] >
Is het codomein van een afbeelding tevens het domein van een afbeelding , dan kunnen deze afbeeldingen worden samengesteld.
3.21 Definitie. Laten en afbeeldingen zijn. De samenstelling van en is een afbeelding van naar en is bepaald door
De samenstelling van en wordt ook wel als genoteerd. Soms is dat duidelijker.
Let op de volgorde: eerst en dan :
3.22 Voorbeeld. Laat de afbeelding zijn uit Voorbeeld 3.4. Figuur 3.5 is een plaatje van deze afbeelding tezamen met de afbeelding , waarbij en , , . De samenstelling is de afbeelding met en .
3.23 Propositie. Het samenstellen van afbeeldingen is associatief, d.w.z.: laten , en afbeeldingen zijn, dan
Bewijs. De afbeeldingen en hebben beide domein en codomein . Nog te bewijzen dat voor alle . Dit volgt rechtstreeks uit de definitie van samenstellen: voor iedere hebben we
Omdat de samenstelling associatief is hoeven er geen haakjes te worden geplaatst; hoe je ze ook plaatst het resultaat is hetzelfde.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Uit de definitie van de inverse volgt onmiddellijk dat en . Deze eigenschappen karakteriseren de inverse:
Bewijs. Stel met . Dan , ofwel . Dus is injectief. Voor geldt . Dus is het beeld van onder . De afbeelding is dus ook surjectief. Omdat bijectief is, is er de inverse afbeelding . Er geldt . □
Voldoet bijvoorbeeld een transformatie van een verzameling aan , dan volgt dus dat een permutatie is met zelf als inverse.
De volgende propositie beschrijft hoe injectiviteit en surjectiviteit zich gedragen onder het samenstellen van afbeeldingen.
3.26 Propositie. Laten en afbeeldingen zijn. Dan:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □