DE
ONBEMINDHEID
DER
WISKUNDE
REDE,
gehouden bij de overdracht van het Rectoraat
der Rijks-Universiteit te Groningen,
op Maandag 20 September 1926.
Aanvullende gegevens:
J.A. Barrau, De onbemindheid der wiskunde, Groningen: Wolters (1926)
Oorspronkelijke redevoering overgenomen uit het Jaarboek der
Rijksuniversiteit Groningen (1925-1926), pp. 9-25; zonder voetnoten.
MIJNE HEEREN CURATOREN, DAMES EN HEEREN PROFESSOREN,
LECTOREN, PRIVAAT-DOCENTEN, STUDENTEN EN VERDERE
BELANGSTELLENDEN,
ZEER GEACHT GEHOOR!
Vele jaren geleden gaf een aan eene onzer Universiteiten
benoemd hoogleeraar in de Oude Letteren aan zijne inwijdingsrede den titel:
,,de literarum veterum amicis et inimicis'', ,,over de vrienden en de
vijanden'' -- wij modernen zouden allicht nuanceeren ,,vóór en
tegenstanders'' -- der oude letteren.
Zou er reden bestaan ook iets te zeggen ,,over de vrienden en de
vijanden'' der wiskunde? Zoo wij het uitzicht niet beperken tot de
universitaire sfeer alleen, zeer zeker.
Vriendschap en vijandschap jegens de wiskunde aan onze middelbare
scholen zijn zoo oud als deze inrichtingen zelf en er zal wel niemand
onder u zijn, die door deze mededeeling als door eene opzienbarende
onthulling wordt getroffen.
Vriendschap -- ik spreek van het standpunt van den leerling, de
meening der ouderen, met hoeveel gewicht ook uitgesproken, met hoeveel
invloed ook doorgezet, veelal beschouwend als naklanken uit eigen
jeugd of als versterkend medeklinken met wat de omringende jeugd
verkondigt -- vriendschap voor het vak, waarin nu eindelijk eens het
criterium van goed of fout niet in het bloote machtwoord van den leeraar
ligt, waar geene loerende uitzondering ons trouwhartig steunen op den
regel te schande maakt, omdat de uitzondering even klaarblijkelijk is
als de regel zelve, waar het aanleeren en onthouden bijna restloos wordt
vergemakkelijkt door nadenken en begrijpen.
Vijandschap tegen het ,,inpompen'' van gewrongen en gekunstelde
bewijzen voor stellingen, die, als ze eenvoudig zijn, van zelf schijnen te
spreken, doch welker inhoud onbelangwekkender wordt, naarmate de
ingewikkeldheid toeneemt -- het is waarlijk de voor het leven minstbelovende
leerling niet, die op de vraag, waarom één zijde van een
driehoek kleiner is dan de som der beide andere, zeer onwiskundig
antwoordt: ,,natuurlijk, omdat een omweg een omweg is''! Verzet, en
het gevoel, unfair te worden bejegend, als het succes van zulk leeren
zal worden beoordeeld door middel van vragen, welker beantwoording
berust op de oplossing van een niet vooraf vertoonde puzzle of de
vondst van eene niet eerst voorgedane kunstgreep, vragen nogal over
getallen zonder leven en figuren zonder bruikbare beteekenis; verzet,
dat juist bij deze afgetrokkenheden met nog meer klem dan bij andere
[pag. 10]
vakken de eisch wordt gehandhaafd, dat elk gewenscht onderdeel van
het vroeger geleerde op elk gewenscht oogenblik moet kunnen worden
te pas gebracht. En wrevel, dat men zich, onder het voorwendsel, dat
het ons verstand zal scherpen -- eene uitwerking, waarvan men eer
het tegendeel bespeurt -- aan dat alles heeft te onderwerpen, ook als
men beoogt iets te worden, waarbij geene wiskunde, of althans niet in
zoo gezochten vorm, van noode is.
Hoe de aantallen der stemmen van vriend en vijand onder de
vele tienduizenden in Nederland, die door de spitsroeden der schoolwiskunde
zijn gegaan, zouden uitvallen, moge twijfelachtig zijn, zeker is, dat
terwijl de stem der voorstanders geene aanleiding heeft, zich ongevraagd
te doen hooren, de andere stem zich telkens weer luide verheft -- en
volkomen terecht, indien het waar zou zijn dat een groot deel onzer
jongens en meisjes jaren lang aan eene noodelooze en nuttelooze kwelling
van het denk- of van het geheugencentrum wordt onderworpen.
En het is verklaarbaar en natuurlijk, dat gretig wordt
geluisterd naar
nu en dan opklinkende verzekeringen van meer of min deskundige
zijde, dat deze of gene ingrijpende wijziging van voordracht of methode
wonderen zou uitrichten, dat zich accommodementen met den mathematischen
hemel laten treffen, dat niet in de wiskunde zelf, maar in de
wiskundige, of overdreven wiskundige, behandeling der wiskunde het
groote euvel schuilt.
