De Zeef van Sierpinski

 

Op het Dominicuscollege geven we twee blokuren (van elk 100 minuten) over de zeef van Sierpinski. De inhoud van deze lessen is als volgt:

 

Eerste blokuur:

We gaan de constructie van Sierpinski doen. We geven de leerlingen een A3 papier met daarop al één lijn. Dit wordt de basis van het te construeren figuur. We gaan vervolgens de constructie stap voor stap doen, zodat de leerlingen langzaamaan de regelmaat ontdekken.

Stap 1: We beginnen met een korte inleiding over passer en latje constructies en stellen de vraag: "Hoe construeer je (met passer en latje) een gelijkzijdige driehoek met als basis de gegeven lijn?" We beantwoorden deze vraag klassikaal en vervolgens gaan de leerlingen dit uitvoeren.

Stap 2: We verdelen de grote driehoek in vier even grote kleine driehoeken en halen de middelste weg. Vragen: hoe kun je dit doen? Hoe construeer je het midden van een lijnstuk met passer en latje? De leerlingen voeren deze constructie weer zelf uit en kleuren de driehoek die weglaten moet worden mooi in.

Stap 3: We denken na over het nu verkregen figuur: hoeveel driehoeken zijn er? wat is de oppervlakte (gegeven de oppervlakte van de begindriehoek)? wat is de omtrek?

Stap 4: Herhaal de constructie met de drie over gebleven driehoeken. Kleur weer de middelste driehoeken in. Wat is het nieuwe aantal driehoeken? Wat is de nieuwe oppervlakte? En omtrek?

Het achterliggende idee is als volgt: de leerlingen die het leuk vinden om wiskundig na te denken, kunnen nadenken over de passer en latje constructies, over de oppervlakte en omtrek ed. De andere kinderen kunnen zich vooral richten op het mooi inkleuren van hun driehoek. Zo kan iedereen zijn eigen invulling geven aan een leuke wiskundeles.

 

Tweede blokuur:

Tijdens het tweede blokuur beginnen we met herhaling van de vorige les: wat hebben we ook al weer gedaan? Ook denken we wat verder na over de oppervlakte en omtrek van het figuur. De leerlingen krijgen nu ook een blad met een aantal opgaven. We wisselen hierbij werken aan de opgaven en klassikaal bespreken van de opgaven met elkaar af. De indeling van de les is ongeveer als volgt:

1) Herhaling vorige les.

2) De leerlingen berekenen het aantal driehoeken, de oppervlakte en de omtrek voor de eerste drie generaties van de zeef van Sierpinksi.

3) We bespreken de resultaten die de leerlingen hebben gevonden en denken na over een algemene formule

4) Wat zou er gebeuren als je oneindig lang door kon gaan? Wat wordt het aantal driehoeken? En de opppervlakte? En de omtrek?

5) We bekijken nog een voorbeeld van een fractal: de kromme van Koch. We geven een definite en laten de leerlingen een aantal generaties tekenen.

6) Aan de hand van de twee voorbeelden (kromme van Koch en zeef van Sierpinksi) leggen we uit wat een fractal is.

7) We geven het voorbeeld van de kust van Noorwegen.

8) Na dit theoretische begin van les (hooguit 50 min) gaan we weer praktisch aan de slag. We splitsen de klas op in vier groepen.

- Groep 1 gaat van de driehoeken die tijdens de eerste les zijn gemaakt één grote driehoek maken.

- Groep 2 maakt een poster waarop de constructie van de driehoek wordt uitgelegd.

- Groep 3 maakt een poster waarop de analyse van de zeef van Sierpinski (over aantal driehoeken, oppervlakte en omtrek) wordt uitgelegd.

- Groep 4 maakt een poster met de titel van het project en de namen van de leerlingen.

Het resultaat kan vervolgens op school worden opgehangen. Zoals gezegd doen we dit op het Dominicuscollege in twee blokuren, maar een andere tijdsindeling is natuurlijk ook denkbaar (bijvoorbeeld één middag). Je zou dan ook alleen de constructie van de driehoeken kunnen doen en wat minder op de achtergrond in kunnen gaan. Of bijvoorbeeld het maken van de grote driehoek uit de kleinere zelf kunnen doen.