HET
VOORBEREIDEND ONDERWIJS IN DE MEETKUNDE.
REDEVOERING
Uitgesproken bij de overdracht van het rectoraat der rijks-universiteit
te Groningen, den 19den september 1893,
DOOR
Dr. P.H. Schoute.
Aanvullende gegevens:
Uitgegeven door J.B. Wolters: Groningen (1893)
Gedrukt in de Stoomdrukkerij van J.B. Wolters
Oorspronkelijk pamflet 18 pagina's met voetnoten waarvan de nummering op elke
pagina opnieuw begon.
Begin tekst op p. 3
Zeer geachte Toehoorders!
Toen CAYLEY, een der grootste wiskundigen dezer ten einde spoedende
eeuw, nu tien jaar geleden als voorzitter de te Southport gehouden 52ste
meeting der Britsche Associatie moest openen, ving hij zijn toespraak ongeveer
aldus aan: ,,Zoo gij wenschen mocht, dat gij op dit oogenblik op het
punt waart van een anderen voorzitter een rede te hooren over een ander
onderwerp, zou ik mij dit levendig kunnen voorstellen. Toch is het goed,
dat de toespraak moet handelen over het onderwerp van studie van den
voorzitter. Want hierdoor wordt de aandacht der vergadering achtereenvolgens
gevestigd op onderwerpen van allerlei aard door personen, die geacht
mogen worden deze onderwerpen te beheerschen. Wat echter niet wegneemt,
dat de algemeene regel in bijzondere gevallen groote bezwaren kan meebrengen.
Maar wat nood, deze vergadering is het individu, dat overeenkomstig
de regelen der evolutieleer desnoods moet worden opgeofferd aan
de ontwikkeling van de soort.''
Beter dan CAYLEY dit gedaan heeft, toen hij tot de meest
wetenschappelijke vergadering van Groot-Brittannië sprak, han ik mijn verhouding tot u,
geachte toehoorders, niet teekenen. Geloof mij, ik ben er mij volkomen
van bewust, dat ik u in bovengenoemden zin opofferen zou, indien ik
verder het voorbeeld van CAYLEY wilde volgen door te trachten u een
beeld te ontwerpen van den stand der wiskunde op dit oogenblik. Op dit
punt echter kunt ge gerust zijn. Niet alleen medegevoel met u, ook zelfkennis
noopt mij minder hoog te vliegen. Liever nog laad ik den schijn op
mij in het tegenovergestelde uiterste te vervallen door mij heden te bepalen
tot het bespreken van een enkele eenvoudige vraag, die de toekomst der
wiskunde raakt.
Voldoet het voorbereidend onderwijs in meetkunde aan de
eischen des tijds?
Een volledig antwoord op deze vraag zou lijvige boekdeelen kunnen vullen.
Want ze is thans, door alle deelen der beschaafde wereld heen, op veler
lippen. Natuurlijk kan ik hier slechts enkele hoofdpunten terloops aanstippen.
Voor ik daartoe overga, wil ik echter uitdrukkelijk verklaren, dat ik hierbij
personen van zaken scheiden zal. Niemand kan er beter van overtuigd zijn
[pag. 4]
dan ik, dat het wiskundig onderwijs aan de meeste onzer Gymnasia en
Hoogere Burgerscholen in uitstekende handen is. Aan het onderwijzend
personeel ligt het dus in geenen deele, dat ik de gestelde vraag in ontkennenden
zin moet beantwoorden. Wat meer zegt, ik koester de gegronde
hoop, dat van deze zijde eerlang veel gedaan zal worden om een beteren
toestand voor te bereiden.
Bij de bespreking der gestelde vraag vestig ik in de eerste
plaats de aandacht op de leerstof, het programma van het meetkundig onderwijs. Zoo
als bekend is, stamt onze tegenwoordige meetkundige kanon -- d. i. de
geregelde aaneenschakeling van stellingen, zoo als deze na het aannemen
van eenige axioma's en bepalingen uit elkaar volgen --, rechtstreeks af van
het werk, dat op naam staat van den Alexandrijnschen wiskundige EUCLIDES,
die omstreeks 290 v. Chr. leefde. Deze [Stoicheia] of Elementen van EUCLlDES
vormen den vasten grondslag, waarboven het bewonderenswaardige gebouw
der Grieksche meetkunde (EUCLIDES, ARCHIMEDES, ERATOSTHENES en
APOLLONIUS) zich verheft. Deze grondslag heeft zijn vastheid behouden, niet
alleen gedurende den langen nacht van 1200 jaren, die op de Grieksche bloei-periode
volgde en inligt tusschen PAPPUS en DESCARTES, maar ook gedurende het opnieuw
ontwaken van de wetenschap der meetkunde in later
dagen. Werkelijk vormen de elementen van EUCLIDES dan ook een model
van stelselmatige rangschikking, in zoo ver als elke stelling daar geplaatst is,
waar de hulpmiddelen tot haar bewijs volledig aanwezig zijn. Is het dan wel
wonder, dat er afgoderij gepleegd werd met dit werk en men reeds van
heiligschennis werd beschuldigd, zoodra men slechts met den vinger naar
een minder gelukkige plaats wilde wijzen? Zoo lezen we in de ,,voor-afspraak''
tot den door W. LA BORDUS bezorgden derden druk der Euclidesuitgave
van H. COETS: ,,Schoon Euclides Beginselen van de allerbeste Wiskunstenaars
voor veele Eeuwen, gehouden zyn voor een Pronkstuk, daar de
Nydt, noch Onkunde geen vatten op vondt, heeft men echter noch eenigen
gevonden, die uit onkunde en verwaantheit dezen grooten Man en zyne
werken, besprongen hebben, waanende dat zyne Orde niet goedt, zyne bewyzen
te lang en lastig waaren.'' Men hoort het ,,ne touchez pas à la
Reine''. Maar aan den anderen kant moet ook worden erkend, dat de
bestrijders in hun kritiek niet altijd even gelukkig waren. Zoo de strijdlustige
PETRUS RAMUS niet, aan wiens in 1569 verschenen Scholae mathematicae
thans geen waarde meer toegekend wordt en van wien de boven aangehaalde
LA BORDUS dan ook getuigt: ,,Men magh waarlyk wel zeggen, hy maakt
met zyn veel weten, dat hy niets met alles weet''. Zoo ook zelfs de groote
LEGENDRE niet, wiens in I794 uitgegeven Éléments de
géométrie een bijzonder groot succes hadden.
