Getallen

van natuurlijk naar imaginair

Dit is de webversie van het boek Getallen dat is begonnen als dictaat bij het college Getallen van de bacheloropleiding Wiskunde van de Radboud Universiteit Nijmegen, een college in het eerste semester van het eerste jaar. Het boek wordt uitgegeven door Epsilon Uitgaven. Deze webversie is niet het volledige boek: hij bevat slechts de helft van de bewijzen en alle opgaven ontbreken!

In september 2011 is de tweede druk verschenen. Deze druk bevat meer opgaven dan de eerste. De nummering van de opgaven uit de eerste druk is in de tweede druk niet veranderd. Hier is een pdf-bestand met de extra opgaven. Van het boek wordt hier lijsten met errata bijgehouden voor de eerste druk en voor de tweede druk.

De webpagina’s zijn het best te bekijken met Firefox. Eventueel ook met Internet Explorer met plugins: MathPlayer en een svg-viewer. Er zijn 18 hoofdstukken. Die komen niet allemaal aan bod in de cursus, maar kunnen wel dienen als uitgangspunt voor een cursus Inleiding Getaltheorie.

Het voornaamste doel van de cursus is studenten vertrouwd te maken met de wiskundige manier van denken. De opzet is dat te bereiken aan de hand van wiskundige begrippen die in vele delen van de wiskunde optreden en tot de basisuitrusting van de wiskundige behoren. Begrijpen hoe wiskunde ‘werkt’ maakt dat kennis van de wiskunde makkelijker verder uit te breiden is. Het college zou dus ook Inleiding in de Wiskunde kunnen heten. Die naam wekt echter al snel de suggestie dat het makkelijk is: het is maar een begin en veel zal al bekend zijn, want er is al veel wiskunde in de vooropleiding. Het probleem is dat het voor veel studenten toch echt een begin is.

In de Griekse oudheid is een begin gemaakt met een systematische opbouw van de wiskunde, een zeer indrukwekkend begin trouwens. Die opbouw staat beschreven in de Elementen van Euclides. Vanaf toen is de logische samenhang kenmerkend geworden voor de wiskunde. Toen was het vooral meetkunde. De wiskunde die in dit boek wordt behandeld is wiskunde die gebruikt wordt bij de opbouw van het getalsyteem. Begonnen wordt met de natuurlijke getallen: 0, 1, 2, 3, …. Getallen en meetkunde staan allerminst los van elkaar en het is daarom niet verwonderlijk dat er stellingen over getallen zijn die teruggaan tot (de tijd van) Euclides.

Het eind van de opbouw van het getalsysteem betreft de complexe getallen. Dan beschikken we ook over wortels uit negatieve getallen. Die getallen noemt men imaginair. Het getal √-1 is zo'n imaginair getal. Typisch iets is voor de wiskunde: het bestaat niet echt, het is maar een bedenksel. Dat is op zich juist, maar men moet wel bedenken dat alle getallen bedenksels zijn. Ooit heeft het mensenlevens geduurd om het getal 0 als getal geaccepteerd te krijgen. Aan getallen kun je wennen, ook aan imaginaire getallen. Je went eraan door ze te gebruiken.

De grootste en moeilijkste stap in de opbouw van het getalsysteem is die van de rationale getallen (= breuken) naar de re\"ele getallen. Reële getallen corresponderen met punten op de getallenlijn en kunnen met rationale getallen willekeurig dicht worden benaderd. Voor de meeste mensen zijn dat de enige echte getallen. Toch kunnen met een soortgelijke constructie uit de rationale getallen ook heel andere getallen worden gemaakt, getallen die de meeste mensen als niet-bestaand zullen kwalificeren. Aan die constructie ligt een ander idee van afstand tussen getallen ten grondslag en daarmee ook een ander idee van het benaderen van getallen. Voor ieder priemgetal p heb je zo'n getalsyteem. Die getallen heten p-adische getallen. Dat je aan die getallen ook nog iets kunt hebben is te zien in het laatste hoofdstuk. Het is ongebruikelijk onderwerp voor een boek als dit en is bedoeld voor de studenten die er meer over willen lezen. De kern van het boek—en het college waar het uit voortgekomen is—wordt gevormd door de opbouw van het getalsysteem, de wiskunde die daarvoor nodig is, tezamen voorbeelden van het gebruik van getallen. Daarnaast zijn er onderwerpen, zoals de p-adische getallen, die de lezer worden geboden ter verdieping en verbreding. Zie Opzet, waar is aangegeven wat de kern van het boek is en wat als extra is bedoeld.

