] >
We gaan uit van het lichaam voorzien van de gewone absolute waarde. We willen bereiken dat Cauchyrijen convergeren. Het resultaat zal zijn dat het lichaam uitgebreid wordt met limieten van Cauchyrijen. We gaan uit van alle Cauchyrijen in . De verzameling wordt dan een verzameling van klassen van Cauchyrijen.
We willen dat Cauchyrijen een limiet krijgen. Twee Cauchyrijen hebben in het nog te construeren lichaam dezelfde limiet, precies dan als het verschil van die rijen een nulrij is. Dit leidt tot de volgende definitie.
15.1 Definitie. Cauchyrijen en in heten equivalent als de rij een nulrij is. Notatie: . We geven de verzameling van Cauchyrijen in aan met . De relatie is dus een relatie in de verzameling .
Het is eenvoudig om het volgende aan te tonen:
15.3 Definitie. Een reëel getal is een equivalentieklasse in . Notatie: de klasse van een Cauchyrij geven we aan met . De verzameling is de verzameling van de reële getallen.
In dit hoofdstuk zullen reële getallen vaak met Griekse letters worden aangeduid. Bijvoorbeeld , ofwel het reële getal wordt gerepresenteerd door de Cauchyrij van rationale getallen. Er zijn vele Cauchyrijen die eenzelfde reëel getal representeren: andere representanten worden verkregen door bij een gegeven representant een nulrij op te tellen.
Met de gegeven constructie van de verzameling is het eenvoudig om in een optelling en een vermenigvuldiging te definiëren en te bewijzen dat hij met deze bewerkingen een lichaam is.
15.4 Definitie. Laten en Cauchyrijen in zijn. De som en het product van de reële getallen en is gedefinieerd door
Zijn en Cauchyrijen, dan zijn ook en Cauchyrijen, zie Propositie 14.45 en Propositie 14.47. De definitie van som en product maakt gebruik van keuzen van representanten, maar mag natuurlijk niet van die keuzen afhangen. Bijvoorbeeld: als , dan , ofwel is een nulrij. Dit volgt uit Propositie 14.19: is een nulrij en is begrensd.
Is een rationaal getal, dan is de constante rij een Cauchyrij en representeert dus een reëel getal: , de klasse van alle rijen in die naar convergeren. Voor rationale getallen en hebben we:
We hebben dus een injectieve afbeelding
Optellen en vermenigvuldiging van en correspondeert met optellen en vermenigvuldigen van de rationale getallen en . Het lichaam van de rationale getallen heeft dus een kopie binnen . Daarom zullen we vaak met aanduiden en zien als een uitbreiding van . In het bijzonder hebben we de elementen en in . Verder noteren we als (hetgeen ook niet afhangt van de keuze van de representant).
Bewijs. Dat een commutatieve ring is volgt rechtstreeks uit de definities van optelling en vermenigvuldiging. Bijvoorbeeld de distributiviteit: kies bij , en representanten , en , dan en .
We moeten nog bewijzen dat reële getallen een inverse hebben. Zij met . Kies een representant van . Het reële getal is de klasse van de nulrijen in . Dus is geen nulrij. Volgens Propositie 14.48 zijn er een en een zodat voor alle . We kunnen dus aannemen dat (vervang in de rij termen door , of neem de rij ). Uit Propositie 14.49 volgt dan dat de rij ook een Cauchyrij is. We hebben dan . □
We zullen zien dat we er veel getallen bij hebben gekregen. De reële getallen zijn op te vatten als limieten van rijen rationale getallen. Om dat een betekenis te geven moeten we de absolute waarde op voortzetten tot een absolute waarde op . Eerst gaan we de ordening van voortzetten tot .
De ordening van breiden we uit tot een ordening van . We gebruiken daarbij Propositie 14.50. Voor een Cauchyrij die geen nulrij is, zijn er twee elkaar uitsluitende mogelijkheden:
15.7 Definitie. Zij . Dan heet positief als en de Cauchyrij heeft de eerste van de twee hierboven genoemde eigenschappen. Geldt de tweede eigenschap, dan heet negatief .
Natuurlijk hangt het niet van de keuze van de representant af. Zijn er bij de Cauchyrij in een en een met voor alle en is een Cauchyrij in met , dan is een nulrij en is er dus een zodat . Dan voor alle .
15.8 Definitie. Laten en reële getallen zijn. We definiëren:
Verder definiëren we
In plaats van schrijven we natuurlijk ook wel . En betekent natuurlijk hetzelfde als .
De hier gedefinieerde relatie is duidelijk een voortzetting van de relatie op en hij is ook een ordening van het lichaam :
Bewijs. Onderdeel (i) volgt rechtstreeks uit de definitie. Bij de andere onderdelen is er niets te bewijzen als en anders zijn ze eenvoudig af te leiden uit de definitie van . □
De ordening van is totaal:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Stel . Dan zijn er een met en een zodat voor alle . Tegenspraak. Dus niet . Uit Propositie 15.10 volgt dat . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Er is een voortzetting van de absolute waarde op tot een absolute waarde op . Deze is nodig voor het limietbegrip in .
15.13 Definitie. Zij een reëel getal. Dan definiëren we de absolute waarde van als volgt
De afbeelding noemen we de absolute waarde op .
15.14 Propositie. De absolute waarde voldoet aan de eisen voor een absolute waarde: voor alle hebben we
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De absolute waarden van reële getallen zijn getallen in . In het vorige hoofdstuk waren absolute waarden van getallen elementen van . De voornaamste reden was dat we nog moesten construeren. De absolute waarde van een getal is z’n afstand tot . Het is gebruikelijk om afstanden waarden in te laten aannemen. Evenals bij is de functie een metriek. Dat is bij iedere absolute waarde zo.
15.15 Propositie. Zij . Laat gerepresenteerd zijn door de Cauchyrij in . Dan
(Dus: is het reële getal dat wordt gerepresenteerd door de Cauchyrij .
Bewijs. Als , dan is een nulrij. Dus is ook een nulrij.
Als , dan is er een zodat voor . Dus dan .
Als , dan is er een zodat voor . Dus dan . □
We hadden dit ook als definitie van kunnen nemen en vervolgens de nu gegeven definitie als propositie afleiden.