] >
De methode van het kwadraatafsplitsen voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen brengt het oplossen terug tot het trekken van vierkantswortels. We hebben gezien dat dat in mogelijk is. Kwadratische vergelijkingen hebben dus twee oplossingen, tenzij de discriminant is, dan zijn er a.h.w. twee samenvallende oplossingen.
Bij de methode van Cardano voor het oplossen van een derdegraads vergelijkingen is het nodig vierkantswortels en derdemachtswortels te kunnen trekken. Heb je bij een gegeven een met , dan zijn de andere twee derdemachtswortels en .
17.27 Voorbeeld. In het voorbeeld van de vergelijking uit paragraaf 17.1 werd één oplossing gevonden: . De andere oplossingen worden gevonden door de andere twee derdemachtswortels te nemen. We vonden . Een andere oplossing vinden we door te nemen:
Daarbij hoort . We vinden dan de oplossing . De derde oplossing wordt gevonden met
en daarbij hoort . Dat geeft de oplossing . Natuurlijk worden de andere twee oplossingen ook makkelijk gevonden met .
Bij het oplossen van de vergelijking gebruikten we dat de derdemacht is van . Deze derdemachts wortel is gevonden met behulp van de modulus (in het kwadraat):
Als met , dan geldt dus dat , ofwel . Of er zijn die hieraan voldoen is snel na te gaan. Verder moet dan nog nagegaan worden of de gevonden en voldoen aan . Hier is gevonden en .
Gauß gaf als eerste een volledig bewijs. Eerder waren er al onvolledige bewijzen van Lagrange, Laplace, Argand en Euler. Deze bewijzen berustten op algebraïsche ideeën die pas later een goede basis kregen en zijn daarna aangevuld tot volledige bewijzen.
We geven een zo elementair mogelijk bewijs. Belangrijk is:
Bewijs. Dit is, evenals voor veeltermfuncties , een direct gevolg van de rekenregels voor limieten. □
In het bewijs gebruiken we de notatie
Eerst een paar lemma’s. In Lemma 17.31 wordt aangetoond dat een minimale waarde aanneemt. Daarbij wordt de continuïteit van gebruikt. Het bewijs wordt voltooid door te laten zien dat het minimum onmogelijk groter dan kan zijn.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Zij als in Lemma 17.30. Zij . Dan voor alle met . Dus voor alle met . Laat de schijf zijn met als middelpunt en als straal:
Laat bestaan uit de getallen in van de vorm met . Voor iedere is een eindige niet-lege verzameling: en er zijn niet meer dan getallen in . Kies bij iedere een met minimaal in . We schrijven met . De rij in is begrensd: . Volgens Stelling 15.21 is er een convergente deelrij . De rij is begrensd en nogmaals volgens Stelling 15.21 heeft hij een convergente deelrij, zeg . Dan is een deelrij van met en convergent. Dan convergeert ook . Zij . Dan en dus . We tonen aan dat deze voldoet.
We bewijzen dat voor alle . Zij . Dan is er een rij met die convergeert naar . Ook de deelrij convergeert naar . Voor iedere geldt en dus , ofwel , want de functie is continu.
Nog te bewijzen dat voor alle . Voor zulke geldt en dus . □
Bewijs van Stelling 17.28. Uit Lemma 17.31 volgt dat de functie een minimale waarde aanneemt: er is een met voor alle . We gaan bewijzen dat . Dan , ofwel is een nulpunt van . We bewijzen het uit het ongerijmde.
Stel . De functie neemt een minimale waarde aan voor . Ook is een veelterm van graad met kopcoëfficiënt . We kunnen dus aannemen dat het minimum van wordt aangenomen voor . Dat minimum is dan . Ook voor de veelterm geldt dat minimaal is voor . De constante term van is . De minimale waarde is . De veelterm is van de gedaante
met . Neem zodat en . Dan
met . Voor iedere neemt de functie dezelfde waarden aan als de functie en neemt ook de minimale waarde aan voor . Neem zo dat . De coëfficiënt van in is dan . We kunnen dus aannemen dat
Als , dan en , in strijd met voor alle . Dus . We beschouwen voor reële getallen met . Voldoet bovendien aan , dan
Tegenspraak. □
17.32 Gevolg. Zij een veelterm van graad met coëfficiënten in . Dan zijn er met , waarbij de kopcoëfficiënt van is.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De hoofdstelling van de algebra heeft consequenties voor het ontbinden van veeltermen over . Heeft de veelterm coëfficiënten in , dan kunnen we hem ook zien als een veelterm over , want reële getallen zijn in het bijzonder complexe getallen. Is een nulpunt van , dan is ook een nulpunt van , immers . Onder complexe conjugatie (d.w.z. ) gaan nulpunten van dus over in nulpunten van . We kunnen de factoren in de ontbinding van dus groeperen:
waarbij de nulpunten reëel zijn en de andere niet. Een product heeft reële coëfficiënten:
We hebben dus bewezen:
17.33 Gevolg. Iedere veelterm van graad met coëfficiënten in is een product van veeltermen van graad met coëfficiënten in . □
17.34 Voorbeeld. We ontbinden . De nulpunten zijn , , , , , , en . (We hebben nulpunten en dat is in overeenstemming met de hoofdstelling; we hebben de hoofdstelling niet nodig voor het bestaan van deze nulpunten.) We krijgen:
Hierbij is gebruikt . Je kunt ook eerst zoveel mogelijk over ontbinden:
Iedere -de graads vergelijking heeft als oplossingen. Voor is er een wortelformule (de -formule) en voor de formule van Cardano. Cardano’s leerling Ludovico Ferrari vond een formule voor . Met een slimme truc bracht hij een vierdegraads vergelijking terug tot een vergelijking van graad . In het begin van de negentiende eeuw toonde de Noorse wiskundige Abel aan dat er voor vergelijkingen van graad en hoger geen algemene wortelformule bestaat. Enkele jaren later liet het Franse wonderkind Galois zien dat er veeltermvergelijkingen bestaan met coëfficiënten in waarvan de oplossingen niet met (hogere)machts wortels uit rationale getallen zijn te beschrijven. Een voorbeeld daarvan is de vergelijking .
Evariste Galois (Bourg la Reine 1811 – Parijs 1832)