Want hoewel hij EUCLIDES in nauwkeurigheid en
duidelijkheid van voorstelling ovetreft, staat zijn werk als stelsel beneden
dat van EUCLIDES, omdat hij zijn voorliefde voor de analyse niet voldoende
heeft weten te beheerschen en zijn meetkunde daardoor afhankelijk geworden
[pag. 5] is van de stelkunde. Bovendien heeft hij de ongelukkige bepaling der
rechte lijn als de lijn van kortsten afstand ingevoerd. Onafhankelijk van
elkaar hebben DURHAMEL en HOÜEL in 1867 dan ook aangeraden, den door
LEGENDRE ingeslagen weg weer te verlaten en tot den gedachtengang van
EUCLlDES terug te keeren. En nog in 1869 hebben zelfs BRIOSCHI en CREMONA
het niet beneden zich geacht het leerboek van EUCLIDES, dat door
den minister van onderwijs in Italië was voorgeschreven, tegen den aanval
van den Engelschen wiskundige WILSON te verdedigen.
De schitterendste rechtvaardiging, die het werk van EUCLIDES
heeft ondergaan, heeft betrekking op het derde axioma, gewoonlijk het postulaat van
EUCLlDES genoemd. Volgens dit axioma kan er door een gegeven punt
slechts een rechte lijn evenwijdig aan een gegeven rechte lijn getrokken
worden. Hiervan zei reeds D'ALEMBERT ,,le postulatum des parallèles
fait,
depuis tant de siècles, le scandale de la géométrie et le
désespoir des géomètres''.
Werkelijk is het aantal pogingen, dat men heeft aangewend om
dit derde axioma te bewijzen en het dus tot stelling te verheffen, zeer groot.
Als dit bewijs mogelijk was, dan moest de waarheid, dat men uit een
gegeven punt slechts een rechte lijn trekken kan evenwijdig aan een gegeven
rechte lijn, mede uit de beide andere axioma's zijn af te leiden en dus de
tegenovergestelde hypothese, dat men uit een punt meerdere lijnen evenwijdig
aan een gegeven lijn trekken kan, als met deze axioma's onvereenigbaar
tot tegenstrijdige resultaten voeren. Van deze premisse uitgaande hebben
twee onderzoekers, een Rus en een Hongaar, LOBATSCHEFFSKY en BOLYAI,
bijna terzelfder tijd een van onze meetkunde geheel verschillende meetkunde
opgebouwd, waarin van tegenstrijdigheid geen sprake is. In deze nieuwe
meetkunde is de som der drie hoeken van een driehoek minder dan twee
rechte hoeken. Daarna heeft RIEMANN nog weer op een andere meetkunde
opmerkzaam gemaakt, waarin omgekeerd de som der hoeken van een driehoek
grooter is dan twee rechte hoeken; van deze maakt de meetkunde op
den bol een bijzonder geval uit. En eindelijk heeft BELTRAMI oppervlakken
aangewezen, waarop de meetkunde van LOBATSCHEFFSKY voorkomt, en
daarmee de opmerking weerlegd, dat deze laatste, zoo ze slechts ver genoeg
voortgezet werd, nog wel eens tot tegenstrijdigheid zou kunnen voeren.
Hiermee is dus eens voor al bewezen, dat het derde axioma voor den
opbouw van het stelsel onzer meetkunde ten eenenmale onmisbaar is en zou
men kunnen meenen, dat pogingen het tot stelling te verheffen thans niet
meer voorkomen. Werkelijk ontvangt -- zoo merkt POINCARÉ op -- de
Académie des sciences te Parijs jaarlijks dan ook nog slechts een
à twee
proeven in deze richting.
De verleiding is groot, geachte toehoorders, u omtrent deze belangrijke
beschouwingen der zoogenaamde niet-Euclidische meetkunde met
haar oppervlakken en ruimten van constante krommingsmaat wat langer
bezig te houden en u te wijzen op de verdiensten van GAUSS, VON HELMHOLTZ,
[pag. 6] KLEIN, LIE en POINCARÉ met betrekking tot dit vraagpunt. Doch
dan zou ik mij te ver van mijn onderwerp verwijderen en bovendien de belofte
u boven gedaan schenden. Reeds nu moet ik verschooning vragen voor
deze uitwijding en mij, onder verwijzing naar een artikel van POINCARÉ,
bepalen tot de mededeeling, dat LOBATSCHEFFSKY, door CLIFFORD den
COPERNICUS der meetkunde genoemd, leefde en werkte aan de Universiteit
te Kazan en deze instelling zich thans gereed maakt, den 2den November
van dit jaar, het eerste eeuwfeest te vieren van LOBATSCHEFFSKY'S geboorte
door het stichten van een naar hem te noemen fonds, waaruit telkens na
een bepaald tijdsverloop een prijs zal worden toegekend aan den buitenlandschen
geleerde, wiens geschriften in dien tijd het meest hebben bijgedragen
tot de ontwikkeling der niet-Euclidische meetkunde.
Ook bij het oordeel over de wenschelijkheid EUCLIDES' werk bij
het onderwijs te gebruiken - en hieromtrent wil ik mij straks verklaren -
blijkt weer, hoeveel er van plaatselijke omstandigheden afhangt. Aan de
eene zijde schreven BRIOSCHI en CREMONA in 1869 ,,Chez nous, l'introduction
d'Euclide dans des écoles a rendu un autre service considérable:
celui d'écarter les innombrables petits traités, fabriqués
dans un pur intérêt de spéculation, qui infestaient les
écoles.'' En in Engeland
werd in I871 onder den titel Association for the Improvement of
Geometrical Teaching een vereeniging opgericht, die zich o. a. ten
doel stelt de opperheerschappij van EUCLIDES te fnuiken en de misbruiken,
waartoe deze aanleiding geeft, te doen ophouden door andere leerboeken
naast EUCLIDES te stellen. Zoo voeren verschillende soorten van misbruiken
tot lijnrecht tegenovergestelde uitkomsten. Dat deze misbruiken in Engeland
nog niet uit den weg geruimd zijn, blijkt uit een bericht in het 10 Maart
1892 verschenen nummer van Nature. ,,Weldra'' -- zoo lezen we daar --
,,zal er door de Vereeniging tot verbetering van het meetkundig onderwijs
een belangrijk request worden ingediend bij de Faculteit van wis- en natuurkunde
te Oxford, dat betrekking heeft op de naar de meening der Vereeniging
zeer verkeerde inrichting van het schriftelijk werk bij het toelatingsexamen
tot de Universiteit. Dit schriftelijk werk bestaat doorgaans uit een
reproductie van de bewijzen der aan den gewonen tekst van EUCLIDES ontleende
stellingen, terwijl men daarbij slechts zelden tracht te ontdekken
of wat er ingeleverd wordt wel van iets meer blijk geeft dan van een
bijzondere inspanning van het geheugen. De Vereeniging meent, dat deze
regeling een onverstandige wijze van onderwijs geven in de hand werken
moet en wenscht derhalve bij het schriftelijk werk ook enkele eenvoudige
vraagstukken opgenomen te zien, opdat hierdoor een meer rationeele studie
der meetkunde bevorderd moge worden.'' Naast dit request leg ik het ingezonden
stukje in het 21 November 1889 verschenen nummer van Nature
met het opschrift ,,How not to teach geometry'', waarin een leerling eener
school de volgende verklaring aflegt: ,,Men schrijft ons de helft eener stelling
[pag. 7] op het bord en wij schrijven deze thuis uit het geheugen over. De volgende
les wordt met de tweede helft der stelling eveneens gehandeld. Daarna
moeten we de geheele stelling leeren en op de derde les in staat zijn ze
met andere letters op te zeggen en op te schrijven.'' Herinnert dit niet aan
de scholen van voorheen, waar men de tafel van vermenigvuldiging van
buiten leerde door ze te zingen?
