] >
We gaan uit van een veelterm van graad :
waarbij . We bestuderen de vraag of de -de-graads vergelijking een oplossing heeft, m.a.w. of de veeltermfunctie een nulpunt heeft.
We gaan gebruik maken van het feit dat veeltermfuncties continu zijn. We gebruiken hier een continuïteitsbegrip dat was geïntroduceerd door Heine. De gebruikelijke definitie is die van Cauchy.
15.26 Definitie. Zij . Een functie heet continu in een als
voor alle rijen in die naar convergeren. De functie heet continu als hij continu is in alle .
Heinrich Eduard Heine (Berlijn 1821 – Halle 1881)
We vergelijken het continuïteitsbegrip van Heine met dat van Cauchy. In dit boek maken we daar verder geen gebruik van.
Stel is volgens de definitie van Cauchy niet continu in . Te bewijzen dat er in een rij is die convergeert naar terwijl niet convergeert naar . Er is een zodat voor alle er een is met en . Neem bij iedere een met en . □
Bewijs. Dit is een gevolg van rekenregels voor limieten: stel , dan
De volgende stelling geeft voorwaarden voor het bestaan van een nulpunt van een reële functie .
15.28 Stelling. Laten en reële getallen zijn met . Zij continu in alle met . Stel dat en . Dan is er een met en .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We geven in deze paragraaf twee gevolgen van deze stelling.
Bewijs. Zij waarbij en oneven. Uit volgt dat er een is met en dus ook . Uit volgt dat er een is met en dus , want . Uit Propositie 15.27 en Stelling 15.28 volgt dan dat er een nulpunt van is met . □
In was worteltrekken zeer beperkt mogelijk. In is dat anders.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We hebben gezien dat er voor veel veeltermvergelijkingen oplossingen in zijn. In het bijzonder geldt dat veel vergelijkingen met coëfficiënten in oplossingen in hebben terwijl ze in geen oplossingen hebben.
15.32 Definitie. Een getal dat een oplossing is van een veeltermvergelijking met rationale coëfficiënten heet algebraïsch. Is een getal niet algebraïsch dan heet het transcendent.
We zullen zien dat er in zeer veel transcendente getallen zijn.