Waarop dan het wederwoord luidt, dat het suaviter in
modo ten allen tijde met alle liefde behoort te worden betracht, maar dat
van het fortiter in re niets, maar dan ook niets, mag worden
prijsgegeven.
Ten onzent heeft deze oude en onvermijdelijke strijd thans
geleid tot het instellen eener ,,Commissie, belast met het onderzoek naar den
toestand van het wiskundeonderwijs op de H. B. S. met 5-jarigen cursus'',
welke commissie reeds een tweetal zeer lezens- en behartigenswaarde
mededeelingen heeft gepubliceerd, wel is waar, als ik mij zoo eens mag
uitdrukken, nog niet sprekend over de vrucht: het onderwijs, ook niet
over stam en takken: het leeraarscorps en de leeraren, doch over den
wortel: de opleiding tot dat ambt -- een begin dus van veelbelovende
grondigheid.
Den strijd over de wiskunde vinden wij op hooger plan dan het
middelbaar onderwijs, doch even onvermijdelijk, smeulend of laaiend
terug bij het technisch hooger onderwijs in buiten- en binnenland. Veel
of weinig, doorgrondend of bloot kennisnemend, als samenhangend
geheel of tot in zwang zijnde toepassingen beperkt, te onderwijzen door
een volbloed wiskundige of te doceeren door een rasecht ingenieur --.
ziedaar twistpunten genoeg!
Edoch, de plaats waarvan en de gelegenheid waarbij ik heden
het woord tot u richt brengen niet mede, dat ik u verder zou verdiepen in
aard en omvang van de rol, welke de wiskunde epeelt of behoort te
spelen aan Burgerschool of Technische Hoogeschool -- is er ook sprake
van ,,vrienden en vijanden'' der wiskunde in onze eigen, de universitaire`
sfeer?
[pag. 11] Ik geloof, néén.
Er is niemand onder u, die de wiskunde hare zoo eigenaardige
en afzonderlijke plaats in de rij der wetenschappen misgunt, haar aangewezen
nagenoeg geheel vóóraan, of onderaan zoo gij dat bescheidener
gezegd vindt, onmiddelijk volgend, of onmiddelijk rustend dan, op de
soevereine logica zelve.
Tot voor twintig jaar althans -- want sindsdien maakt zij,
bij monde van een harer meest gezaghebbende vertegenwoordigers, aanspraak op
de plaats gehéé1 vooraan, beschouwt zich als ,,onafhankelijk
van de zoogenaamde logische wetten'' en kent zichzelve eene soevereiniteit toe,
die niet ontspringt uit de wet, doch waaruit de wet ontspringt.
Afziende echter van deze jongste troonsaansprask, die ik
straks nog zal hebben te bespreken, herhaal ik niet te gelooven, dat een van u
aan de wiskunde de haar van ouds ingeruimde plaats wil ontzeggen,
eene plaats in den onderbouw van den toren der wetenschappen, waar
zij is dragende, doch niet gedragen, dan door den algemeenen bodem
van rede en verstaan -- wij mogen dien dan betrouwbaar of calamiteus
achten --, dienstbaar, doch geene dienstbaarheid vergend.
En toch . . . . .
Ik wil mij eens verbeelden, dat mij door de aanwezigheid van
zoovele van de beroemdste psychologen der wereld in onze stad het vermogen
was deelgeworden, de stemming te peilen, waarin gij u zooeven hebt
opgemaakt tot het aanhooren eener redevoering over . . . de wiskunde.
Wat ik dan peil, is eene diepte van doffe gelatenheid, zij
het ook door eene volmaakte, waarlijk bewonderenswaardige hoffelijkheid, die ik in
de allerhoogste mate waardeer, gecamoufleerd.
Vanwaar, indien de mijzelf toegefantaseerde zienersgave
mij niet bedriegt, en ik geloof niet, dat zij dat doet, vanwaar, ook bij
eene intellectueele élite, die het goed recht der mathesis ten volle
erkent, die onbemindheid der wiskunde ?
In hare moeilijkheid kan nu de verklaring niet liggen,
elke andere wetenschap stelt even moeilijke problemen, die juist de
scherpzinnigsten en volhardendsten het meeste lokken, en met elke andere
wetenschap heeft de wiskunde gemeen, dat zij, zoo bij haren beoefenaar
de heilige vonk slechts gloeit, vragen in overvloed voorlegt, aangepast aan den
aard en de draagkracht van ieders vernuft.
En eene smalende toespeling op hare puzzles en kunstgrepen
verwacht ik niet van u, die te vaak op eigen gebied den innerlijken samenhang
van losse of verbrobkelde gegevens door stelselmatig en overleggend
beproeven hebt gevonden -- de puzzle, Bn die hebt ervaren hoe eene,
langen tijd hardnekkig gebleven, moeilijkheid kan wijken voor dat plotselinge,
schijnbaar meer ondergane dan gedane, flitsen der gedachte,
dat is de ingeving, de vondst, de kunstgreep -- what's in a name?