Hen, die wenschen te weten, hoe het op dit oogenblik met de macht
van EUCLIDES in de verschillende deelen der beschaafde wereld gesteld is, kan
ik verwijzen naar de onder den titel ,,Over het verschillend lot van EUCLIDES
met betrekking tot de vraagpunten van het elementair onderwijs in
meetkunde'' in Februari van dit jaar verschenen Italiaansche brochure
1)
van Dr. GINO LORIA Uit Genua. Hierin lezen we omtrent ons land: ,,Ook
in Holland kent men geen door de regeering voorgeschreven of door het
geheele onderwijs aangenomen Syllabus van meetkunde. Hoewel velen erkennen,
dat dit bezwaren meebrengt, is het in strijd met den geest van onafhankelijkheid,
die dit dappere volk kenmerkt, zulk een Syllabus in te voeren.
In zijn oorspronkelijken vorm is EUCLIDES er onbekend, doch de in den
laatsten tijd verschenen leerboeken hebben een treffende overeenkomst met
zijn werk.''
Dit oordeel, den Italiaanschen wiskundige in de pen gegeven door
Dr. J. DE VRIES, leeraar aan de Hoogere Burgerschool te Haarlem, moet ik wel
onderschrijven, wijl de afwijkingen der nieuwere leerboeken van EUCLIDES
werkelijk van ondergeschikt belang zijn. Bij EUCLIDES zijn de bepalingen
der verschillende meetkundige vormingen vereenigd in een hoofdstuk, dat
alle stellingen voorafgaat. Deze handelwijs doet aan den leerling denken, die
in een opstel de interpunctie vergeten had en er nu een blaadje met komma's
en punten bijvoegde met het verzoek die op de juiste plaats in den tekst
in te lasschen; zij is sedert langen tijd verlaten. Blijven deze en enkele
overeenkomstige verbeteringen van den vorm buiten beschouwing, dan bestaan
de wijzigingen alleen uit de verschikking van een paar stellingen en
de in veel minder schoolschen vorm tusschengevoegde reeksen van vraagstukken.
Doch overigens is zelfs -- en hierop kom ik later terug -- de
indeeling der leerstof onveranderd gebleven. En hoewel nu de toevoeging
der vraagstukken zeker een goede stap voorwaarts genoemd mag worden,
blijven er mijns inziens ook met betrekking tot de leerboeken van den laatsten
tijd twee bezwaren gelden. Primo zijn ze te abstract om als eerste
leerboeken dienst te doen en secundo zijn ze niet op de hoogte van den
tegenwoordigen tijd. Ik vraag verlof elk dezer beide bezwaren iets breeder
te ontwikkelen.
In de Educational Times van Maart 1893 komt een zeer lezenswaardig
[pag. 8] artikel voor van Prof. W. H. H. HUDSON, getiteld ,,The teaching of mathematics.''
Daarin worden met betrekking tot het onderwijs zeer behartigenswaardige
wenken gegeven. Eerst worden de drie volgende wetten ontwikkeld.
Primo, het onderwijs moet het verstand van den leerling geheel in beslag
nemen (law of understanding). Secundo, het onderwijs moet een bepaalde
volgorde in acht nemen en steeds van waarneming door de zintuigen tot
het vormen van begrippen, van het concrete tot het abstracte opklimmen
(law of sequence). Tertio, het nieuwe en onbekende moet zich langs
geleidelijken weg uit het oude en bekende ontwikkelen (law of continuity).
Welnu, tegen elk dezer drie wetten zondigt de in onze handboeken gevolgde
leerwijze. Daar wordt alles opgeofferd aan de strenge logica, die nog niet
tot het verstand van den leerling spreekt. Daar worden begrippen vooropgesteld,
zonder dat er sprake van is ze op eenvoudige waarneming door de
zintuigen te doen rusten. Daar wordt het nieuwe plotseling geheel op den
voorgrond gesteld. In stede van den leerling lineaal en passer in handen te
geven en hem in het wezen der dingen in te leiden, stelt men voor dit
luilekkerland een rijstenbrij-barrikade vaa axioma's en bepalingen op. Wat gebeurt
er dan met hem? ,,Son intelligence, ainsi brusquée," -- zegt
J. MACÉ --
,,se refuse à l'abstraction pui se présente avant l'heure et sa
mémoire seule
entre en jeu pour se charger douloureusement de mots et de pratiques
dont le sens 1ui échappe.'' Is het dan wel te verwonderen, dat er
leerlingen
zijn, die afgeschrikt worden en beweren, geen wiskunde te kunnen leeren?
Werkelijk, DESCARTES heeft gelijk, waar hij beweert, dat iedereen wiskunde
leeren kan, wijl men daarvoor alleen noodig heeft ,,ce bon sens également
réparti entre tous les hommes.'' En waar nu de uitkomst een andere is,
daar is dit aan bijomstandigheden te wijten.
Toen ik aandrong op de opklimming van zintuigelijke waarneming tot abstracte
begrippen heb ik eigenlijk een onvoorzichtigheid begaan. Op drieërlei grond
toch is beweerd, dat men in meetkunde niet van waarneming spreken mag.
Vooreerst heeft men gewezen op het eigenaardig karakter der meetkundige
figuren. Een punt zonder afmetingen, een lijn zonder breedte en dikte, een
oppervlak zonder dikte zijn denkbeeldige scheppingen der rede, die in de
ons omringende natuur niet voorkomen en dus ook niet kunnen worden
waargenomen. Evenmin treffen we in de natuur een cirkel of een bol aan
waarvan alle stralen gelijk zijn, een lichaam begrensd door volkomen platte
vlakken die met volkomen rechte lijnen aan elkaar sluiten, enz.
Deze beschouwing, die in het algemeen tegen het gebruik van figuren en
modellen bij het meetkundig onderwijs gekant is, verdient bijna geen weerlegging.
Natuurlijk zijn figuren en modellen slechts benaderde voorstellingen,
aan welke men niet moet blijven hangen. Maar dit belet niet, dat de aanschouwing
van het onjuiste beeld de vorming van de juiste voorstelling zeer
vergemakkelijken kan. Anders gezegd: la géométrie est l'art
de raisonner [pag. 9] juste sur des figures fausses
2). De vraag, of men een figuur opzettelijk
misteekenen moet, ten einde te voorkomen, dat men aan haar blijft hangen,
dan wel of men ze zoo nauwkeurig mogelijk teekenen moet om te voorkomen,
dat men uit onjuiste figuren onjuiste gevolgtrekkingen afleidt, zoo als
bij de zoogenaamde ,,fallacies'' van den laatsten tijd, kan in verschillende
gevallen in verschillenden zin beslist worden.
