] >
In deze paragraaf maken we bij ieder priemgetal een absolute waarde op . Deze absolute waarden wijken sterk af van de gewone absolute waarde die we tot nu toe hebben gebruikt.
14.53 Definitie. Zij een priemgetal en een rationaal getal . We definiëren de -adische absolute waarde van als volgt:
Verder definiëren we . We hebben zo een afbeelding , de -adische absolute waarde op .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De derde eigenschap is sterker dan wat vereist is voor een absolute waarde. Dus is inderdaad een absolute waarde op . Voor de gewone absolute waarde geldt dat voor alle . Voor de -adische absolute waarde hebben we
Een absolute waarde met deze eigenschap noemt men niet-Archimedisch, en anders heet hij Archimedisch. Ook de -adische absolute waarde van een getal is op te vatten als de afstand van dat getal tot . We hebben nu de -adische afstand.
14.55 Definitie. Laten en rationale getallen zijn. De -adische afstand van tot is de -adische absolute waarde van het verschil van en :
Ook de -adische afstand is een metriek op , en vanwege eigenschap (iii) zelfs een ultrametriek:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
In de paragrafen 14.2, 14.3 en 14.5 hebben we begrippen ingevoerd die ook voor willekeurige absolute waarden ingevoerd kunnen worden. Veel van de eigenschappen die we hebben afgeleid zijn afgeleid door alleen de regels voor absolute waarden te gebruiken. Bij een aantal hebben we wel de definitie van de gewone absolute waarde gebruikt. Omdat de gewone absolute waarde nauw verbonden is aan de ordening van is deze absolute waarde ook hier nog steeds van belang. We beginnen het proces opnieuw en zullen vaak verwijzen naar bewijzen uit de voorgaande paragrafen.
14.57 Definitie. Een rij van rationale getallen heet een -adische nulrij als er bij iedere een is met de eigenschap
Anders geformuleerd: is een -adische nulrij dan en slechts dan als een nulrij is. (Vergelijk met Lemma 14.11.)
14.58 Voorbeeld. De rij is een -adische nulrij, want en is een nulrij. De rij is geen -adische nulrij: en in het bijzonder
Voor welke de rij een -adische nulrij is, is eenvoudig vast te stellen.
Bewijs. Omdat , is volgens Propositie 14.15 de rij een nulrij. Dus is een -adische nulrij. □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
14.61 Definitie. Laat een rij rationale getallen zijn. We zeggen dat -adisch convergeert naar een rationaal getal als de rij een -adische nulrij is. Notatie: .
Voor de -adische absolute waarden van een een -adisch convergente rij is er een sterker resultaat dan Propositie 14.25:
14.62 Propositie. Laat een rij rationale getallen zijn die -adisch convergeert naar . Dan convergeert naar . Als , dan is er een zodat voor alle .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Dus: convergeert een rij -adisch en is hij geen -adische nulrij, dan zijn de -adische absolute waarden van de termen voor grote indices aan elkaar gelijk.
14.63 Propositie. Laat een rij zijn die -adisch convergeert naar en de een rij die -adisch convergeert naar . Dan convergeert de rij -adisch naar .
Bewijs. De rij is de som van twee -adische nulrijen. □
14.64 Propositie. Laat een rij zijn die -adisch convergeert naar en een rij die -adisch convergeert naar . Dan convergeert de rij -adisch naar .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
14.65 Propositie. Laat de rij -adisch convergeren naar en laat verder gegeven zijn dat en dat ook voor alle . Dan convergeert de rij -adisch naar .
Bewijs. Te bewijzen dat een nulrij is. We hebben:
De rij is een nulrij. Volgens Propositie 14.62 zijn de termen van de rij voor groot genoeg gelijk aan . □
14.66 Notatie. Als de somrij van een rij -adisch convergeert, dan gebruiken we voor de -adische limiet de volgende notatie:
Ook nu hebben we dat de somrij van een meetkundige rij convergeert als de absolute waarde van de reden kleiner is dan 1. Alleen nu alles -adisch. Het bewijs is analoog.
14.67 Propositie. Laten en rationale getallen zijn met . Dan is de somrij van de meetkundige rij -adisch convergent en er geldt
Bij een gegeven grondtal kunnen we rationale getallen -tallig ontwikkelen: in de -tallige schrijfwijze komt een oneindig lange repeterende rij cijfers achter de komma. Het rationale getal is dan verkregen als een limiet van rationale getallen met alleen machten van het grondtal in de noemer. Deze limiet is gebaseerd op de gewone absolute waarde. In het -adische geval ligt het voor de hand om als grondtal te nemen. Natuurlijke getallen hebben een -tallige schrijfwijze. Voor rationale getallen met hebben we ook een -tallige ontwikkeling. Deze ontwikkeling is echter niet naar rechts achter de komma, maar naar links voor de komma. Delen door betekent dan dat de komma plaatsen naar links gaat. Ieder rationaal getal heeft zo in het -adische geval een -tallige schrijfwijze.