Vanwaar de onbemindheid der wiskunde ook onder geleerden,
teekenender en veelzeggender dan hare impopulariteit bij het grootere
publiek?
[pag. 12]Zoo ze niet te wijten is aan hare methoden, die
niets afwijkends of
ongewoons vertoonen -- puzzle en kunstgreep immers -- aan haren
inhoud dan ?
Inderdaad, of eigenlijk: nog erger!
Wat men de wiskunde verwijt is juist haar gemis aan een
zakelijken, daadwerkelijken inhoud: de horror matheseos is een
horror vacui.
In bijna elke andere wetenschap erkent men een geleerd
dóórdringen
in de geheimen van dingen, die ook ongeleerd bestaan -- de, dusgenaamd
abstracte, objecten van het wiskundig onderzoek echter schijnen alleen
door wiskundige geleerdheid met groot vernuft, doch even groote willekeur,
te kunnen worden ineengezet, waarna diezelfde geleerdheid eene
pijnlijke, en dan nog vaak vergeefsche, moeite besteedt aan de taak ze
weder te ontleden.
Nagenoeg elke andere wetenschap spreekt over dingen, waarover ook
de oningewijde op zijne wijze spreekt, en mededeelingen uit deskundigen
mond hebben aldus ook voor den niet-medevakman, los van de zuiver
wetenschappelijke, op zijn minst eene zekere, ik zou willen zeggen
anecdotische waarde -- die de theorema's der wiskunde hopeloos schijnen
te derven.
De instemming, die deze verklaring mogelijkerwijze bij u
vindt, moge eene aanwijzing ervoor zijn, dat de richting waarin wij ze zochten
de goede is, ze mag ons van onbevooroordeeld verder toetsen niet
ontheffen.
Zoo zou het billijk zijn, eens te luisteren naar vaktermen,
uitdrukkingen en begrippen in de vele andere leerzalen onzer faculteiten
dagelijks gebruikt, en het gehalte aan abstractie te wegen, dat ze open
of verholen met zich dragen. Of dat nimmer zwaarder zou blijken dan
bij eene figuur of bij eene formule?
Maar een schoenmaker houde zich bij zijne leest, ik zal mij
dus houden bij mijne wiskunde en een tweetal vragen stellen over deze zelf.
Bezit zij in het geheel geene anecdotische waarde?
en
Vervaardigt zij inderdaad zicbzelf in vrije willekeur haar
eigen onderwerp, zijn hare resultaten bedenksels, geene ontdekkingen?
De eerste vraag is eigenlijk van statistischen aard: wij
zouden eene enquête moeten instellen naar het mathematisch amateurisme
en nagaan aan welke onderwerpen dit zijne aandacht schenkt.
Bij gebreke daarvan moeten wij ons tevreden stellen met te
zien naar
den inhoud van voor amateurs bestemde boeken, welker publicatie een
schrijver en, wat meer zegt, een uitgever aandurfden; zoo de vier
deelen Récréations mathématiques van Lucas, of, beknopter,
de Mathematical Recreations and Problems van Ball en de Mathematische
Unterhaltungen und Spiele van Ahrens.
Onze bevinding is zeer merkwaardig.
De honderderlei kunststukjes en spelletjes, met merkwaardige
geheele getallen en toovervierkanten, met lucifers, speelkaarten en
dominosteenen,
op schaak- en dambord zelf of op hunne reelsoortige varianten, over [pag. 13]
bruggen, die de oevers en de eilanden eener vertakkende rivier verbinden
en door de gangen en sloppen van een doolhof, vanaf het
overzetten van wolf, geit en kool tot het kleuren eener landkaart met
zoo weinig mogelijk kleuren, zoo dat toch elk tweetal aangrenzende
landen verschillend van kleur wordt, ze behooren alle tot het genre
van de puzzle, dat wil zeggen, dat het stelselmatig verrichten van een
eindig, zij het soms ook geweldig groot, aantal pogingen met zekerheid
alle oplossingen verschaft, dan wel beslissend uitmaakt, dat geene oplossing
mogelijk is.
Al vormen echter deze door de smakelijkste inkleeding
gekruide en onder de bloemrijkste benamingen opgedischte raadsels en
raadseltjes van het puzzle-type het hoofdgerecht, het type kunstgreep ontbreekt
niet geheel en al.
Het is vertegenwoordigd wanneer wordt gevraagd de stelling
van Pythagoras te bewijzen, door het vierkant op de schuine zijde in stukken
te verdeelen, waarmede men juist de vierkanten op de rechthoekszijden
kan opvullen. En dit stuksnijden van veelhoeken en op andere wijze
samenvoegen der deelen levert nog vele verrassingen, waarvan de oplossing,
zoo ten minste de deellijnen moeten worden gezocht, boven de
oplossing van een puzzle uitgaat, daar geen eindig aantal pogingen de
wijzen, waarop een veelhoek kan worden verdeeld, vermag uit te putten.