Ten tweede wil men er een verlaging der wiskunde in zien, dat men bij
deze wetenschap, die door deductie alleen reeds kan worden opgebouwd,
ook tot waarneming zijn toevlucht neemt. Zoo als BOURDEAU zegt ,,La
perception a ses méprises, la conception ses lacunes, l'inducftion ses
témérités,
l'opinion ses dissidences, l'observation ses mécomptes, l'expérience
ses égarements. Seule la déduction ne trompe point, quand elle suit
la loi du raisonnement. Les vérités qu'elle établit, une
fois démontrées, sont parfaites,
définitives et ne changent plus.''
Natuurlijk staat een deductief bewijs veel hooger dan een bewijs, dat op
waarneming berust. GALILEI vond door het gewicht van een cycloïdale plaat
te vergelijken met dat van den voortbrengenden cirkel, dat het oppervlak
der cycloïde gelijk is aan dat van drie voortbrengende cirkels. HUYGENS
ontwikkelde de theorie der ontwondenen van kromme lijnen en kwam door
deductieve redeneering tot hetzelfde resultaat. Hierbij neemt GALILEI het
nog weinig wetenschappelijke standpunt in van den jongen uit Turin, van
wien J. J. ROUSSEAU verhaalt, dat hij in zijn jeugd het verband tusschen
omtrek en oppervlakte van vlakke figuren had leeren kennen door het eten
van isoperimetrische wafels, d. i. van wafels met gelijken omtrek; terwijl
HUYGENS te vergelijken is bij STEINER en anderen, die in deze eeuw door
middel van meetkundige beschouwingen onomstootelijk bewezen hebben, dat
van alle vlakke figuren met gelijken omtrek de cirkel de grootste oppervlakte
heeft. Evenwel, al staat ook deductie oneindig hoog boven waarneming en
experiment, toch verlieze men niet uit het oog, dat het opbouwen eener
wetenschap en het onderwijzen van de beginselen er van twee geheel verschillende
zaken zijn en de wafelmethode dikwijls meer naar de smaak van
den leerling zal wezen.
Ten derde zijn er menschen, die meenen, dat de wiskunde van waarnemen
niets weet. ,,Of observation, experiment, induction, analogy the mathematician
knows nothing'' schreef in 1836 de hoogleeraar in logica Sir W1LLIAM
HAMILTON, wel te onderscheiden van den grooten wiskundige Sir WILLIAM
ROWNAN HAMILTON, den ontwerper der quaternionentheorie. En in 1869
herhaalde de u allen bekende physioloog T. H. HUXLEY bij de beoordeeling
der philosophische werken van A. COMTE deze uitspraak in de Fortnightly
[pag. 10] Review. De weerlegging dezer meening vormt de hoofdinhoud der meesterlijke
rede, waarmee SYLVESTER in hetzelfde jaar de wis- en natuurkundige
sectie van de 39ste meeting der Britsche Associatie te Exeter opende. Daarin
nu wordt o. a. meegedeeld, dat LAGRANGE -- de grootste autoriteit die kan
worden aangevoerd -- het waarnemingsvermogen voor den wiskundige van
groot gewicht achtte; dat GAUSS de wiskunde een wetenschap van het oog
noemde en in overeenstemming hiermee er met de uiterste zorg voor trachtte
te waken, dat zijn geschriften niet door drukfouten werden ontsierd; dat de
veel te vroeg gestorven RIEMANN zijn naam mede dankt aan het bewijs, dat
onze ruimteopvatting geheel empirisch is en er -- zoo als boven reeds werd
aangestipt -- andere ruimten zijn, voor welke geheel andere wetten gelden,
om welke redenen hij even als zijn leermeester GAUSS, als VON HELMHOLTZ
en anderen in tegenspraak komt met de omtrent ruimte en tijd door KANT
ontwikkelde meeningen, enz. En verder tracht SYLVESTER daarin aan te
toonen, dat de meeste, zoo niet alle groote denkbeelden der nieuwere wiskunde
aan waarneming hun oorsprong ontleenen. Zoo -- om slechts enkele
onderwerpen te noemen -- de rekenkundige theorie der vormen, waarvan de
grondslag ligt in de onbewezen stellingen van FERMAT, die weerstand boden
aan de pogingen van EULER'S reuzengeest en zich eerst lieten omsmelten in
de blaaspijpvlam van GAUSS' brandend vernuft. Zoo de door HUYGENS ontworpen
theorie der kettingbreuken, volgens LAGRANGE een der schoonste
ontdekkingen van onzen landgenoot, die hij schijnt gedaan te hebben bij de
samenstelling van een automatisch planetarium. Zoo STURM'S theorema
omtrent de bestaanbaarheid van de wortels eener vergelijking, waarover hij
in zijn nederigheid steeds sprak als van ,,le théorème dont j'ai l'honneur de
porter le nom'' en dat hem onverwacht aanstaarde bij het onderzoek naar
de beweging van den samengestelden slinger. Zoo de waarnening van een
enkelen invariant door EISENSTEIN -- een waarneming even toevallig als die
van een uit de ,,zoological gardens'' ontsnapten ijsbeer in de straten van
Londen zou zijn -- welke in de handen van EISENSTEIN onvruchtbaar bleef,
doch later een reeks van onderzoekingen in het leven riep die een geheele
ommekeer in de nieuwere analyse bewerkstelligden. En eindelijk -- zoo kan
ik er als schitterende bevestiging van SYLVESTER'S beschouwing aan toevoegen --
de uit differentiaalquotienten opgebouwde invariant van SCHWARZ,
die het uitgangspunt vormt van de ruim 15 jaren later, in het najaar van
1885, door SYLVESTER zelven ontworpen theorie der reciprocanten.
Naar mijn oordeel zijn onze leerboeken voor meetkunde dan te
abstract.
Waarschijnlijk kan dit ten deele hieraan worden toegeschreven, dat ze te
gelijk aan twee eischen schijnen te willen voldoen. Ze willen zoowel den
leeraar als den leerling gerieven. En nu lijdt het eene onder het andere en
is met name den leerling de voeding wat zwaar. Is deze beschouwing in
hoofdzaak juist, dan zou het geneesmiddel gelegen zijn in een scheiding der
[pag. 11]
twee doeleinden. Doch er is naar mijne meening nog een beter expedient,
en hierop wijst ook Dr. LORIA in zijn aangehaalde brochure, n.l. voorbereidend
lager onderwijs in meetkunde, waarschijnlijk verbonden
met meetkundig teekenen, waardoor het kind reeds vertrouwd raakt met de
verschillende meetkundige figuren en haar allereenvoudigste eigenschappen.
