeling der leerstof gemaakt hebben. Deze innovatie wordt als volgt gemotiveerd: ,,Mit Recht gelten Euclids Elemente als ein Muster systematischer Anordnung der Schlüsse, insofern jeder Lehrsatz da steht, wo die Prämissen zu seinem Beweis vollständig gegeben sind; ein Muster von logischer Anortnung der Begriffe aber sind jene Elemente nicht, da ihnen eine logische Einteilung des Stoffes fehlt. Neuere Bearbeitungen der Geometrie haben daher vor Euclid den Vorzug, dass sie gleichartige Gegenstände zusammenstellen und ungleichartige in logischer Folge aneinander reihen. Zu diesem dem Stoff entlenten Grundsatz der Einteilung nimmt unsere Elementargeometrie einen weiteren hinzu, indem sie die Lehrsätze nach den verscheidenen Arten der Beweisfürung ordnet. Da nämlich die Gleichheit der Gebilde daraus erkannt wird, dass diese durch eine Bewegung zur Deckung gebracht werden können, so gliedert sich der Stoff nach den Bewegungsarten, welche zum Beweis in [pag. 13] Anspruch genommen werden.'' Uit twee oogpunten kan dit Duitsche leerboek als een belofte voor de toekomst gelden. Eerstens omdat het door de invoering eener meer logische volgorde werkelijk veel gewonnen heeft; ten tweede, wijl het laat ons zeggen althans eenig nut trekt van de vorderingen der wetenscbap in deze eeuw. Zoo treden al dadelijk de hoofdvormen van de Geometrie der Lage, de puntenreeks en de stralenbundel, op den voorgrond. Zoo is het dualisme tot zijn recht gekomen. En deze nieuwe beschouwingen, ze zijn niet losweg als aanhangsel aan het stelsel toegevoegd, doch hiermee door invlechting tot een geheel verbonden.
Maar -- zult ge zeggen -- of die nieuwe beschouwingen nu in den tekst ingelascht of achteraan toegevoegd worden, het resultaat is toch, dat het leerboek dikker, de leerstof omvangrijker wordt. Bestaat er nu geen gevaar voor, dat men de grenzen overschrijdt?
Juist met het oog op het bijzonder karakter der wiskunde, geachte toehoorders, is deze vraag van veel gewicht. Zoo als Dr. H. SCHUBERT, de schepper der meetkunde van het aantal, in 1890 in zijn feestrede bij gelegenheid van het 200-jarig bestaan van het oudste wiskundig genootschap, de Mathematische Gesellschaft von Hamburg, opmerkte, is n.l. de wiskunde de meest behoudende en tevens de meest vooruitstrevende aller wetenschappen. Zij is behoudend, omdat haar uitkomsten onomstootelijk vaststaan en een nienwe ontwikkelingsperiode het reeds opgetrokken gebouw niet omverwerpen kan. Wat de Grieksche wiskundigen vonden, is thans nog juist even waar als voor twintig eeuwen; de stelling van PYTHAGORAS geldt van minus eeuwigheid tot plus eeuwigheid. Hieruit volgt, dat een wetenschappelijke polemiek tusschen wiskundigen nooit loopen kan over de waarheid eener steliing, maar wel over de wijze van ontdekking, over het eenvoudigste bewijs, over de vraag of ze ook soms een bijzonder geval is van een meer algemeene stelling, of haar in het stelsel de juiste plaats is toegekend. Hoogstens kan later blijken, dat de geldigheidsvoorwaarden eener stelling wat ruim genomen en er gevallen, waarin zij haar geldigheid verliest, over het hoofd gezien zijn. Zoo heeft al het twistgeschrijf over het postulaat van EUCLIDES, dat boven besproken werd, ten slotte de waarheid van dit axioma voor onze gewone meetkunde onaangetast gelaten, al moest worden erkend, dat er andere soorten van meetkunde denkbaar zijn, waarin het wordt gemist. Zoo hebben de in den