Anders wordt dit weder, als de deellijnen gegeven zijn, als dus de veelhoek
uit eenige losse stukjes van steen of hout bestaat, die tot voorgeschreven
figuren moeten worden vereenigd, nu voert weder stelselmatig beproeven
met zekerheid tot het doel.
Gij hebt reeds opgemerkt, dat de ,,recreaties'' van het
kunstgreeptype een veel kennelijker ,,wiskundigen'' indruk maken dan de zuivere
puzzles, wij zullen ook nog hebben onder het oog te zien, in hoe verre
deze dat predicaat verdienen.
Maar gij wilt mij intusschen de opmerking veroorloven, dat
puzzle en kunstgreep blijkbaar als tijdverdrijf en ontspanning bekoring hebben
voor wellicht dezelfden die haar optreden in de school verfoeien --
eene opvatting, waartegen in zooverre geen bezwaar kan worden gemaakt,
dat iets wel op zijne plaats kan zijn in de huiskamer, dat niet past in
het leslokaal. Of zou de weerzin tegen de schoolwiskunde er ook een
zljn als die tegen ,,toujours perdrix''?
Onmiskenbaar, schoon dan eenigszins averechts, wiskundig
zijn ook de drogbewijzen voor foutieve stellingen: ,,8 × 8 = 5 × 13'' of ,,elke
driehoek is gelijkbeenig'', waarin de corrupte schakel moet worden
gezocht; goed wiskundig weder de bij voortduring door amateurs in
den wind geslagen raadgevingen, geen tijd en moeite te verkwisten aan
het oplossen van problemen, welker onoplosbaarheid vaststaat: het
bewijzen van het evenwijdigheidspostulaat van Euclides, de verdubbeling
van den kubus, de driedeeling van den hoek, de constructie van den
regelmatigen zeven-, of negen-, of elfhoek of van een driehoek uit zijne
drie bissectrices en last not least de kwadratuur van den cirkel, van
welke het aan Arago was opgevallen, dat ze in het voorjasr vaker wordt [pag. 14]
ontdekt dan in de andere jaargetijden. En een bord, ditmaal niet met
het opschrift: ,,afgrond'', maar wel, gezien de talrijke verongelukten
uit goed intellectueele kringen, met de waarschuwing: ,,gevaarlijke helling''
mocht ook wel worden geplaatst bij het laatste theorema van Fermat,
waarvan tot nu toe noch de onjuistheid, noch de juistheid bewezen is.
Die echte puzzles dan, is dat nu wiskunde?
Zeker niet wiskundig, ook niet bij toevallig slagen, is hunne
oplossing op goed geluk, door zoeken in het wilde, zonder herkenning van reeds
eenmaal ingeslagen paden of zonder waarborg, dat geen zijweg kan zijn
over het hoofd gezien
Wordt echter bij het zoeken aan den eisch van
stelselmatigheid en
volledigheid voldaan, worden recepten gevonden, die voor geheele
categoriën van door welbepaalde kenmerken onderscheidbare gevallen gelden,
dan is reeds, volgens den gangbaren zinsinhoud van het woord, de
wiskunde aan het werk. Dan blijken ook alras de toepasbaarheid van
bepaalde mathematische technieken, de leer der permutaties en combinaties
allereerst met de theorie der groepen van eindige orde, en de
samenhang met op het eerste gezicht geheel verschillende problemen,
waarvan de combinatorische kern dezelfde is. Doch liever dan deze
verzekering in het afgetrokkene uit te werken, zal ik ze met een paar
voorbeelden illustreeren.
Indien ik u de definitie geef van een tripelsysteem van N
elementen
als een stelsel, zoo dit mogelijk is, van 1/6N(N - 1)
verschillende drietallen uit die elementen gekozen, zoodanig, dat de
1/6N(N - 1) × 3 paren
elementen, die men aan die drietallen (aan elk drietal drie) kan ontleenen,
juist de ½N(N - 1) mogelijke paren der N elementen zijn, en
u dan opdraag, alweder zoo het mogelijk blijkt, de drietallen van een
tripelsysteem te verdeelen in ½(N - 1) stellen van
1/3N tripels elk, zoodat
in elk stel van 1/3N tripels juist alle N elementen
vóórkomen dan zal
u die opdracht hoogstwaarschijnlijk met weinig geestdrift vervullen.
Maar dit verandert, wanneer ik u voor eene bepaalde waarde van N,
namelijk 15, dezelfde vraag voorleg in de inkleeding, waarin Birkman
ze in The Lady's and Gentleman's Diary voor het jaar 1850 publiceerde:
Vijftien kostschoolmeisjes gaan dagelijks wandelen in vijf
rijtjes van drie. Gevraagd wordt, het wandelrooster voor eene week te ontwerpen
zóó, dat geen meisje in den loop der week tweemaal met hetzelfde
andere in ééne rij loopt.