14.69 Definitie. Een rationaal getal heet -adisch geheel als . De verzameling der -adisch gehele rationale getallen geven we aan met .
De verzameling is dus een deelverzameling van die omvat. De elementen van zijn als breuken van gehele getallen te schrijven, waarbij de noemer geen -voud is. Deze verzameling is gesloten onder optellen en vermenigvuldigen, d.w.z. als , dan ook . Men gaat eenvoudig na dat met deze optelling en vermenigvuldiging de verzameling een integriteitsgebied is. De deelverzameling der inverteerbare elementen bestaat uit de rationale getallen met . Deze getallen zijn te schrijven als een breuk van gehele getallen waarbij de teller en de noemer beide geen -voud zijn.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We hebben nu een transformatie van :
Bewijs. Er geldt
Dus . □
De -adische ontwikkeling van een rationaal getal dat -adisch geheel is repeteert. We bewijzen dat voor met . Dan is er sprake van zuiver repeteren. Het repeteren in het algemene geval volgt hieruit.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
14.75 Voorbeeld. We berekenen de -adische ontwikkeling van . We berekenen eerst de -adische ontwikkeling van . Volgen we het bewijs van Propositie 14.74, dan krijgen we achtereenvolgens:
Hierbij is in iedere regel de tweede breuk ontstaan uit de eerste door met (de inverse van modulo ) te vermenigvuldigen en daarvan de rest bij deling door te nemen. Hieruit volgt dat de -adische ontwikkeling van de rij is. Van is de -adische ontwikkeling .
Het bovenstaande rekenwerk nogmaals, maar dan anders opgeschreven:
Van onderen naar boven is dit precies het rekenwerk voor het bepalen van de -tallige ontwikkeling van . Deze is dus in de -tallige notatie: . De streep betekent dat deze periode van lengte zich naar rechts toe herhaalt. Benaderen we -adisch, dan krijgen we , waarbij de streep nu betekent dat de periode van lengte zich naar links toe herhaalt.
Wat we in dit voorbeeld constateerden geldt natuurlijk algemener voor de -adische ontwikkeling van , waarbij , , en : is de -tallige ontwikkeling van , dan is de -adische ontwikkeling van .
14.76 Propositie. Zij een repeterende rij in . Dan convergeert de rij met -adisch naar een rationaal getal.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De functie p_adic(a,b,p) geeft de p-adische ontwikkeling van het rationale getal gerepresenteerd door (a,b), waarbij en met .
Ook voor de -adische absolute waarde hebben we het begrip Cauchyrij. We zullen zien dat in dit geval het begrip Cauchyrij sterk te vereenvoudigen is.
14.77 Definitie. Een rij van rationale getallen heet een -adische Cauchyrij als er bij iedere een is zodat voor alle geldt .
14.78 Propositie. Een rij is een -adische Cauchyrij dan en slechts dan als de verschilrij een -adische nulrij is.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
-Adisch convergente rijen zijn -adische Cauchyrijen. Dat kan bewezen worden als in het geval van de gewone absolute waarde (Propositie 14.44), maar omdat het begrip Cauchyrij in dit geval zo eenvoudig is, kan het ook eenvoudiger.
14.80 Propositie. Laat een -adisch convergente rij van rationale getallen zijn. Dan is een -adische Cauchyrij.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Ook voor -adische Cauchyrijen die geen -adische nulrijen zijn geldt dat de -adische absolute waarden van de termen vanaf een bepaalde term constant zijn.
14.81 Lemma. Laat een -adische Cauchyrij zijn die geen -adische nulrij is. Dan is er een zodat voor alle .
Bewijs. Omdat geen -adische nulrij is, is er een zodat voor iedere er een is met . De rij is een -adische nulrij. Er is dus een zodat voor alle . Er is een met . Voor alle geldt dan . □
Dat -adische Cauchyrijen zich goed gedragen onder de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen en inverteren kan net zo bewezen worden als voor de gewone Cauchyrijen. We geven hier kortere bewijzen gebaseerd op Propositie 14.78 en Lemma 14.81. Deze eigenschappen gebruiken we in hoofdstuk 16 bij de constructie van het lichaam van de -adische getallen.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Er geldt
Wegens Lemma 14.81 is er een zo dat voor alle . Omdat een -adische nulrij is, volgt dat ook een -adische nulrij is. Evenzo is een -adische nulrij. Dus is een -adische nulrij. □
14.84 Propositie. Laat een -adische Cauchyrij zijn die geen -adische nulrij is en zij voor alle . Dan is ook een -adische Cauchyrij.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □