Opzet

Per hoofdstuk staat aangegeven wat tot de kern van het boek behoort en wat er extra in staat voor verbreding en verdieping.
1. De toren van Hanoi: abstractie, taal en structuur

De paragrafen 1.3 en 1.4 over verzamelingen zijn voor het vervolg van belang. De toren van Hanoi is bedoeld om aspecten van het mathematiseren te verduidelijken. De graaf is een eerste voorbeeld van een abstracte structuur en is voor het vervolg van ondergeschikt belang.

2. De natuurlijke getallen

Als uitgangspunt zijn de axioma´s van Peano genomen: minimale eisen om het getalsysteem mee vast te leggen. Belangrijk daarbij is het principe van volledige inductie. De bewerkingen optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen worden gedefinieerd, zo ook de ordening van de getallen. De bekende rekenregels worden allemaal afgeleid. Het is niet echt nodig alle afleidingen door te spitten: het gaat er vooral om hoe zoiets gebeurt.

3. Tellen

Het basisidee van het natuurlijke getal is dat er een hoeveelheid mee kan worden aangegeven. Om te laten zien dat twee verzamelingen even groot zijn kun je een wederzijdse correspondentie tussen de elementen van die verzamelingen geven. Dat leidt tot het begrip afbeelding. Afbeeldingen kom je in de wiskunde overal tegen. De belangrijke zaken staan in de paragrafen 3.1 t/m 3.5. Daarna wordt er het begrip `aantal' mee vastgelegd. De bekende eigenschappen van dit begrip worden afgeleid. Intu\"itief zijn die duidelijk en kunnen de afleidingen overgeslagen worden. Ook hier gaat het er vooral om hoe zoiets in z'n werk gaat.

4. Iteratie

Afbeeldingen van een verzameling naar zichzelf heten transformaties. Herhaald toepassen van een transformatie, steeds op de uitkomst van de voorafgaande toepassing, levert een rij in de verzameling. Vaak zullen dergelijke rijen worden gebruikt.

5. De gehele getallen

Het gaat om de uitbreiding van de natuurlijke getallen met negatieve getallen zodat aftrekken onbeperkt mogelijk is. Cruciaal daarbij is dat rekenregels behouden blijven. Het gereedschap hiervoor is de equivalentierelatie.
Extra: 5.7 is een uitstapje naar gerichte grafen.

6. Talstelsels

Dat bewerkingen van de gehele getallen aan rekenregels voldoen heeft tot gevolg dat rekenen veel efficiënter kan verlopen dan wanneer alleen de definities van de bewerkingen worden gebruikt. Dat hangt samen met onze manier van noteren van getallen. In plaats van het grondtal tien kunnen ook andere grondtallen worden gebruikt. Delen met rest is hier van fundamenteel belang met als efficiënte variant de staartdeling.

7. De rationale getallen

Bij een tweede uitbreiding wordt bereikt dat door getallen ≠0 gedeeld kan worden. De techniek hiervoor is dezelfde als bij de uitbreiding van de natuurlijke getallen tot de gehele getallen. De zo verkregen rationale getallen zijn als breuk te schrijven, maar die schrijfwijze is niet uniek. Breuken kunnen worden vereenvoudigd door teller en noemer door een gemene deler te delen. Dat leidt tot het begrip grootste gemene deler en hoe die te berekenen met een methode van Euclides.
Extra: 7.6 over kettingbreuken, een verdieping van de methode van Euclides en die nodig is voor extra onderdelen van de hoofdstukken 15 en 18.
Extra: 7.7 over het niet toereikend zijn van de rationale getallen in de meetkunde.

8. De hoofdstelling van de rekenkunde

Het feit dat een natuurlijk getal ≠0 in wezen maar op één manier een product van een aantal priemfactoren is. Ook hierbij is delen met rest cruciaal.
Extra: 8.4 over Pythagoreïsche drietallen.
Extra: 8.5 over rekenkundige functies.

9. Combinaties

Het tellen van injectieve afbeeldingen en deelverzamelingen. Binomiaalcoëfficiënten (in 9.1) en hoe die gebruikt worden (in 9.2).
Extra: 9.3 over aantallen die vaak optreden (Catalangetallen).
Extra: 9.4 over het sommeren van de rij van m-de machten van natuurlijke getallen.
Extra: 9.5 het principe van inclusie-exclusie, een belangrijk telprincipe.
Extra: 9.6 het tellen van surjectieve afbeeldingen en partities.