laatsten tijd ontdekte functies, die geen differentiaalquotient toelaten hoewel ze doorloopend zijn, de door NEWTON en LEIBNITZ ontworpene differentiaalrekening niet doen wankelen, maar slechts aangetoond, dat enkele onvoorwaardelijk geldig geoordeelde waarheden slechts onder zekere beperkende voorwaarden waar zijn. Gelukkig hebben de scheppers der differentiaalrekening rustig doorgewerkt, zonder er zich rekenschap van te geven, dat -- waarschijnlijk, zoo niet zeker -- de kritiek later uitzonderingsgevallen ontdekken zou. Want dan ware ook hier het betere de vijand van het goede geworden. Uit den aard der zaak moet het trouwens bij elke [pag. 14] groote schrede die de wiskunde voorwaarts doet, aan het nageslacht worden overgelaten om te zuiveren en te volmaken. Wat niet wegneemt, dat in geen wetenschap de uitkomsten in die mate den stempel der waarheid dragen als in de wiskunde, anders gezegd dat de wiskunde de meest behoudende aller wetenschappen is. En juist dit eeuwig vaststaan van eens verkregen uitkomsten is tevens de reden, waarom men de wiskunde de meest vooruitstrevende der wetenschappen noemen kan. ,,Die Unzerstörbarkeit des gewaltigen Thurmbaus der Mathematik'' -- zegt SCHUBERT -- ,,ermöglicht es, dass man denselben immer noch höher führen kann, ohne befürchten zu müssen, dass die obersten Stockwerke weniger fest und sicher ruhen als die Grundpfeiler, die Axiome, und die untersten Stockwerke, die elementaren Lehrsätze.''
Deze twee samenhangende karaktertrekken der wiskunde, de verkregen uitkomsten steeds te bewaren en ze met nieuwe te vermeerderen, voeren onvermijdelijk tot een uitbreiding van de leerstof, die niet alleen voor hen die zich voor het universitair onderwijs voorbereiden, maar ook voor den student in wis- en natuurkunde en voor ons hoogleeraren bedenkelijke proporties dreigt aan te nemen. Wijl dit punt van het uiterste gewicht is, vraag ik u verlof het wat uitvoeriger te bespreken. Daarbij zal dan wel blijken, dat de toestand niet zoo onrustbarend is, als ze wel schijnt te zijn.
Indien alles, wat aan de nieuwere uitkomsten van deze eeuw ontleend kan worden -- en dit moeten grootendeels algemeene beginselen zijn --, in de leerboeken als aanhangsel achter den tekst geylaatst wordt, zoo als dit met het Traité de géométrie van E. ROUCHÉ en C. DE COMBEROUSSE eenigermate het geval is, dan zal de leerstof ongetwijfeld omvangrijker worden. Maar het is zeer de vraag of dit wel het geval behoeft te zijn, indien deze algemeene beginselen, zoo als het dualisme in HENRICI en TREUTLEIN'S Lehrbuch, in den tekst gevlochten en hiermee tot een organisch geheel vereenigd worden. We hebben dan -- om een beeld der scheikunde te gebruiken, -- niet met een vermenging, maar met een verbinding te doen en vinden, dat daarbij dikwijls contractie plaats heeft. Met andere woorden, verschillende stellingen, die vroeger ieder afzonderlijk behandeld moesten worden, verschijnen in het licht van het algemeene beginsel als bijzondere gevallen eener meer algemeene stelling. En niet alleen, dat deze algemeene stelling in staat stelt het samenstel der verschillende gevallen gemakkelijker te overzien, dikwijls ook laat zij toe enkele der bijzondere gevallen als nu van ondergeschikt belang geworden buiten rekening te laten. Het zou mij geen moeite kosten hiervan verschillende voorbeelden aan te halen; alleen ter vermijding van wijdloopigheid laat ik ze achterwege.