Allicht wilt gij als tijdverdrijf dit eens beproeven, en ik
zie met inwendig
genoegen toe, hoe gij het bij die poging, die vrij spoedig succes heeft,
niet noodig acht, de meisjes bij haren naam te noemen, Anna, Bertha,
Corrie, . . . . , neen, stomme letters, die niets liefelijks suggereeren,
a, b, c, . . . . zijn u voldoende -- eerste stap op het pad der abstractie,
welks bewandeling ons, wiskundigen, vroeg of laat de sympathie onzer
medemenschen doet verliezen.
Gij hebt dan eene oplossing gevonden; welnu, hoevele
verschillende oplossingen, waarbij bloote verwisseling van wandelvoorschrift
voor de [pag. 15]
dagen der week onderling niet als nieuwe oplossing wordt beschouwd,
zijn in het geheel mogelijk?
Deze vraag, sinds 1850 door menigeen reeds opgevat en
losgelaten, werd eerst beantwoord in een proefschrift, in 1917 aan onze
Universiteit verdedigd en, zoo het antwoord uwe weetgierigheid prikkelt, wil ik
het u gaarne mededeelen, het is 404.756.352.000, alleszins voldoende dus,
om belanghebbende pensionaten voor langen tijd van wandelroosters te
voorzien. En dit antwoord is niet zóó bedoeld, dat men in het
veen der milliarden op het turfje van een enkel duizendtal niet moet zien,
neen, het is tot de eenheid gewaarborgd correct.
De volledige toerusting kunnen gegadigden zich verschaffen
door het copiëeren van slechts een zevental roostertypen. Is toch zulk een
type opgesteld in de elementen a, b, c, . . . . dan kan men de eerste
week aan Anna de rol van het element a toebedeelen, aan Bertha
die van b, aan Corrie van c enzoovoort. De volgende week zal
Bertha eens a zijn . . . . , in het geheel kunnen de 15 meisjes aldus op
15 × 14 × 13 × . . . . × 3 × 2 × 1 =
1.307.674.368.000 verschillende
wijzen voor de 15 letters inspringen. Dit wil nu niet zeggen, dat uit.
dat roostertype evenzoovele verschillende roosters ontstaan. Wandelen
bijvoorbeeld de eerste week Anna, Bertha en Corrie als a, b, c op
Zondag in eene rij, doch is de volgende week Bertha a, Corrie b,
Anna c, dan wandelt dat drietal meisjes, ondanks de letterverwisseling,
op Zondag weer te samen, het tripel Anna, Bertha, Corrie is tegen die
verwisseling bestand, is invariant. Zoo kan, en zal inderdaad, het geheele
roostertype (zij het ook onder verwisseling van wandelvoorschrift voor
dagen der week onderling, doch dat beschouwden wij niet als eene
andere oplossing) invariant zijn voor eene dusgenaamde ,,groep'' van
eenige bepaalde verwisselingen en door het aantal verwisselingen, waaruit
die groep bestaat, moet ons billioen worden gedeeld om het aantal
verschillende roosters van dat bepaalde type te verkrijgen.
De volledige oplossing van Kirkman's puzzle in het bedoelde
proefschrift bestaat nu uit:
de opstelling der zeven typen;
de vaststelling der groep van elk type -- van de zeven typen
blijken er twee voor 168, twee voor 24, twee voor 12, een voor 21
verwisselingen invariant;
het bewijs, dat geen achtste type mogelijk is.
Reeds in 1862 bezat een oplosser alle zeven de typen, doch
door onbekendheid met de groepeigenschap publiceerde hij acht gevallen,
waaronder een type tweemaal voorkwam. In 1912 publiceerde een andere
oplosser elf gevallen, waaronder vier type-duplicaten. Zonder de kennis
der groep was het berekenen van het totale aantal oplossingen onuitvoerbaar
-- met die kennis is het een eenvoudig rekensommetje. Ligt
er dan toch niet iets onbillijks in het sarcasme van Schopenhauer, dat
een mathematicus iemand is, die een gezond been laat afzetten, omdat
hij meent op een houten beter te kunnen loopen?
Maar genoeg van de 15 kostschoolmeisjes.
[pag. 16]Met eene andere bedoeling dan om u te doen zien hoe
ook de charmantst geredigeerde puzzle gedoemd is in het dorre zand der mathesis
te verdrogen, ditmaal om u te illustreeren hoe zulk een puzzle de kern
kan zijn van vraagstukken van meer echt wiskundigen aard, wil ik u
eene soort van opgaven beschrijven, die men onder den naam van
tegeltableaux kan samenvatten.
