] >
We gaan uitbreiden met als doel dat meer rijen in een limiet krijgen. Heeft een rij in de uitbreiding een limiet, dan zal z’n verschilrij een nulrij moeten zijn. Er zijn rijen waarvan de verschilrij een nulrij is, maar die ook in een uitbreiding van geen limiet behoren te hebben. We geven daarvan een voorbeeld.
14.42 Voorbeeld. De rij met noemt men de harmonische reeks. Het getal is de som van de eerste termen van de rij . Deze laatste rij is een nulrij. We laten zien dat de harmonische rij niet convergeert.
Bekijk de deelrij met . Er geldt en
Hieruit volgt (met inductie) dat . Dus convergeert niet en dus ook niet. Ook als we uitbreiden, dan gaat deze redenering nog steeds op.
Deze paragraaf gaat over de rijen in die een limiet zouden moeten hebben: de Cauchyrijen.
14.43 Definitie. Een rij van rationale getallen heet een Cauchyrij als er bij iedere een is zodat voor alle geldt .
Rijen die een limiet hebben (in ) zijn inderdaad Cauchyrijen.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
In de definitie van Cauchyrij komt het begrip limiet niet voor. In het volgende hoofdstuk breiden we uit tot het lichaam . Convergeert een rij in binnen , dan is het een Cauchyrij in en daarmee ook in . We zullen zien dat in alle Cauchyrijen convergeren.
Ook Cauchyrijen gedragen zich goed onder de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen en inverteren.
Bewijs. Laat een willekeurig positief getal zijn. Omdat en Cauchyrijen zijn, is er een zo dat en ook voor alle . Dan
Dus is ook een Cauchyrij. □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Er geldt
Laat een willekeurig positief getal zijn. Omdat een Cauchyrij is, is hij begrensd: er is een zodat voor alle . Zo is er ook een zodat voor alle . Er is een zodat voor alle en is er een zodat . We hebben dan voor alle :
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
14.49 Propositie. Laat een Cauchyrij zijn die geen nulrij is en zij voor alle . Dan is ook een Cauchyrij.
Bewijs. Volgens Lemma 14.48 zijn er een en een zodat voor alle . Laat een willekeurig positief getal zijn. Dan is er een zodat voor alle . Voor alle geldt dan
Dat het optellen, vermenigvuldigen en inverteren van Cauchyrijen weer Cauchyrijen oplevert is in het volgende hoofdstuk van belang. De bewerkingen in zijn hierdoor eenvoudig te definiëren en de rekenregels voor die bewerkingen zijn dan ook eenvoudig af te leiden.
We kunnen Lemma 14.48 nog wat versterken:
14.50 Propositie. Laat een Cauchyrij zijn die geen nulrij is. Dan zijn er een en een zodat ofwel voor alle , ofwel voor alle .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De definitie van Cauchyrij kan de indruk wekken dat het vaak moeilijk is om aan te tonen dat een rij een Cauchyrij is. Toch zijn er situaties waarin het direct duidelijk is dat we met een Cauchyrij te maken hebben.
14.51 Stelling. Laat een stijgende rij rationale getallen zijn en een dalende rij rationale getallen. Laat verder gegeven zijn dat voor alle en dat de rij een nulrij is. Dan zijn en Cauchyrijen.
Bewijs. Zij . Dan is er een zodat voor alle . Voor met geldt dan
en dus . Dus is een Cauchyrij. Evenzo is een Cauchyrij. Dit volgt ook uit . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Een rij als , , , , , , waarbij er steeds een extra cijfer achter de komma bijkomt is dus een Cauchyrij. Is de rij repetent, dan convergeert hij naar een rationaal getal. Repeteert hij niet, dan convergeert hij niet (in ).