Reeds HOÜEL, FIEDLER en de voornaamste meetkundigen van Engeland
hebben in dien geest geadviseerd. In Duitschland is men van de wenschelijkheid
er van overtuigd en in Oostenrijk en Denemarken is het reeds ingevoerd.
Is het te verwonderen, dat ik thans denk aan de beslissing, op 30
Augustus 1889 bij gelegenheid van de gedeeltelijke herziening der wet op
het lager onderwijs met betrekking tot de ,,vormleer'' genomen, en ik met
die beslissing slechts ten deele vrede kan hebben? Wie zou niet gaarne toegeven,
dat goed onderwijs in meetkundig teekenen meer ontwikkelt dan
slecht onderwijs in vormleer? Maar als goed onderwijs in vormleer, laat ons
liever zeggen goed voorbereidend aanschouwelijk onderwijs in meetkunde,
nu een eisch des tijds is, dan hebbe men zorg te dragen, dat dit onderwijs
goed gegeven worde. Naar mijne overtuiging is de toen genomen maatregel
slechts een halve maatregel geweest en daarom noodlottig, wijl de halve
maatregelen zich gewoonlijk zoo levensvatbaar toonen.
Nu kan men beweren, dat de leerlingen der lagere school te jong zijn
om meetkunde te leeren. Gij, die zoo spreekt, luister naar J. J. ROUSSEAU.
,,J'ai dit'' -- zegt deze in zijn Emile -- ,,que la
géométrie n'était pas à
la portée des enfants; mais c'est notre faute. Nous ne sentons pas que
leur méthode n'est point la nôtre et que ce qui pour nous devient l'art de
raisonner ne doit être pour eux pour l'art de voir. Au lieu de leur donner
notre méthode, nous ferions mieux de prendre la leur.'' En verder: ,,Pour
moi je ne prétends point apprendre à Emile la géométrie, c'est lui qui me
l'apprendra; je chercherai les rapports et il les trouvera, car je les chercherai
de manière à les lui faire trouver.'' En naar LACROIX: ,,La géométrie
est peut-être de toutes les parties des mathématiques, celle que l'on
doit apprendre la première; elle me paraît très propre à intéresser les
enfants.'' En naar LAMÉ: ,,Tous les hommes apportent en naissant la
faculté des mathématiques. Elle se développe chez quelques-uns et s'atrophie
chez la plupart, par défaut d'exercice et d'enseignement.'' Laat het verder
voldoende zijn hieraan toe te voegen, dat de groote wiskundige CLIFFORD
kort voor zijn dood het plan opvatte een meetkunde voor den ,,Kindergarten''
(Fröbelschool) te schrijven.
Het tweede bezwaar, dat ik tegen de nieuwere leerboeken der meetkunde
aanvoer, is, dat ze niet op de hoogte van den tijd zijn. Van alle groote
uitkomsten op meetkundig gebied, die in deze eeuw verkregen zijn, is in
die leerboeken zoo goed als geen spoor te ontdekken. Naar deze te oordeelen
zou de meetkunde in ontwikkeling met een doode taal gelijk staan. Want
[pag. 12]
bijna alles, wat in deze boelten te vinden is, wordt ook reeds bij EUCLIDES
aangetroffen. Noch door PONCELET'S Traité des propriétés projectives des
figures (1822, 1865), noch door MOEBIUS' Barycentrischer Calcul (1827),
noch door STEINER'S Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer
Gestalten von einander (1832), noch door VON STAUDT en REYE'S
Geometrie der Lage (1847 en I866, 1877 1892), noch door CHASLES'
Géométrie supérieure (1852, 1880) is eenige invloed uitgeoefend op den
inhoud dezer leerboeken. Hierbij versta men mij niet verkeerd. Ik wensch
niet, dat deze geheele stortvloed van resultaten het vlakke land der lagere
meetkunde overstroomen, doch dat een malsche regen van uit deze resultaten
afgeleide algemeene beginselen daar nieuw leven wekken mocht. ,,Ik zou
gaarne zien" -- zegt SYLVESTER in de boven aangehaalde rede -- ,,dat de
wiskunde onderwezen werd met dat vuur en die opgewektheid, welke het
voorbeeld harer jongere en meer opgewekte zuster -- de natuurwetenschap --
haar op den duur wel moet meedeelen, dat korte wegen verkozen werden
boven lange, dat het werk van EUCLIDES -- volgens sommigen alleen voor
den Bijbel in heiligheid onderdoende, volgens anderen een der stevigste bolwerken
der Britsche staatsregeling -- eervol in de boekenkast weggeborgen
of geheel buiten het bereik van den schooljongen begraven werd, dieper dan
ooit een dieplood peilde, dat de transformatie werd opgenomen in de stelkunde
en projectiviteit, perspectiviteit en beweging als hulpmiddelen der meetkunde
werden aangewend, dat het inzicht van den leerling verhaast en verhoogd
en zijn vertrouwen gewekt werd door hem vroegtijdig in te wijden in de
hoofdbegrippen van dualisme, continuïteit, oneindigheid en hem gemeenzaam
te maken met de leer van het onbestaanbare.''
Bij een der boven aangestipte algemeene beginselen, de beweging, wensch
ik uwe aandacht nog een oogenblik te bepalen, wijl het Lehrbuch der Elementargeometrie
van J. HENRICI en P. TREUTLEIN, Waarvan de eerste druk
in 1881 en de tweede in 1891 verscheen, dit beginsel tot grondslag eener
geheel nieuwe verdeeling der leerstof gemaakt hebben. Deze innovatie wordt
als volgt gemotiveerd: ,,Mit Recht gelten Euclids Elemente als ein Muster
systematischer Anordnung der Schlüsse, insofern jeder Lehrsatz da steht,
wo die Prämissen zu seinem Beweis vollständig gegeben sind; ein Muster
von logischer Anortnung der Begriffe aber sind jene Elemente nicht,
da ihnen eine logische Einteilung des Stoffes fehlt. Neuere Bearbeitungen
der Geometrie haben daher vor Euclid den Vorzug, dass sie gleichartige
Gegenstände zusammenstellen und ungleichartige in logischer Folge aneinander
reihen. Zu diesem dem Stoff entlenten Grundsatz der Einteilung
nimmt unsere Elementargeometrie einen weiteren hinzu, indem sie die
Lehrsätze nach den verscheidenen Arten der Beweisfürung ordnet.