Mocht de inlassching van de nieuwere uitkomsten ondanks de aangewezen contractie op uitbreiding uitloopen, dan zijn er toch nog een paar wijzigingen aan te brengen, die in staat stellen het gevaar aan die uitbreiding verbonden te keeren. Eerstens herinner ik aan een boven reeds ter sprake gebracht punt, het aanschouwelijk lager onderwijs in meetkunde, Wordt dit ingevoerd [pag. 15] -- en hiertoe moet men vroeg of laat komen --, dan is de Hoogere Burgerschool wel zooveel ontlast als voor het herstel van het evenwicht noodig is. En wat de Gymnasia aangaat zou men dan nog rekening moeten houden met de gegronde klacht, dat het op de voorgrond treden van de bolvormige driehoeksmeting in de zesde klasse het repeteeren der planimetrie en stereometrie bijna geheel belet. Naar mijn innige overtuiging oefent de toevoeging van dit leervak op de studie der wiskunde in de zesde klasse van der Gymnasia ook nu reeds een verderfelijken invloed uit. Want wat anders bij het einde van den zesjarigen cursus rijpe vruchten zou hebben kunnen dragen, komt nu slechts ten deele tot ontwikkeling. Om welken prijs? Om een handvol formules, die zoo spoedig mogelijk, dikwijls nog eerder dan het Grieksch en Latijn, als ballast over boord geworpen worden. En ten tweede gaat hier de letter weer heerschappij voeren over den geest. Want juist de bolvormige driehoeksmeting laat toe, dat een overigens wiskundig volkomen onvoldoend onderlegde leerling der zesde klasse bij het eindexamen voor de geheele groep wiskunde een voldoend eindcijfer verkrijgt, omdat de les in boldriehoeksmeting goed opgezegd is. Gaarne zal ik deze spherische trigonometrie, dit spherisch exces van het gymnasiaal onderwijs in wiskunde, van het leerplan zien verdwijnen. En dit te meer, wijl de aanstaande medici het bijna nooit, de aanstaande natuurphilosophen het slechts zelden noodig hebben en het door zelfstudie dan in een paar dagen volkomen meester kunnen zijn. Is aan mijn wensch, dat dit leervak geschrapt moge worden, voldaan, dan, ik ben er zeker van, wordt ook bij de opleiding aan de Gymnasia voldoende tijd gevonden, om behalve een eenigermate uitgebreid leerplan van planimetrie en stereometrie, de beginselen der coördinatenleer en de vlakke driehoeksmeting te verwerken. Bovendien zou ook de studie van de beginselen der coördinatenleer bij de aanstaande studenten in wis- en natuurkunde nog achterwege kunnen blijven, wijl deze den grondslag vormt der analystische meetkunde, die bij de universitaire studie in wis- en natuurkunde aan de orde komt.

Zijn onze drie wenschen, invoering van aanschouwelijk lager onderwijs in meetkunde, vernieuwing van den kanon van planimetrie en stereometrie, ontlasting van het leerplan der Gymnasia met de bolvormige driehoeksmeting, vervuld, dan -- maar ook eerst dan -- zal het voorbereidend onderwijs in meetkunde aan de eischen des tijds voldoen. Daarmee zullen dan hier te lande de studenten in wis- en natuurkunde -- en met hen de nieuwe generatie hoogleeraren, die uit hen wordt gerecruteerd -- met betrekking tot de studie van de zich steeds uitbreidende wetenschap in gunstigere omstandigheden zijn gekomen. En dit is zeer gelukkig, want de wetenschap gaat steeds voort zich uit te [pag. 16] breiden. Hoe meer er gedaan is, des te meer blijft er te doen overig. Elke gewichtige ontdekking voert ons op nieuwe wegen, die ons telkens het uitzicht openen op nieuwe velden van onderzoek met prachtige vergezichten in het verschiet. Zoo gaat het onafgebroken voort. Moet dan het einde niet zijn, dat het de student in wis- en natuurkunde onmogelijk wordt in deze steeple-chase niet achter te blijven? Ik geloof het niet. Want ook zijn record kan, moet en zal beter worden. Laat mij u zeggen, op welke drie gronden deze bewering steunt.
