Derdegraads vergelijkingen
[volgende][vorige][inhoud] (versie: 23 augustus 2011)
17.1Derdegraads
vergelijkingen
Omstreeks 1500 is in Italië bedacht hoe een kubische (= derdegraads) vergelijking
opgelost kan worden. De methode is gevonden door Del Ferro en later onafhankelijk daarvan
door Fontana (beter bekend als Tartaglia, de stotteraar) en gepubliceerd en verder uitgewerkt
door Cardano. Pas je deze methode toe op een algemene derdegraads vergelijking, dan krijg je
een formule voor de oplossing. Deze staat bekend als de formule van Cardano. We beschrijven
de methode aan de hand van een voorbeeld.
Nicolo Fontana alias Tartaglia (Brescia 1500 – Venetië 1557)
Tartaglia vond de oplossingsmethode voor derdegraads vergelijkingen. Hij was hiertoe
uitgedaagd door, de niet zo goede, leerling Fior van Scipione del Ferro (Bologna 1465 –
Bologna 1526) die al eerder de oplossingsmethode had gevonden.
In het algemeen kun je een vergelijking
door de substitutie
in de gedaante
brengen, een vergelijking waarin de kwadratische term ontbreekt. We gaan de vergelijking
oplossen. Met enig proberen zijn de oplossingen van deze vergelijking makkelijk te vinden.
Daar maken we nu geen gebruik van, want we laten zien hoe het oplossen in het algemeen
gaat.
De belangrijke stap bestaat uit het splitsen van
als een
som:
en dit te substitueren in de vergelijking:
Uitwerken geeft
We kiezen
en zo
dat .
Dan
Gebruiken we dat ,
dan geeft dit
ofwel
en dit is een kwadratische vergelijking in .
Een oplossing is
Hieraan voldoet .
We hebben er ons niets van aangetrokken dat je uit
geen wortel kunt trekken. We rekenen nu gewoon verder met
als een getal dat
in het kwadraat
is. We hebben nu
en met vinden
we ook .
Dus dan
Hiermee hebben we een oplossing gevonden. Hoewel de oplossing een reëel getal
is, hebben we bij het oplossen andere ‘niet-bestaande’ getallen moeten gebruiken.
Of die getallen nu wel of niet bestaan, het is wel een manier om een oplossing te
vinden.
Uit deze oplossingsmethode van derdegraads vergelijkingen blijkt dat het zin heeft om
verder
uit te breiden en wel zo dat de rekenregels blijven gelden. Dan verdwijnt het rekenen met
niet-bestaande getallen.
Girolimo Cardano (Pavia 1501 – Rome 1576)
Cardano publiceerde in zijn boek Ars Magna dat geheel gewijd was aan de algebra,
Tartaglia’s oplossingsmethode. Dit tot ongenoegen van Tartaglia. Cardano zou toegezegd
hebben dat niet te doen. Cardano kwam op de hoogte van het werk van del Ferro en zag
daarin voldoende aanleiding om de oplossingsmethode te publiceren. Tartaglia werd in het
openbaar uitgedaagd door Cardan’s secretaris Ferrari en verloor. Dat was niet zo
verwonderlijk: Ludovico Ferrari (Bologna 1522 – Bologna 1565) bleek zeer begaafd en had,
op verzoek van Cardano, een oplossingsmethode voor vierdegraads vergelijkingen gevonden.
De levensloop van Cardano was opmerkelijk. Hij was zeer bekend als medicus; ging daartoe
uitgenodigd naar Schotland om de aartsbisschop aldaar te genezen. Hij kreeg het aan de
stok mat het Vaticaan wegens godslastering, maar kreeg later een pensioen van de
paus. Zie The MacTutor History of Mathematics archive voor meer over Cardano.
We hebben één oplossing gevonden. Er zijn drie getallen waarvan de derdemachten
gelijk zijn. Voor elk van deze drie derdemachts wortels vind je zo een oplossing. We
beschrijven dat in de laatste paragraaf. Passen we de methode van Cardano toe op
,
dan krijgen we de formule van Cardano: