] >
We gaan uitbreiden zo dat ook een kwadraat is, zeg , en ook zo dat de rekenregels blijven gelden. Misschien is dat teveel gevraagd. Uit de constructie die nog gaat volgen, blijkt dat dat inderdaad mogelijk is. Om zo’n constructie te bedenken is het altijd handig om eerst wat te rekenen alsof je de uitbreiding al hebt. Omdat je moet kunnen optellen en vermenigvuldigen binnen het nieuwe getalsysteem krijg je al snel uitdrukkingen als met . Je krijgt niets nieuws als je gaat optellen en vermenigvuldigen:
Het getal is geheel bepaald door . Zouden getallen en gelijk kunnen zijn terwijl ? Als , dan . Als , dan zou gelden . Tegenspraak. Dus en daarmee ook . De getallen die we willen hebben corresponderen met de elementen van en die constatering is de basis van de constructie. Ook kan binnen het systeem gedeeld worden: als , en dus , dan .
We gaan uit van de verzameling van geordende paren reële getallen. Daarop definiëren we een optelling en een vermenigvuldiging:
17.1 Definitie. De verzameling voorzien van bovenstaande optelling en vermenigvuldiging geven we aan met . De elementen van noemen we complexe getallen.
Als verzameling zijn en dus hetzelfde. Als we het over hebben en we gaan elementen optellen en vermenigvuldigen, dan bedoelen we de zojuist gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Het rekenen met de elementen komt overeen met het rekenen met reële getallen, preciezer:
We identificeren verder met en schrijven voor . We hebben dan
Het kwadraat van is , zoals dat ook de bedoeling was:
Rekenen we met een variabele, dan is het de gewoonte om te gebruiken als het gaat om reële getallen. Voor het rekenen met complexe getallen gebruiken gewoonlijk een en schrijven dan standaard . De complexe variabele correspondeert dan met een tweetal reële variabelen en .
17.4 Definitie. Is een complex getal, dan heet het reële deel van en het imaginaire deel van . Notatie: en . Het getal heet de (complex) geconjugeerde van . Notatie: .
Bewijs. Dit is eenvoudig:
Conjugeren is een bijectie: dit volgt uit het feit dat twee keer achtereenvolgens conjugeren de identieke transformatie is. □
Complex conjugeren is dus een isomorfisme van naar zichzelf. Is een transformatie een isomorfisme dan noemen we dat gewoonlijk een automorfisme. Complex conjugeren is een automorfisme van . Het zijn de reële getallen die onder dit automorfisme op hun plaats blijven.
Het lichaam is volledig: op hebben we een absolute waarde en Cauchyrijen m.b.t. tot deze absolute waarde convergeren. De absolute waarde op is een voortzetting van de gewone absolute waarde op . Deze is verder voort te zetten tot .
17.7 Propositie. De absolute waarde op voldoet aan de eisen voor een absolute waarde op een lichaam.
Bewijs. Dat voor geldt dat volgt uit de definitie:
De absolute waarde op stemt overeen met de metriek op , dus volgt de rest van de propositie eenvoudig uit Propositie 15.34 □
Met deze absolute waarde op hebben we dus ook de begrippen ‘convergerende rij’ en ‘Cauchyrij’ in . Ook hebben we de gebruikelijke rekenregels voor limieten.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Is een Cauchyrij in dan hebben we dus