We hebben gezien hoe met behulp van het algoritme van Euclides een rationaal getal geschreven kan worden
als , de kettingbreuk
van getallen en
. Dit proces levert, toegepast
op een rationaal getal :
waarbij (met ):
voor . Het proces
stopt zodra .
We kunnen het procedé ook toepassen op een irrationaal getal
. Dan
krijgen we:
waarbij de transformatie
van is die een
irrationaal getal
afbeeldt op ,
ofwel
is gedefinieerd door
Met behulp van oneindige kettingbreuken kunnen irrationale getallen goed met rationale
getallen worden benaderd. Hoe goed zo’n benadering is, is het onderwerp van de volgende
paragraaf.
15.48Voorbeeld. We nemen .
We krijgen dan:
Dus:
We zijn geneigd te schrijven
maar dan moeten we eerst nog aan het rechterlid een betekenis toekennen en vervolgens
aantonen dat hier van een gelijkheid sprake is.
15.49 Stelling.Laat gegeven zijn een rij met en .Dan convergeert de rij van rationale getallen gedefinieerd door
Bewijs. We berekenen :
Uit de definitie van de getallen
volgt eenvoudig dat
De rij van de verschillen is afwisselend
positief en negatief en de rij
daalt naar . Daaruit
volgt dat de rij
een Cauchyrij is en dus naar een reëel getal convergeert. □
15.50 Definitie. Voor getallen
met
en
definiëren we de (oneindige) kettingbreuk van de getallen
door
15.51 Definitie. Zij .
De rij
noemen we de kettingbreukontwikkeling van .
15.52Voorbeeld. We hebben gezien dat
de kettingbreukontwikkeling van
is. De getallen
zijn te berekenen zoals in de vorige paragraaf is beschreven:
We hebben dus:
We zullen aantonen dat de kettingbreuk van de kettingbreukontwikkeling van een
irrationaal getal datzelfde irrationale getal is, en dus in het bijzonder .
15.53 Stelling.Zij .Dan
Bewijs. We schrijven
voor .
Te bewijzen
Dit volgt uit
en het feit dat de getallen
vanaf
een strikt stijgende rij vormen. □
15.54 Definitie. Het rationale getal
heet de -de
convergent van het irrationale getal .
15.55 Lemma.Zij met en .Dan en .
Bewijs.
Uit volgt
eenvoudig dat ,
en dus
en . □
15.56 Stelling.Zij met en .Dan geldt voor alle :
(Dus is de rij de kettingbreukontwikkeling van .)
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Uit het bovenstaande volgt dat de afbeelding van
naar de verzameling der rijen
met
en ,
die aan een irrationaal getal z’n kettingbreukontwikkeling toevoegt, bijectief is. De
inverse van deze afbeelding voegt aan zo’n rij de kettingbreuk van die rij getallen
toe.
Christiaan Huygens (Den Haag 1629 – Den Haag 1695)
Christiaan Huygens gebruikte als eerste kettingbreuken voor praktische toepassingen. Hij
gebruikte ze voor het bepalen van het aantal tanden van tandraderen voor het bouwen
van een planetarium. Hij ontdekte de maan Titan van Saturnus en ook de ring van
Saturnus met een zelfgemaakte lens. Hij was bevriend met Descartes en voerde
correspondenties met o.a. Mersenne, Pascal en Fermat. Als eerste schreef hij een boek over
waarschijnlijkheidsrekening. Hij ontwierp de penduleklok voor nauwkeurige tijdmeting.
Huygens verbleef geregeld in Parijs en Londen en had daar contacten met o.a. Leibniz en
Newton. Hij heeft bijgedragen aan de grondslagen van de mechanica en de theorie van het
licht.