Wij willen een vierkant, een vierkanten meter bijvoorbeeld,
beleggen met tegels in verschillende kleuren, maar alle van een vierkanten
decimeter, daarbij wat het te verkrijgen patroon aangaat, zorg dragende
dat de eene of andere nader voor te schrijven regelmaat wordt in acht
genomen.
Laten wij eerst met slechts twee klenren wergen, zwart en
wit, en den eisch stellen, dat in elke rij, alsook in elke kolom, een vast
aantal, bijvoorbeeld drie, zwarte tegels moeten voorkomen, terwijl verder elk
tweetal rijen ten hoogste eenmaal een zwarten tegel mag vertoonen in
dezelfde kolom (dus ook elk tweetal kolommen in dezelfde rij). Tableaux
die door verwisseling van rijen onderling en kolommen onderling, of
van de rijen met de kolommen, zooals bij een kwartslag draaien, in
elkander overgaan, zullen wij weder van één type noemen.
Het onderzoek leert, dat er tien typen zijn; een ervan, het
zoogenaamde cyclische, kan zeer eenvoudig worden verkregen door in de bovenste
rij den eersten, tweeden en vierden tegel zwart te nemen en deze figuur
in elke volgende rij ééne plaats naar rechts op te schuiven.
Welnu, het ontwerp van zulk een tegelvloer vinden wij terug
in de meetkundige dusgenaamde configuraties, bestaande uit tien verschillende
punten en tien verschillende rechte lijnen in het platte vlak, zoodanig
dat elke van die tien lijnen door drie van die tien punten gaat en elk
dier punten op drie van de tien lijnen ligt -- eene opgave, die men in
huiskamerredactie kan brengen door te verlangen dat tien boompjes
zullen worden geplant op tien rijtjes van drie. De eenvondigste wijze
om eene dergelijke configuratie (103) meetkundig te ontwerpen
bestaat in het teekenen van een viervlak, waarvan alle zijvlakken, zoo noodig
verlengd, door een vijfde vlak worden gesneden: de teekeningen van
de tien snijlijnen der vijf vlakken paarsgewijze worden dan de tien rechte
lijnen, de tien snijpunten van de vijf vlakken drie aan drie leveren de
punten der configuratie -- het type van deze naar Desargues genoemde
figuur is echter niet het zooeven genoemde cyclische.
Waarin bestaat nu het verband van configuratie en
tegelpatroon? Men behoeft slechts met de punten der figuur de rijen, met de
lijnen der figuur de kolommen van het vloertje te laten correspondeeren en
een zwarten tegel te leggen op de snijding van rij en kolom dan, en
dan alleen, als het correspondeerende punt op de correspondeerende
lijn ligt, de overige plaatsen met een witten tegel beleggend; elke
configuratie levert aldus een ondubbelzinnig door haar bepaald plaveiseltype.
Dat geen twee rijen tweemaal een zwarten tegel in dezelfde kolom
vertoonen, is slechts de schematische vertolking van de eigenschap der
figuur, dat geene twee punten op twee der rechten liggen [pag. 17].
Toch is het tegelvraagstuk niet gelijkwaardig met de
configuratieconstructie, het is gelijkwaardig met het ontwerpen van een
spoorwegnet voor tien diensten, die desnoods over wegen met kromlijnig
tracé mogen
worden onderhouden, doch zoodanig dat elke dienst op eene eigen iijn
volgens een met een tableau overeenstemmend voorschrift, drie van tien
willekeurig verspreid gelegen stations aandoet. Wat de constructie eener
configuratie (103) méér verlangt, is de ligging der
stations te kiezen zóó,
dat de tien spoorlijnen, hoewel verschillend, toch alle rechtlijnig worden.
Deze eisch is soms te zwaar, van onze tien tableaux kan er dan ook
één niet in punten en rechte lijnen verwezenlijkt worden, dit
recalcitrante type is niet het cyclische.
Stelt men aan een zwart-wit plaveisel van bijvoorbeeld zeven
tegels in lengte en breedte, vier zwart en drie wit in elke rij en in elke
kolom, nog den eisch, dat, welke twee men men ook kiest, van de vier zwarte
tegels in die rijen er twee in overeenkomstige kolommen vallen, de twee
andere niet, dan geeft het eene oplossing voor eene geheel andere
meetkundige vraag.
Deze luidt: is het mogelijk de 27 = 128
hoekpunten van een maatpolytoop in de ruimte van zeven afmetingen in te deelen
in 16 achttallen,
zoodat elk achttal de hoekpunten vormt van een regelmatig simplex,
welks middelpunt samenvalt met dat van het maatpolytoop? De bedoeling
der vraag komt wellicht nader tot u als ik mededeel dat ze de analogie
is van de eigenschap in onze ruimte, dat de acht hoekpunten van een
kubus kunnen worden ingedeeld in twee viertallen, die de stellen hoekpunten
zijn van twee elkander doordringende regelmatige viervlakken.
