] >
3.14 Definitie. Een afbeelding heet
Een injectieve afbeelding wordt ook een injectie genoemd. Zo spreken we ook van surjectie en bijectie.
Equivalente formuleringen:
3.15 Voorbeelden. De transformatie is injectief. Dat is een van de axioma’s van Peano. De transformatie is injectief. Dat is de schrapwet voor de optelling. De schrapwet voor de vermenigvuldiging zegt dat injectief is voor . Omdat geen opvolger is, is niet surjectief. De transformatie is alleen voor surjectief. De transformatie is alleen voor surjectief. In feite , zie Definitie 3.18 voor de definitie van voor een verzameling .
Is een afbeelding van naar bijectief, dan is daarbij ook een afbeelding van naar waarbij ieder beeldelement naar wordt afgebeeld.
3.16 Definitie. Zij bijectief. De inverse van is de afbeelding met als . (Merk op dat dan het unieke element van is.)
De in de notatie vatten we pas later op als een getal, een negatief geheel getal. Hier is het niet meer dan een onderdeel van de notatie van een inverse afbeelding.
3.18 Definitie. Zij een verzameling. De identieke afbeelding van naar is bepaald door
heet ook de identieke transformatie van .
De identieke transformatie is een permutatie. De inverse van de identieke transformatie is de identieke transformatie zelf.
Bij de identieke transformatie is het beeld van ieder element het element zelf. Dat lijkt een hoogst oninteressante afbeelding. Toch is het een belangrijk begrip, vergelijkbaar met het getal en de lege verzameling. Als je de identieke afbeelding graag als formule wilt hebben, dan is het de formule .
3.19 Definitie. Laten en verschillende elementen zijn van een verzameling . De permutatie van gedefinieerd door
noemen we de verwisseling van en .
Het is duidelijk dat een verwisseling een permutatie is. De inverse van een verwisseling is de verwisseling zelf: .
3.20 Voorbeeld. De verwisseling van en in is de permutatie
zie Figuur 3.4.
Met de terminologie van afbeeldingen zijn de axioma’s van Peano kort te formuleren.
We hebben een drietal bestaande uit:
Er is voldaan aan: