] >
De multiplicatieve structuur van correspondeert met z’n additieve structuur: vermenigvuldigen van machten betekent het optellen van de exponenten. Ook bij speelt dit een rol: via de priemfactorontbinding gaat vermenigvuldigen in over in optellen van de valuaties. Voor geldt dat vermenigvuldigen correspondeert met optellen in . We voeren hiervoor eerst de exponentiële functie in.
15.35 Definitie. Zij . De rij in is gedefinieerd door:
Dus: is de reeks met algemene term . We laten zien dat deze reeks convergeert. De limiet zal de waarde van de exponentiële functie in zijn.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We kunnen nu de exponentiële functie definiëren:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Voor is het uit de definitie duidelijk dat . Uit volgt dat voor geldt . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We kunnen de functie zien als een afbeelding . We zullen zien dat deze afbeelding een bijectie is.
Bewijs. We bewijzen eerst dat continu is in . Zij een nulrij. Te bewijzen dat naar convergeert, ofwel dat een nulrij is. Zij zo dat voor alle . Dan voor :
Omdat een nulrij is, is dat ook.
Laat nu een willekeurige convergente rij zijn, zeg met limiet . Dan
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Uit Gevolg 15.40 volgt dat injectief is. Uit Gevolg 15.42 volgt dat surjectief is. Met Stelling 15.38 hebben we dus dat een isomorfisme is van de groep (met de optelling) naar de groep (met de vermenigvuldiging). □
Omdat bijectief is heeft hij een inverse:
15.44 Definitie. De functie is gedefinieerd als de inverse van de functie . De functie heet de logaritme of ook de natuurlijke logaritme en wordt ook met aangeduid.
De afbeelding is een isomorfisme van groepen. We hebben dus een isomorfisme
Vermenigvuldigen in wordt hiermee vertaald in optellen in .
We hebben gezien dat er bij iedere en iedere een is met . Met de functie is dat opnieuw in te zien:
Het trekken van de -de-machts wortel uit is te vertalen in het delen van door .
We kunnen nu definiëren voor alle en alle :
15.45 Definitie. Laten en reële getallen zijn met . We definiëren tot de macht :
De functie heet de exponentiële functie met grondtal .
Voor is dat niets nieuws: . Voor met geeft dat .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De functie is dus de exponentiële functie met grondtal :
Interesse in zaken die het getal betreffen ontstond in de zeventiende eeuw bij vele wiskundigen (Napier, Briggs, Huygens, Mercator). Het ging dan vooral om exponentiële functies. Daarbij kwam het getal zelf slechts op impliciete wijze aan bod. Jacob Bernoulli bestudeerde het getal als limiet van de rij , als gevolg van zijn interesse in de samengestelde interest, zonder dat hij een verband legde met de exponentiële functie. Leibniz was de eerste die voor het getal een aparte notatie gebruikte, namelijk . Dat was in een brief aan Huygens in 1690. Het gebruik van de letter begon bij Euler. Men denkt dat hij deze letter gebruikte omdat hij een klinker wilde gebruiken en bij hem de al in gebruik was. Hij gaf de benadering . Daar zijn de eerste termen van voor nodig. Hij bewees ook dat de limiet is van de rij .
Gauß vermoedde (in 1791 als veertienjarige) dat een goede benadering van , zie Definitie 13.1, wordt gegeven door de , of preciezer
Dit vermoeden van Gauß werd ruim een eeuw later, in 1896, bewezen door J. Hadamard en C. de la Vallée Poussin, onafhankelijk van elkaar. Dit bewezen vermoeden van Gauß staat bekend als de Priemgetalstelling.