10. Permutaties

Een transformatie die ook in omgekeerde volgorde kan worden toegepast is een permutatie. Permutaties worden veel gebruikt. Het gaat hier om eigenschappen van permutaties, vooral van eindige verzamelingen.
Extra: 10.3 het tellen van permutaties die niets vast laten.
Extra: 10.4 het tellen van permutaties met een gegeven aantal banen.

11. Modulorekenen

Rekenen met gehele getallen waarbij alleen een aspect van die getallen telt. Geen uitbreiding dus, maar eerder een versimpeling. Dit betekent rekenen in een eindige structuur en de speciale eigenschappen hebben gevolgen voor het rekenen met de gehele getallen zelf.
Extra: 11.7 is extra verdieping over de vermenigvuldigingsstructuur die nodig is voor extra stof op een paar plaatsen in het vervolg.

12. Kwadraatresten

Extra: het gehele hoofdstuk. Een verdere verdieping van het modulorekenen die wordt gebruikt in de hoofdstukken 13, 16 en 18. De belangrijkste stelling is hier de kwadratische reciprociteitswet van Gauß.

13. Priemtesten en factorisatie

Extra: het gehele hoofdstuk. Het modulorekenen, met name de theorie van de kwadraatresten uit hoofdstuk 12, wordt gebruikt bij het testen of een getal een priemgetal is en ook voor het ontbinden van natuurlijke getallen. De laatste paragraaf betreft de toepassing RSA in de cryptografie.

14. Limieten

In hoofdstuk 7 was al duidelijk dat we bijvoorbeeld voor de meetkunde getallen te kort komen. Wel kun je met rationale getallen de getallen die je zou willen hebben, benaderen. Wat dit benaderen inhoudt is het onderwerp van dit hoofdstuk. In het volgende hoofdstuk wordt dit gebruikt bij het uitbreiden van het getalsysteem tot de reéle getallen.
Extra: in 14.6 gaat het om een ander idee van afstand, de p-adische afstand, en dat leidt tot een ander soort van benaderen van getallen.

15. De reële getallen

De uitbreiding van de rationale getallen tot de reële getallen. Ook hier gaat dat met een equivalentierelatie. Dit is de grootste en lastigste stap in de constructie van het getalsysteem. De getallen worden vastgelegd door hun beanderingen met rationale getallen.
Extra: 15.5 over de exponentiële functie.
Extra: 15.6 over het representeren van irrationale getallen met oneindige kettingbreuken.
Extra: 15.7 over het vinden van goede benaderingen met rationale getallen.
Extra: 15.8 over de ‘grootte’ van oneindige verzamelingen.

16. De p-adische getallen

Extra: het gehele hoofdstuk. De uitbreiding van de rationale getallen tot de $p$-adische getallen, getallen die te benaderen zijn met de p-adische afstand uit 14.6. Verder de constructie van exponentiële functies voor de p-adische getallen. Dit wordt toegepast in hoofdstuk 18.

17. De complexe getallen

De laatste stap in de opbouw van het getalsysteem. Het is weliswaar een kleine stap, maar wel een stap die niet iedereen met gemak maakt. Het is aan te bevelen eigenschappen van de exponentiële functie te kennen, eventueel zonder de constructie ervan volledig te begrijpen. Het geeft inzicht in de hoofdstelling van de algebra. Die stelling maakt duidelijk dat we een eindpunt in de opbouw van het getalsysteem hebben bereikt.
Extra: het beroemde vermoeden van Riemann over de zeta-functie (van Riemann).

18. Kwadratische getallen

Extra: het gehele hoofdstuk. Een paar typen Diophantische vergelijkingen (vergelijkingen over gehele getallen) worden behandeld. Zulke vergelijkingen zijn al eerder in het boek naar voren gekomen. Er zijn twee hoofdonderwerpen. Het eerste betreft het toepassen van oneindige kettingbreuken (uit hoofdstuk 15). Het tweede gaat over een toepassing van het systeem van de p-adische getallen (uit hoofdstuk 16). Dit laatste is het meest geavanceerde onderdeel van het boek.