Da nämlich die Gleichheit der Gebilde daraus erkannt wird, dass diese
durch eine Bewegung zur Deckung gebracht werden können, so gliedert
sich der Stoff nach den Bewegungsarten, welche zum Beweis in [pag. 13]
Anspruch genommen werden.'' Uit twee oogpunten kan dit Duitsche leerboek
als een belofte voor de toekomst gelden. Eerstens omdat het door de
invoering eener meer logische volgorde werkelijk veel gewonnen heeft; ten
tweede, wijl het laat ons zeggen althans eenig nut trekt van de vorderingen
der wetenscbap in deze eeuw. Zoo treden al dadelijk de hoofdvormen van
de Geometrie der Lage, de puntenreeks en de stralenbundel, op den voorgrond.
Zoo is het dualisme tot zijn recht gekomen. En deze nieuwe beschouwingen,
ze zijn niet losweg als aanhangsel aan het stelsel toegevoegd, doch
hiermee door invlechting tot een geheel verbonden.
Maar -- zult ge zeggen -- of die nieuwe beschouwingen nu in den tekst
ingelascht of achteraan toegevoegd worden, het resultaat is toch, dat het
leerboek dikker, de leerstof omvangrijker wordt. Bestaat er nu geen gevaar
voor, dat men de grenzen overschrijdt?
Juist met het oog op het bijzonder karakter der wiskunde, geachte
toehoorders, is deze vraag van veel gewicht. Zoo als Dr. H. SCHUBERT, de
schepper der meetkunde van het aantal, in 1890 in zijn feestrede bij
gelegenheid van het 200-jarig bestaan van het oudste wiskundig genootschap,
de Mathematische Gesellschaft von Hamburg, opmerkte, is n.l. de wiskunde
de meest behoudende en tevens de meest vooruitstrevende aller wetenschappen.
Zij is behoudend, omdat haar uitkomsten onomstootelijk vaststaan
en een nienwe ontwikkelingsperiode het reeds opgetrokken gebouw niet
omverwerpen kan. Wat de Grieksche wiskundigen vonden, is thans nog
juist even waar als voor twintig eeuwen; de stelling van PYTHAGORAS geldt
van minus eeuwigheid tot plus eeuwigheid. Hieruit volgt, dat een
wetenschappelijke polemiek tusschen wiskundigen nooit loopen kan over de
waarheid eener steliing, maar wel over de wijze van ontdekking, over het
eenvoudigste bewijs, over de vraag of ze ook soms een bijzonder geval is van
een meer algemeene stelling, of haar in het stelsel de juiste plaats is
toegekend. Hoogstens kan later blijken, dat de geldigheidsvoorwaarden eener
stelling wat ruim genomen en er gevallen, waarin zij haar geldigheid verliest,
over het hoofd gezien zijn. Zoo heeft al het twistgeschrijf over het postulaat
van EUCLIDES, dat boven besproken werd, ten slotte de waarheid van dit
axioma voor onze gewone meetkunde onaangetast gelaten, al moest worden
erkend, dat er andere soorten van meetkunde denkbaar zijn, waarin het
wordt gemist. Zoo hebben de in den laatsten tijd ontdekte functies, die geen
differentiaalquotient toelaten hoewel ze doorloopend zijn, de door NEWTON
en LEIBNITZ ontworpene differentiaalrekening niet doen wankelen, maar slechts
aangetoond, dat enkele onvoorwaardelijk geldig geoordeelde waarheden slechts
onder zekere beperkende voorwaarden waar zijn. Gelukkig hebben de scheppers
der differentiaalrekening rustig doorgewerkt, zonder er zich rekenschap van
te geven, dat -- waarschijnlijk, zoo niet zeker -- de kritiek later
uitzonderingsgevallen ontdekken zou. Want dan ware ook hier het betere de
vijand van het goede geworden. Uit den aard der zaak moet het trouwens bij elke
[pag. 14]
groote schrede die de wiskunde voorwaarts doet, aan het nageslacht worden
overgelaten om te zuiveren en te volmaken. Wat niet wegneemt, dat in geen
wetenschap de uitkomsten in die mate den stempel der waarheid dragen als
in de wiskunde, anders gezegd dat de wiskunde de meest behoudende aller
wetenschappen is. En juist dit eeuwig vaststaan van eens verkregen uitkomsten
is tevens de reden, waarom men de wiskunde de meest vooruitstrevende
der wetenschappen noemen kan. ,,Die Unzerstörbarkeit des gewaltigen
Thurmbaus der Mathematik'' -- zegt SCHUBERT -- ,,ermöglicht es,
dass man
denselben immer noch höher führen kann, ohne befürchten zu
müssen, dass die obersten Stockwerke
weniger fest und sicher ruhen als die Grundpfeiler,
die Axiome, und die untersten Stockwerke, die elementaren
Lehrsätze.''
Deze twee samenhangende karaktertrekken der wiskunde, de
verkregen
uitkomsten steeds te bewaren en ze met nieuwe te vermeerderen, voeren
onvermijdelijk tot een uitbreiding van de leerstof, die niet alleen voor hen
die zich voor het universitair onderwijs voorbereiden, maar ook voor den
student in wis- en natuurkunde en voor ons hoogleeraren bedenkelijke proporties
dreigt aan te nemen. Wijl dit punt van het uiterste gewicht is,
vraag ik u verlof het wat uitvoeriger te bespreken. Daarbij zal dan wel
blijken, dat de toestand niet zoo onrustbarend is, als ze wel schijnt te
zijn.
Indien alles, wat aan de nieuwere uitkomsten van deze eeuw ontleend
kan worden -- en dit moeten grootendeels algemeene beginselen zijn --, in
de leerboeken als aanhangsel achter den tekst geylaatst wordt, zoo als dit
met het Traité de géométrie van E. ROUCHÉ en C.
DE COMBEROUSSE
eenigermate het geval is, dan zal de leerstof ongetwijfeld omvangrijker worden.
Maar het is zeer de vraag of dit wel het geval behoeft te zijn, indien deze
algemeene beginselen, zoo als het dualisme in HENRICI en TREUTLEIN'S
Lehrbuch, in den tekst gevlochten en hiermee tot een organisch geheel
vereenigd worden. We hebben dan -- om een beeld der scheikunde te
gebruiken, -- niet met een vermenging, maar met een verbinding te doen
en vinden, dat daarbij dikwijls contractie plaats heeft. Met andere woorden,
verschillende stellingen, die vroeger ieder afzonderlijk behandeld moesten
worden, verschijnen in het licht van het algemeene beginsel als bijzondere
gevallen eener meer algemeene stelling. En niet alleen, dat deze algemeene
stelling in staat stelt het samenstel der verschillende gevallen gemakkelijker te
overzien, dikwijls ook laat zij toe enkele der bijzondere gevallen als nu van
ondergeschikt belang geworden buiten rekening te laten. Het zou mij geen
moeite kosten hiervan verschillende voorbeelden aan te halen; alleen ter
vermijding van wijdloopigheid laat ik ze achterwege.