Dit college gaat dus over de aard van getallen. Wiskunde is ook taal: formules leggen gedachten vast en maken communicatie mogelijk, zelfs communicatie met een computer. Dat is handig, want een computer kan sommige (gewoonlijk saaie) dingen beter dan een mens. Dat is dus extra handig, want dan kun je als mens je bezighouden met de minder saaie kanten en je computerslaaf extra rekenwerk laten doen om nog meer eventueel relevante uitkomsten onder ogen te krijgen.

In dit boek wordt de programmeertaal Python gebruikt voor de communicatie met de computer. Er zijn vele computertalen en de meeste kunnen voor dit doel gebruikt worden. Hier is voor Python gekozen omdat deze taal een fraaie heldere syntax heeft, op vele platforms werkt, gratis te verkrijgen is en op veel plaatsen wordt gebruikt. De gegeven Pythoncode dient ter versterking van de wiskunde. Het is geen onderdeel van de stof van het college Getallen en kan desgewenst bij lezing worden overgeslagen. De code wordt zonder veel toelichting gegeven. Geïnteresseerden kunnen terecht op de website van Python. Python is zeer geschikt om de beginselen van programmeren te leren. Een goed leerboek is ‘Think Python’ van Allen Downey, uitgegeven door Cambridge University Press, maar is ook gratis te downloaden van Green Tea Press. Hier wordt Python alleen in zijn interactieve modus gebruikt met gebruikmaking van definities van functies die in een paar modules zijn opgeslagen. Er is niet gestreefd naar fraai programmeren en veel van de mogelijkheden van Python, zoals objectgeoriënteerd programmeren, worden niet benut.

De Python-codes zijn ondergebracht in modules zodat ze bijvoorbeeld voor gebruik in de interactieve modus van Python kunnen worden geïmporteerd. In deze webversie van het dictaat wordt een Python-module, zeg foo.py, die gewoon een ﬁle met platte tekst is, als foo.txt geboden, zodat hij makkelijker in de browser te bekijken is.

Nijmegen, augustus 2009

Voor vragen, commentaar of suggesties: keune@math.ru.nl

Aanwijzingen voor de lezer

Dit boek is een leerboek, een boek voor het leren van wiskunde. Het begint bij het begin. Voorkennis is dus niet nodig. Dat wil niet zeggen dat het met dit boek makkelijk is om wiskunde te leren. Een manier van denken maak je je niet eigen door zomaar een boek te lezen en met de wiskundige denkwijze is dat al helemaal een opgave.

Het blijkt dat mondelinge overdracht van wiskunde belangrijk is voor het begrijpen van wiskunde. Niet voor niets bieden universitaire wiskundeopleidingen hoorcolleges. Daar legt een docent uit hoe hij het begrijpt. Het gebruikte boek of dictaat biedt daarnaast houvast: alles staat er op een geordende manier in. Zoals bij zoveel menselijke activiteiten wordt wiskunde vooral geleerd door het te doen. Ieder hoofdstuk van dit boek eindigt daarom met een collectie opgaven. Een wiskundeopleiding biedt ook werkcolleges. Als het goed is, wordt daar de mogelijkheid geboden uitwerkingen van opgaven in te leveren ter correctie. Van het maken van fouten is immers veel te leren.

Zelfstudie

De lezer die geïnteresseerd is in de opbouw van het getalsysteem en zich middels zelfstudie fundamentele wiskundige begrippen wil eigen maken, kan zich beperken tot de stof van het oorspronkelijke college, in het overzicht hieronder aangeduid als de kern van het boek. Bedenk dat het enorm kan helpen als men bij iemand met vragen terecht kan.

De lezer die enigszins vertrouwd is met de fundamentele begrippen kan een keuze maken uit de extra stof:

combinatorische wiskunde in de hoofdstukken 9 en 10,
elementaire getaltheorie in de hoofdstukken 7, 8, 11, 12, 13 en 18 (eerste 4 paragrafen),
p-adische getallen in de hoofdstukken 14, 16 en 18 (laatste 3 paragrafen).

Laatste wijziging: 10 september 2011