] >
Evenals voor de optelling zijn er ook rekenregels voor de vermenigvuldiging. Een van de regels verbindt optellen en vermenigvuldigen. Dat is niet verwonderlijk, want vermenigvuldigen is herhaald optellen.
2.14 Stelling.
Vermenigvuldigen is associatief:
Voor alle geldt: .
Het getal is een neutraal element (of eenheidselement) voor de vermenigvuldiging:
Voor alle geldt: .
Vermenigvuldigen is commutatief:
Voor alle geldt: .
Schrapwet voor de vermenigvuldiging:
Voor alle geldt: als en , dan .
Vermenigvuldigen is distributief over optellen:
Voor alle geldt: .
De verzameling tezamen met de vermenigvuldiging is een Abelse monoïde. Uit Lemma 2.21 volgt dat vermenigvuldigen ook een bewerking in is. De verzameling tezamen met de vermenigvuldiging is een Abelse monoïde met schrapwet.
We bewijzen de regels hieronder afzonderlijk: de Proposities 2.20, 2.15, 2.18, 2.19 en 2.22.
Bewijs. We bewijzen eerst dat voor een willekeurige :
Dat voor alle natuurlijke getallen bewijzen we met volledige inductie. Voor volgt het uit de definitie van vermenigvuldigen.
Stel is een natuurlijk getal met . Dan
De propositie volgt nu met volledige inductie. □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Laat een willekeurig natuurlijk getal zijn. We bewijzen met volledige inductie dat
:
geldt voor alle natuurlijke getallen . Uit de definities van optellen en vermenigvuldigen volgt dat geldt.
Laat een natuurlijk getal zijn met . Dan
Met volledige inductie volgt dat voor alle natuurlijke getallen . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Laten en willekeurige natuurlijke getallen zijn. We bewijzen de uitspraak
:
met volledige inductie. Uit de definities van optellen en vermenigvuldigen volgt en , dus geldt .
Stel is een natuurlijk getal met . Dan
Dus geldt .
Met volledige inductie volgt dat geldt voor alle . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Omdat de vermenigvuldiging associatief en commutatief is en een neutraal element (m.a.w. omdat tezamen met de vermenigvuldiging een Abelse monoïde is), kunnen in producten met meer dan twee factoren de haakjes weggelaten worden, doet de volgorde van de factoren er niet toe en kunnen factoren weggelaten worden.
Bewijs.
Stel en . Dan zijn en opvolgers: en voor natuurlijke getallen en . Dan is ook een opvolger: . Tegenspraak.
Dus of . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Omdat geldt . Dus is een opvolger: voor een . Dan . Omdat ook volgt dat (Lemma 2.13). Dus , ofwel . Dan ook . □