] >
Op het lichaam hebben we een absolute waarde die een voortzetting is van de absolute waarde op . Evenals voor hebben we dus ook voor de begrippen nulrij, convergente rij en Cauchyrij. Een Cauchyrij in hoeft in niet convergent te zijn. We laten zien dat een Cauchyrij in wel in convergeert. Dat was ook het doel van de uitbreiding van tot . We zullen zien dat zelfs iedere Cauchyrij in convergeert. Men zegt daarom dat het lichaam compleet of volledig is met betrekking tot de absolute waarde op .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Dus: wordt gerepresenteerd door de Cauchyrij in , ofwel , dan .
In het bijzonder ligt er bij ieder reëel getal een rationaal getal binnen iedere voorgeschreven afstand:
Bewijs. Er is een rij van rationale getallen met . Er is dan een met voor alle . In het bijzonder geldt . □
We bewijzen nu dat in iedere Cauchyrij convergeert.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
In dit bewijs hebben we gebruikt dat de som van een nulrij en een Cauchyrij een Cauchyrij is. Voor rijen in hebben we dit in het vorige hoofdstuk aangetoond. Dat hoofdstuk is zo georganiseerd dat van een aantal paragrafen alle definities, lemma’s, proposities en stellingen zonder meer kunnen worden uitgebreid tot de reële getallen. We lopen deze paragrafen na:
15.19 Stelling (Cantor). Zij een stijgende rij reële getallen zijn en een dalende rij reële getallen. Laat verder gegeven zijn dat voor alle en dat de rij een nulrij is. Dan convergeren en en er geldt voor alle
Bewijs. Als bij Stelling 14.51 kan geconcludeerd worden dat en Cauchyrijen zijn. Omdat volledig is convergeren ze en omdat ze een nulrij verschillen hebben ze dezelfde limiet. Verder is stijgend en dus is de limiet wegens Gevolg 15.11 groter dan of gelijk aan iedere term in de rij. □
15.20 Voorbeeld. De rij met voldoet aan . De rij met voldoet aan , immers
Omdat is de stelling van Cantor van toepassing. Omdat en hebben we voor de limiet een segment van lengte waar hij in ligt, namelijk . In feite geldt , maar dat is een heel ander verhaal.
Zij met . Is een rij in , dan is volgens Gevolg 14.52 de rij met een Cauchyrij van rationale getallen. Deze convergeert in . We hebben nu dus een correspondentie tussen
en
Daarbij corresponderen de rationale getallen in de eerste verzameling met repeterende rijen in de tweede verzameling.
Simon Stevin (Brugge 1548 – Den Haag 1620)
Bewijs. Laat een begrensde rij in zijn. Er is een met voor alle . We definiëren rijen en door
Merk op dat voor iedere er oneindig veel zijn met als er slechts eindig veel zijn met . Kies nu een deelrij met voor iedere . Deze deelrij convergeert wegens de Stelling van Cantor. □
En een gevolg hiervan is:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Het lichaam is volledig: iedere Cauchyrij in convergeert. Die volledigheid kan ook op andere manieren gekarakteriseerd worden. Een daarvan is de supremumstelling. Hij wordt veel gebruikt, maar niet in dit boek.
15.23 Definitie. Een heet een bovengrens van een als voor alle . Heeft een bovengrens, dan zeggen we ook dat hij naar boven begrensd is. Heeft de verzameling van bovengrenzen van een kleinste element, dan noemen we dit de element de kleinste bovengrens of het supremum van . Het supremum van wordt genoteerd als . De kleinste ondergrens of het infimum van noteert men met (als hij bestaat).
15.25 Supremumstelling. Zij een niet-lege en naar boven begrensde deelverzameling van . Dan heeft een supremum.
Bewijs. Neem een en een bovengrens van . Dan . We definiëren een rij in door en voor alle :
Dan stijgend, dalend, voor alle en is een nulrij, want . Uit Stelling 15.19 volgt dat de rijen en convergeren naar een . We laten zien dat de kleinste bovengrens van is.
Zij . Dan voor alle en dus .
Dus is een bovengrens van .
Stel en is een bovengrens. Omdat een nulrij is, is er een zodat . Er is een met . We hebben dan
Hieruit volgt . Tegenspraak.
Dus geldt voor iedere bovengrens van dat . Dus is de kleinste bovengrens. □
Hier volgt natuurlijk uit dat een niet-lege naar beneden begrensde verzameling een infimum heeft: pas de stelling toe op .