Mocht de inlassching van de nieuwere uitkomsten ondanks de aangewezen
contractie op uitbreiding uitloopen, dan zijn er toch nog een paar wijzigingen
aan te brengen, die in staat stellen het gevaar aan die uitbreiding verbonden
te keeren. Eerstens herinner ik aan een boven reeds ter sprake gebracht punt,
het aanschouwelijk lager onderwijs in meetkunde, Wordt dit ingevoerd [pag. 15]
-- en
hiertoe moet men vroeg of laat komen --, dan is de Hoogere Burgerschool wel
zooveel ontlast als voor het herstel van het evenwicht noodig is. En wat de
Gymnasia aangaat zou men dan nog rekening moeten houden met de gegronde klacht,
dat het op de voorgrond treden van de bolvormige driehoeksmeting in de zesde
klasse het repeteeren der planimetrie en stereometrie bijna geheel belet. Naar
mijn innige overtuiging oefent de toevoeging van dit leervak op de studie der
wiskunde in de zesde klasse van der Gymnasia ook nu reeds een verderfelijken
invloed uit. Want wat anders bij het einde van den zesjarigen cursus rijpe
vruchten zou hebben kunnen dragen, komt nu slechts ten deele tot ontwikkeling.
Om welken prijs? Om een handvol formules, die zoo spoedig mogelijk, dikwijls
nog eerder dan het Grieksch en Latijn, als ballast over boord geworpen worden.
En ten tweede gaat hier de letter weer heerschappij voeren over den geest. Want
juist de bolvormige driehoeksmeting laat toe, dat een overigens wiskundig
volkomen onvoldoend onderlegde leerling der zesde klasse bij het eindexamen
voor de geheele groep wiskunde een voldoend eindcijfer verkrijgt, omdat de les
in boldriehoeksmeting goed opgezegd is. Gaarne zal ik deze spherische
trigonometrie, dit spherisch exces van het gymnasiaal onderwijs in
wiskunde, van het leerplan zien verdwijnen. En dit te meer, wijl de aanstaande
medici het bijna nooit, de aanstaande natuurphilosophen het slechts zelden
noodig hebben en het door zelfstudie dan in een paar dagen volkomen meester
kunnen zijn. Is aan mijn wensch, dat dit leervak geschrapt moge worden,
voldaan, dan, ik ben er zeker van, wordt ook bij de opleiding aan de Gymnasia
voldoende tijd gevonden, om behalve een eenigermate uitgebreid leerplan van
planimetrie en stereometrie, de beginselen der coördinatenleer en de
vlakke driehoeksmeting te verwerken. Bovendien zou ook de studie van de
beginselen der coördinatenleer bij de aanstaande studenten in wis- en
natuurkunde nog achterwege kunnen blijven, wijl deze den grondslag vormt der
analystische meetkunde, die bij de universitaire studie in wis- en natuurkunde
aan de orde komt.
Zijn onze drie wenschen, invoering van aanschouwelijk
lager onderwijs in meetkunde, vernieuwing van den kanon van planimetrie en
stereometrie, ontlasting van het leerplan der Gymnasia met de bolvormige
driehoeksmeting, vervuld, dan -- maar ook eerst dan -- zal het
voorbereidend onderwijs in meetkunde aan de eischen des tijds voldoen. Daarmee
zullen dan hier te lande de studenten in wis- en natuurkunde -- en met hen de
nieuwe generatie hoogleeraren, die uit hen wordt gerecruteerd -- met betrekking
tot de studie van de zich steeds uitbreidende wetenschap in gunstigere
omstandigheden zijn gekomen. En dit is zeer gelukkig, want de wetenschap gaat
steeds voort zich uit te [pag. 16]
breiden. Hoe meer er gedaan is, des te meer blijft er te doen overig. Elke
gewichtige ontdekking voert ons op nieuwe wegen, die ons telkens het
uitzicht openen op nieuwe velden van onderzoek met prachtige vergezichten
in het verschiet. Zoo gaat het onafgebroken voort. Moet dan het einde niet
zijn, dat het de student in wis- en natuurkunde onmogelijk wordt in deze
steeple-chase niet achter te blijven? Ik geloof het niet. Want ook zijn
record kan, moet en zal beter worden. Laat mij u zeggen, op welke drie
gronden deze bewering steunt.
Eerstens leert de geschiedenis der wiskunde, dat deze wetenschap in haar
ontwikkelingsgang nu en dan stappen voorwaarts doet, welke de studie in
sterke mate vergemakkelijken. Zij zelve, ze effent ons pad en voorziet ons van
de hulpmiddelen, die ons in staat stellen haar te volgen. Het meest klassieke
voorbeeld hiervan is de invoering van het coördinatenstelsel door DESCARTES,
waarmee een kostelijk instrument van wiskundig onderzoek gewonnen is.
Veelal hebben we dezen molen slechts te draaien om de oplossingen der
problemen, die we aan de eene zijde stelden, aan de andere zijde te voorschijn
te zien treden. Niet altijd echter gaat het malen even gemakkelijk.
Somtijds zelfs valt het werk den molenaar zoo moeielijk, dat het moet worden
opgegeven. Dan kunnen eerst andere machines tot het doel voeren. Zij,
die hiervan een eigenaardig voorbeeld willen kennen, mogen de dynamische
gelijkenis lezen, waarmee Sir ROBERT STAWELL BALL in 1887 de wis- en
natuurkundige sectie van de 56ste meeting der Britsche Associatie te
Manchester opende. Daarin wordt voorgesteld, hoe er een commissie benoemd
wordt om te onderzoeken, waarom een bepaald lichaam, waarop gegeven
krachten werken, niet in beweging komt. Deze commissie bestaat uit de
heeren Dubbelverhouding (voor de afdeeling: meetkunde),
Een-aan-een (voor
de afdeeling: homographie), Schroeflijn (ouderwetsch lid) en
Cartesius; aan
haar worden nog twee leden toegevoegd, n.l. de heeren Gezond verstand en
Twistgraag. Vooral de laatste bewijst onberekenbare diensten. En wat blijkt
nu? Dat het advies van Cartesius steeds van nul en geener waarde is.
Daarin is dan de waarde der projectieve meetkunde tegenover die der analytische
in vermakelijken vorm aangetoond. Maar dat er nu en dan vraagpunten
voorkomen, die zich langs andere wegen gemakkelijker laten benaderen,
dit neemt toch niet weg, dat het instrument van DESCARTES groote diensten
heeft gedaan en we het ook nu nog niet kunnen missen.