Eerstens leert de geschiedenis der wiskunde, dat deze wetenschap in haar ontwikkelingsgang nu en dan stappen voorwaarts doet, welke de studie in sterke mate vergemakkelijken. Zij zelve, ze effent ons pad en voorziet ons van de hulpmiddelen, die ons in staat stellen haar te volgen. Het meest klassieke voorbeeld hiervan is de invoering van het coördinatenstelsel door DESCARTES, waarmee een kostelijk instrument van wiskundig onderzoek gewonnen is. Veelal hebben we dezen molen slechts te draaien om de oplossingen der problemen, die we aan de eene zijde stelden, aan de andere zijde te voorschijn te zien treden. Niet altijd echter gaat het malen even gemakkelijk. Somtijds zelfs valt het werk den molenaar zoo moeielijk, dat het moet worden opgegeven. Dan kunnen eerst andere machines tot het doel voeren. Zij, die hiervan een eigenaardig voorbeeld willen kennen, mogen de dynamische gelijkenis lezen, waarmee Sir ROBERT STAWELL BALL in 1887 de wis- en natuurkundige sectie van de 56ste meeting der Britsche Associatie te Manchester opende. Daarin wordt voorgesteld, hoe er een commissie benoemd wordt om te onderzoeken, waarom een bepaald lichaam, waarop gegeven krachten werken, niet in beweging komt. Deze commissie bestaat uit de heeren Dubbelverhouding (voor de afdeeling: meetkunde), Een-aan-een (voor de afdeeling: homographie), Schroeflijn (ouderwetsch lid) en Cartesius; aan haar worden nog twee leden toegevoegd, n.l. de heeren Gezond verstand en Twistgraag. Vooral de laatste bewijst onberekenbare diensten. En wat blijkt nu? Dat het advies van Cartesius steeds van nul en geener waarde is. Daarin is dan de waarde der projectieve meetkunde tegenover die der analytische in vermakelijken vorm aangetoond. Maar dat er nu en dan vraagpunten voorkomen, die zich langs andere wegen gemakkelijker laten benaderen, dit neemt toch niet weg, dat het instrument van DESCARTES groote diensten heeft gedaan en we het ook nu nog niet kunnen missen.
Ten tweede legt de vooruitgang der wetenschap dikwijls verband tusschen vroeger geheel op zich zelf staande beschouwingen, wat niet tot uitbreiding, maar tot vereenvoudiging aanleiding geeft. Het is merkwaardig in dit licht de onderlinge verhouding van stel- en meetkunde na te gaan. Eerst was de verhouding tusschen de beide dames zeer koel en werd, wijl zij zich niet tot elkaar aangetrokken gevoelden, de kennismaking slechts bij groote tusschenpoozen door wederzijdsche bezoeken onderhouden. Dit is nu geheel anders geworden. Ze zijn nader tot elkaar gekomen, leeren elkaar steeds [pag. 17] meer waardeeren en worden thans door zoo veel banden met elkaar vereenigd, dat ze slechts één lichaam en één ziel vormen. Zoo schreef de grootste vrouwelijke wiskundige van Frankrijk, SOPHIE GERMAIN: ,,L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite, la géométrie n'est qu'une algèbre figurée.'' En hoewel men bijna geneigd zou zijn aan parodie te denken als SYLVESTER schrijft: ,,Ik heb Muziek de Algebra der zinnen, Algebra de Muziek van de rede, Muziek de droom en Algebra het wakende leven genoemd, wijl de ziel van beide hetzelfde is,'' zooveel is zeker, dat de toenadering tusschen stel- en meetkunde de studie van beide in hooge mate vereenvoudigd heeft. Natuurlijk is het uit het oogpunt van hem, die de wetenschap opbouwt, te begrijpen, te billijken, ja toe te juichen, dat er een leerboek der stelkunde verschijnt zonder een enkele figuur en een Geometrie der Lage zonder een enkele formule. Maar toch blijft het waar, dat de stelkundige dikwijls de duidelijkste uiteenzetting zijner theoriën in een meetkundige voorstelling vindt3) en de meetkundige er naar trachten moet aan zijn vraagstukken den gekristalliseerden vorm der stelkunde te geven. Zoo steunt het een het ander, wat tot vereenvoudiging van studie leidt. En wat nog tot grooter vereenvoudiging leidt, soms blijkt bij voortgezette studie, dat twee oorspronkelijk geheel verschillende theorieën op hetzelfde doel uitloopen, zoo als dit bijv. met de stelkundige theorie der ternaire vormen en de meetkundige theorie der vlakke kromme lijnen, met de stelkundige theorie der quaternaire vormen en de meetkundige theorie der oppervlakken het geval is.