Noodig voor de analoge indeeling in eene ruimte van n
afmetingen
is, dat a een viervoud plus drie zij. Of deze voorwaarde voldoende is,
is niet bekend, wel is dit voor eenige rijen van waarden van n bewezen,
en aaneengesloten voor de veelvouden plus drie tot en met 35, maar
niet voor elke dergelijke waarde. Ook is nog geene classificatie van
oplossingstypen ondernomen.
Bonter dan zwart en wit wordt ons plaveisel, als we evenveel
kleuren bezigen, als er tegels in lengte en breedte gaan, zij dit aantal n. De
eisch zal zijn, dat in elke rij en in elke kolom elke kleur juist
éénmaal
zal voorkomen. Had men alle typen van zulke tableaux, dan zou men
daarmede de groepen der ne Orde kunnen classificeeren, niet alleen
de gewone, associatieve, welker classificatie een eind weegs verricht is, maar
ook de niet-associatieve -- een nog onontgonnen terrein. En deze groepen
zijn op hare beurt weder voor velerlei verderstrekkende wiskundige
doeleinden dienstig.
Voldoen deze plaveisels nu bovendien nog aan den eisch, dat
alle kleuren ook in elke der beide diagonalen verschijnen, dan bieden ze
een hulpmiddel tot het opstellen van dubbele toovervierkanten, ,,carrés
bimagiques''. Voor bijvoorbeeld n = 8 luidt deze opgave: schrijf in de
64 hokjes van een vierkant van aoht hokjes zijde de getallen van 1 tot [pag. 18]
en met 64 zóó, dat niet alleen de som der getallen, die in eene
rij, eene kolom of eene diagonaal staan, altijd dezelfde is, maar dat
ditzelfde opnieuw geldt voor de som hunner kwadraten.
Als voorbeeld van een ,,puzzle voor twee personen'', elkander
tegenwerkend om zelf te slagen, een spel dus, wil ik u noemen het
nim, waaraan enkele jaren geleden twee onzer scherpzinnigste wiskundigen
te samen eene studie wijdden.
De spelregel is als volgt:
,,Men heeft drie hoopjes lucifers. Om de beurt neemt ieder
der spelers van een zelfde, bij iederen zet door hem te kiezen, hoopje een of
meer lucifers weg (hij mag ook het geheele hoopje wegnemen). De speler,
die het laatst wegneemt, wint.''
De oplossing is zuiver wiskundig, elementair en toch in het
geheel niet voor de hand liggend. Kennen beide spelers ze, dan is ,,de
aardigheid er af'', ze behoeven slechts de aantallen lucifers in de drie
hoopjes te tellen om vooruit te weten of de eerste speler winnen of verliezen
zal. Die ,,aardigheid'' schijnt dus niet zoozeer te liggen in het kennen
der oplossing, als in het zoeken daarnaar -- een troostgrond, die de
vaak als mistroostig gevoelde slechte oneindigheid der wetenschap zelf
voor ons in eene goede moge verkeeren!
Natuurlijk is met al deze, reeds eenigszins klassieke,
mathematische recreaties de belangstelling van niet-vakgenooten in de wiskunde
niet uitgeput. Maar over het algemeen geldt voor haar wel zeer sterk het,
wederzijdsch causale, onbekend, onbemind.
Zeer helder wordt dit dan ook ingezien door organisatoren van
cursussen en voordrachten, door redacteurs der wetenschappelijke kolommen
in tijdschrift en courant, die vrijmoedig hunne, op korten steel gesneden,
bloemen te samen lezen uit de verborgenste hoeken van den veelkleurigen
lusthof aller faculteiten, zich alleen zorgvuldig wachtend hoorder of lezer
te bezeeren aan de droge stekels der mathesis.
Toch gebiedt de billijkheid het bestaan te erkennen van eene
anonieme schaar van getrouwen, talrijker wellicht dan wij weten. Ik bedoel
hen, die, blijvend op het niveau eener niet opwaarts voortgezette schoolkennis,
uit liefhebberij nog eens eene driehoeksconstructie beproeven,
een theorema of eene formule opsporen, onbekommerd om eenige prioriteit --
waarlijk wiskundig bezielden dus, die in bescheiden stilte de
zuivere vlam der vereering brandende houden.
Ik stelde nog eene tweede vraag: beantwoordt de wiskunde aan
iets werkelijks of broedt zij hersenschimmen?
Gij zult zeggen: deze vraag, al betreft zij de wiskunde, is
zelve niet wiskundig, zij behoort op het terrein der bespiegelende wijsbegeerte
en het antwoord zal afhangen van den gezichtshoek, waaronder de ondervraagde
philosooph de dingen ziet, van het systeem, dat hij aanhangt,
van de school, waartoe hij zich bekent. [pag. 19]
Ongetwijfeld.