Ten tweede legt de vooruitgang der wetenschap dikwijls verband tusschen
vroeger geheel op zich zelf staande beschouwingen, wat niet tot uitbreiding,
maar tot vereenvoudiging aanleiding geeft. Het is merkwaardig in dit licht
de onderlinge verhouding van stel- en meetkunde na te gaan. Eerst was de
verhouding tusschen de beide dames zeer koel en werd, wijl zij zich niet
tot elkaar aangetrokken gevoelden, de kennismaking slechts bij groote
tusschenpoozen door wederzijdsche bezoeken onderhouden. Dit is nu geheel
anders geworden. Ze zijn nader tot elkaar gekomen, leeren elkaar steeds
[pag. 17] meer waardeeren en worden thans door zoo veel banden met elkaar vereenigd,
dat ze slechts één lichaam en één ziel vormen. Zoo schreef de grootste
vrouwelijke wiskundige van Frankrijk, SOPHIE GERMAIN: ,,L'algèbre n'est
qu'une géométrie écrite, la géométrie n'est
qu'une algèbre figurée.'' En hoewel
men bijna geneigd zou zijn aan parodie te denken als SYLVESTER schrijft:
,,Ik heb Muziek de Algebra der zinnen, Algebra de Muziek van de rede,
Muziek de droom en Algebra het wakende leven genoemd, wijl de ziel van
beide hetzelfde is,'' zooveel is zeker, dat de toenadering tusschen stel- en
meetkunde de studie van beide in hooge mate vereenvoudigd heeft. Natuurlijk
is het uit het oogpunt van hem, die de wetenschap opbouwt, te begrijpen,
te billijken, ja toe te juichen, dat er een leerboek der stelkunde
verschijnt zonder een enkele figuur en een Geometrie der Lage zonder een
enkele formule. Maar toch blijft het waar, dat de stelkundige dikwijls de
duidelijkste uiteenzetting zijner theoriën in een meetkundige voorstelling
vindt3)
en de meetkundige er naar trachten moet aan zijn vraagstukken den
gekristalliseerden vorm der stelkunde te geven. Zoo steunt het een het ander,
wat tot vereenvoudiging van studie leidt. En wat nog tot grooter
vereenvoudiging
leidt, soms blijkt bij voortgezette studie, dat twee oorspronkelijk
geheel verschillende theorieën op hetzelfde doel uitloopen, zoo als dit bijv.
met de stelkundige theorie der ternaire vormen en de meetkundige theorie
der vlakke kromme lijnen, met de stelkundige theorie der quaternaire vormen
en de meetkundige theorie der oppervlakken het geval is.
Ten derde is het streven van den tijd er zooveel mogelijk op gericht, het
eenmaal opgehoopte materiaal van kennis zoo gemakkelijk mogelijk verkrijgbaar
te stellen. Ter adstructie hiervan wijs ik slechts op het groot aantal
middelen, dat men aanwendt om te voorkomen, dat de stroom der wetenschap
zich in het ontelbaar aantal kleine kanaaltjes van de periodieke tijdschriften
verliest en daardoor ten slotte doodloopt. Het aantal der tijdschriften,
waarin wiskundige verhandelingen voorkomen, is in den laatsten tljd
tot ver over de honderd gestegen. Onnoodig te zeggen, dat het onmogelijk is
deze allen te raadplegen. Om aan dit bezwaar te gemoet te komen maakt
men van drie verschillende middelen gebruik. Primo worden de geschriften
der groote mannen nog eens afzonderlijk uitgegeven, niet altijd eerst na
hun dood, maar somtijds reeds bij hun leven. Zoo zijn van CAYLEY'S algemeene
werken onder diens eigen toezicht reeds vijf deelen, inhoudende de
van 1841-1865 in 383 verhandelingen neergelegde resultaten, verschenen.
Secundo worden de in de tijdschriften verspreide uitkomsten, naar de
[pag. 18] onderwerpen gerangschikt, nog eens aan het publiek aangeboden in den
vorm van uitstekende leerboeken. En tertio zijn er, als het bovenstaande
nog niet voldoende mocht zijn, verschillende hulpmiddelen, die het naslaan
van de oorspronkelijke stukken zelve trachten gemakkelijk te maken, zoo als
de Catalogue of scientific papers, uitgegeven door de Royal Society of
London, het Jahrbuch der Fortschritte der Mathematik, het aangekondigde
Fransche Répertoire des sciences mathématiques en de
hiermee in verband staande Revue semestrielle des pulblications
mathématiques van het genootschap ,,Een onvermoeide arbeid komt
alles te boven''.
Aan het slot dezer beschouwingen wensch ik een enkel woord te richten
tot u, studenten in wis- en natuurkunde. Ik hoop niet, dat de vrees u om
het hart geslagen is bij mijn schets van de steeple-chase tusschen de
wetenschap en haar volgelingen. Daarvoor behoeft niet de minste reden te zijn,
indien slechts één voorwaarde vervuld is, n.l. deze, dat ge niet studeert
alleen om door het examen te komen. Het is mijn overtuiging, dat ieder
student zich hiermee het werk moeielijker maakt. Wat u hier de kortste
weg schijnt, is werkelijk een omweg. Wilt ge veel van uw studentenleven
genieten en u daarbij tevens langs andere wegen zooveel mogelijk ontwikkelen
-- wat altijd wel een moeielijk vraagstuk uit de theorie der maxima
en minima zal blijven --, neemt dan uwe studie zoo vrij mogelijk op.
Verkiest de u aanbevolen leerboeken, de u aangewezen bronnen boven een
dictaat. En wat nog weer hooger staat, zweert niet bij uwe leerboeken en
bij uwe hoogleeraren, maar tracht zooveel mogelijk u een eigen oordeel te
vormen, u een eigen weg te kiezen. Laat u daarbij vooral niet ontmoedigen,
zoo ge niet dadelijk naar wensch slaagt. Ook hier geldt het woord: ,,Le temps
le mieux employé est souvent celui qu'on perd.'' Dit wordt in de geschiedenis
der wiskunde schitterend bevestigd. Want juist die problemen der oudheid,
die later gebleken zijn onoplosbaar te wezen, n.l. de kwadratuur van den
cirkel, het delische probleem of de verdubbeling van den kubus en de
trisectie van den hoek, zij hebben veel meer tot de ontwikkeling van de
wiskunde bijgedragen dan hun oplossing ooit had kunnen doen. Zoo blijkt
dan, dat LESSING gelijk had, toen hij zeide: ,,Das Ringen nach Wahrheit
ist dem Finden der Wahrheit vorzuziehen.''
Noten
1) Della varia fortuna di Euclide in relazione con i problemi
dell' insegnamento geometrico elementare, Roma Tipografia Elzeviriana, 1893.
2) Deze en andere dergelijke uitspraken zijn ontleend aan het
werk: Mathématiques et
mathématiciens, pensées et curiosités, recueillies par
A. REBIÈRE, 2e édition, Paris, Nony & Cie, 1893.
3) Zoo merkt KLEIN in zijn verhandeling ,,Geometrisches zur
Abzählung der reellen
Wurzeln algebraischer Gleichungen'' (Katalog mathematischer und
mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente, Munchen, Wolf
und Sohn, 1892) op, dat
de meetkundige vertolking van de kenmerken, die het aantal bestaanbare wortels eener
vergelijking bepalen, aan deze theorie een nieuw ontwikkelingsvermogen meedeelt.