] > Derdegraads vergelijkingen [volgende][vorige][inhoud]                        (versie: 23 augustus 2011)

17.1  Derdegraads vergelijkingen

Omstreeks 1500 is in Italië bedacht hoe een kubische (= derdegraads) vergelijking opgelost kan worden. De methode is gevonden door Del Ferro en later onafhankelijk daarvan door Fontana (beter bekend als Tartaglia, de stotteraar) en gepubliceerd en verder uitgewerkt door Cardano. Pas je deze methode toe op een algemene derdegraads vergelijking, dan krijg je een formule voor de oplossing. Deze staat bekend als de formule van Cardano. We beschrijven de methode aan de hand van een voorbeeld.


Nicolo Fontana alias Tartaglia (Brescia 1500 – Venetië 1557)


Tartaglia vond de oplossingsmethode voor derdegraads vergelijkingen. Hij was hiertoe uitgedaagd door, de niet zo goede, leerling Fior van Scipione del Ferro (Bologna 1465 – Bologna 1526) die al eerder de oplossingsmethode had gevonden.

Zie The MacTutor History of Mathematics archive voor meer over Tartaglia.


In het algemeen kun je een vergelijking x3 + ax2 + bx + c = 0 door de substitutie x = y a 3 in de gedaante y3 + py + q = 0 brengen, een vergelijking waarin de kwadratische term ontbreekt. We gaan de vergelijking x3 7x 6 = 0 oplossen. Met enig proberen zijn de oplossingen van deze vergelijking makkelijk te vinden. Daar maken we nu geen gebruik van, want we laten zien hoe het oplossen in het algemeen gaat.

De belangrijke stap bestaat uit het splitsen van x als een som:

x = u + v

en dit te substitueren in de vergelijking:

(u + v)3 7(u + v) 6 = 0.

Uitwerken geeft

u3 + 3uv(u + v) + v3 7(u + v) 6 = 0.

We kiezen u en v zo dat 3uv 7 = 0. Dan

u3 + v3 6 = 0.

Gebruiken we dat 3uv = 7, dan geeft dit

u6 6u3 + 73 33 = 0,

ofwel

33u6 6 33u3 + 73 = 0

en dit is een kwadratische vergelijking in u3. Een oplossing is

u3 = 6 33 + 362 34 4 73 3 2 33 = 34 + 303 33 = (3 + 23)3 33 .

Hieraan voldoet u = 3+23 3 . We hebben er ons niets van aangetrokken dat je uit 3 geen wortel kunt trekken. We rekenen nu gewoon verder met 3 als een getal dat in het kwadraat 3 is. We hebben nu u en met 3uv = 7 vinden we ook v = 323 3 . Dus dan

x = u + v = 3 + 23 3 + 3 23 3 = 1 1 = 2.

Hiermee hebben we een oplossing gevonden. Hoewel de oplossing een reëel getal is, hebben we bij het oplossen andere ‘niet-bestaande’ getallen moeten gebruiken. Of die getallen nu wel of niet bestaan, het is wel een manier om een oplossing te vinden.

Uit deze oplossingsmethode van derdegraads vergelijkingen blijkt dat het zin heeft om verder uit te breiden en wel zo dat de rekenregels blijven gelden. Dan verdwijnt het rekenen met niet-bestaande getallen.


Girolimo Cardano (Pavia 1501 – Rome 1576)


Cardano publiceerde in zijn boek Ars Magna dat geheel gewijd was aan de algebra, Tartaglia’s oplossingsmethode. Dit tot ongenoegen van Tartaglia. Cardano zou toegezegd hebben dat niet te doen. Cardano kwam op de hoogte van het werk van del Ferro en zag daarin voldoende aanleiding om de oplossingsmethode te publiceren. Tartaglia werd in het openbaar uitgedaagd door Cardan’s secretaris Ferrari en verloor. Dat was niet zo verwonderlijk: Ludovico Ferrari (Bologna 1522 – Bologna 1565) bleek zeer begaafd en had, op verzoek van Cardano, een oplossingsmethode voor vierdegraads vergelijkingen gevonden. De levensloop van Cardano was opmerkelijk. Hij was zeer bekend als medicus; ging daartoe uitgenodigd naar Schotland om de aartsbisschop aldaar te genezen. Hij kreeg het aan de stok mat het Vaticaan wegens godslastering, maar kreeg later een pensioen van de paus. Zie The MacTutor History of Mathematics archive voor meer over Cardano.


We hebben één oplossing gevonden. Er zijn drie getallen waarvan de derdemachten gelijk zijn. Voor elk van deze drie derdemachts wortels vind je zo een oplossing. We beschrijven dat in de laatste paragraaf. Passen we de methode van Cardano toe op x3 + px + q = 0, dan krijgen we de formule van Cardano:

x = q 2 + (p 3)3 + (q 2)23 + q 2 (p 3)3 + (q 2)23.

[volgende][vorige][inhoud