Ten derde is het streven van den tijd er zooveel mogelijk op gericht, het eenmaal opgehoopte materiaal van kennis zoo gemakkelijk mogelijk verkrijgbaar te stellen. Ter adstructie hiervan wijs ik slechts op het groot aantal middelen, dat men aanwendt om te voorkomen, dat de stroom der wetenschap zich in het ontelbaar aantal kleine kanaaltjes van de periodieke tijdschriften verliest en daardoor ten slotte doodloopt. Het aantal der tijdschriften, waarin wiskundige verhandelingen voorkomen, is in den laatsten tljd tot ver over de honderd gestegen. Onnoodig te zeggen, dat het onmogelijk is deze allen te raadplegen. Om aan dit bezwaar te gemoet te komen maakt men van drie verschillende middelen gebruik. Primo worden de geschriften der groote mannen nog eens afzonderlijk uitgegeven, niet altijd eerst na hun dood, maar somtijds reeds bij hun leven. Zoo zijn van CAYLEY'S algemeene werken onder diens eigen toezicht reeds vijf deelen, inhoudende de van 1841-1865 in 383 verhandelingen neergelegde resultaten, verschenen. Secundo worden de in de tijdschriften verspreide uitkomsten, naar de [pag. 18] onderwerpen gerangschikt, nog eens aan het publiek aangeboden in den vorm van uitstekende leerboeken. En tertio zijn er, als het bovenstaande nog niet voldoende mocht zijn, verschillende hulpmiddelen, die het naslaan van de oorspronkelijke stukken zelve trachten gemakkelijk te maken, zoo als de Catalogue of scientific papers, uitgegeven door de Royal Society of London, het Jahrbuch der Fortschritte der Mathematik, het aangekondigde Fransche Répertoire des sciences mathématiques en de hiermee in verband staande Revue semestrielle des pulblications mathématiques van het genootschap ,,Een onvermoeide arbeid komt alles te boven''.

Aan het slot dezer beschouwingen wensch ik een enkel woord te richten tot u, studenten in wis- en natuurkunde. Ik hoop niet, dat de vrees u om het hart geslagen is bij mijn schets van de steeple-chase tusschen de wetenschap en haar volgelingen. Daarvoor behoeft niet de minste reden te zijn, indien slechts één voorwaarde vervuld is, n.l. deze, dat ge niet studeert alleen om door het examen te komen. Het is mijn overtuiging, dat ieder student zich hiermee het werk moeielijker maakt. Wat u hier de kortste weg schijnt, is werkelijk een omweg. Wilt ge veel van uw studentenleven genieten en u daarbij tevens langs andere wegen zooveel mogelijk ontwikkelen -- wat altijd wel een moeielijk vraagstuk uit de theorie der maxima en minima zal blijven --, neemt dan uwe studie zoo vrij mogelijk op. Verkiest de u aanbevolen leerboeken, de u aangewezen bronnen boven een dictaat. En wat nog weer hooger staat, zweert niet bij uwe leerboeken en bij uwe hoogleeraren, maar tracht zooveel mogelijk u een eigen oordeel te vormen, u een eigen weg te kiezen. Laat u daarbij vooral niet ontmoedigen, zoo ge niet dadelijk naar wensch slaagt. Ook hier geldt het woord: ,,Le temps le mieux employé est souvent celui qu'on perd.'' Dit wordt in de geschiedenis der wiskunde schitterend bevestigd. Want juist die problemen der oudheid, die later gebleken zijn onoplosbaar te wezen, n.l. de kwadratuur van den cirkel, het delische probleem of de verdubbeling van den kubus en de trisectie van den hoek, zij hebben veel meer tot de ontwikkeling van de wiskunde bijgedragen dan hun oplossing ooit had kunnen doen. Zoo blijkt dan, dat LESSING gelijk had, toen hij zeide: ,,Das Ringen nach Wahrheit ist dem Finden der Wahrheit vorzuziehen.''




Noten

1) Della varia fortuna di Euclide in relazione con i problemi dell' insegnamento geometrico elementare, Roma Tipografia Elzeviriana, 1893.

2) Deze en andere dergelijke uitspraken zijn ontleend aan het werk: Mathématiques et mathématiciens, pensées et curiosités, recueillies par A. REBIÈRE, 2e édition, Paris, Nony & Cie, 1893.

3) Zoo merkt KLEIN in zijn verhandeling ,,Geometrisches zur Abzählung der reellen Wurzeln algebraischer Gleichungen'' (Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente, Munchen, Wolf und Sohn, 1892) op, dat de meetkundige vertolking van de kenmerken, die het aantal bestaanbare wortels eener vergelijking bepalen, aan deze theorie een nieuw ontwikkelingsvermogen meedeelt.