Maar gij hebt daarmede uitgesproken en ik ben geneigd dat te
beamen, dat er dus tusschen het terrein der wijsbegeerte en dat der
afzonderlijke wetenschap eene grens loopt, aan weerszijden waarvan eene andere
taal wordt gesproken, of dezelfde taal anderen klank en zin heeft.
Om geen misverstand te wekken moeten wij dus aan de eene of
de andere zijde dier grens domicilie kiezen, ik doe dit door mijne vraag
aldus te beperken: hoe dachten en denken de wiskundigen over de
werkelijkheidswaarde van hun werk? -- wat dan op zijne beurt en in
laatste instantie beduidt: hoe heb ik begrepen en hoe geef ik u weer,
dat zij denken, of dachten.
De historici onder u willen mij wellicht toegeven, dat er
altijd iets arbitrairs ligt in het verdeelen der geschiedenis in tijdperken,
de historici doen dit echter steeds. Ik zal hun voorbeeld volgen en een drietal
opvolgende zienswijzen onderscheiden.
De oudste, die vermoedelijk ook ieder individueel
aanvankelijk aanhangt, is die der abstraheerende axiomatiek. Men telt en deelt
de dingen, men ziet en bevindt, dat ze afstand en uitgebreidheid, vorm
en grens hebben. Hun bijzondere materieele aard doet daarbij niet ter
zake, hij wordt niet meer genoemd en voor de namen der dingen
komen nieuwe immaterieele termen in de plaats: eenheden, vlakken,
lijnen, punten. De dingen worden daarbij tevens van storende ruwheden
gezuiverd, de vormen worden geïdealiseerd. De logische samenhang
hunner arithmetische en geometrische eigenschappen wordt onderzocht
en elk resultaat heeft den rang eener ontdekking.
De wiskundige vermeit zich in grootere en fijnere
berekeningen dan te pas komen, in kunstiger en ingewikkelder vormen dan de
werkelijkheid vertoont, maar vrees, dat zijn werk een waan zou zijn, komt niet
in hem op, daar immers wat hij denkt en doet redelijkheid en bestaan
ontleent aan de werkelijkheid zelve, waarvan het de geledigde huls is.
Mocht hij niettemin in wijsgeerige scrupules geraken, mocht
hij in het bijzonder huiverig worden bij den limietovergang van de gegeven
ruwe werkelijkheid tot het geïdealiseerde schema, dan behoeft hij slechts
over de grens te gaan tot den wijsgeer, om te worden vertroost met
de woorden, dat wat hij hield voor eene geledigde huls niet anders is
dan een door hemzelf medegedragen gietvorm, waarin de werkelijkheid,
za1 zij kenbaar worden, zich moet gieten.
De geldigheid van wiskunde en werkelijkheid voor elkander
blijft daarbij dezelfde, elk zich voordoend geschil moet, zoo vertrouwt men
onschokbaar, door nauwkeuriger waarneming eenerzijds, door het in
rekening brengen van eerst verwaarloosde omstandigheden anderzijds
op den weg eener steeds voortschrijdende verzoening kunnen worden
gebracht en uiteindelijk verzoenbaar zijn. Hare eerste groote, stoutmoedige
schrede, het onmeetbare getal, \/2 of [pi], deed de wiskunde dan
ook onder den drang der werkelijkheid: de diagonaal van het eenheidsvierkant
kan toch op de lengteschaal worden afgepast, en eene cirkelvormige [pag. 20]
scbijf beslaat toch oppervlakte! Ook het negatieve getal wordt,
eeuwen later, als de moeilijkheid der vermenigvuldiging wordt overwonnen,
aanvaard.
Maar fel en hardnekkig is het wantrouwen bij de verschijning
van het imaginaire getal, van \/(-1). Hoe nu, moet aan eene
vierkantsvergelijking, als zij geene wortels heeft, een paar wortels,
,,onbestaanbaar''
dus a fortiori onbestaand, met geweld worden opgedrongen? Moeten
wij ons laten wijsmaken, dat eene rechte lijn, die buiten een cirkel langs
gaat, dien in eene soort van andere wereld tweemaal snijdt?
Ook in de staatkundige geschiedenis zijn er van die
gebeurtenissen,
die met voorliefde als grenspalen der tijdperken worden gekozen -- in
de historie der wiskunde zou ik de invoering van het imaginaire willen
aanzien als het evenement, dat de tweede era inluidt: die van de vrije,
mits niet-contradictoire, axiomatiek.
Zooals in de historie, volgen dan alras andere voorvallen,
die het stempel dragen van den nieuwen tijd, revisie van de zienswyze op het
onmeetbare getal, het gebroken getal, het geheele zelfs, die ontwerkelijkt
worden en vrijmachtig opnieuw gedefiniëerd, waarbij het den wiskundige
gaat toeschijnen dat het onverschillig is of de dingen zijne beweringen
believen te bevestigen of tegen te spreken, als deze maar met elkander
rijmen. De meetkunde wordt met evenveel genoegen niet-Euclidisch als
Euclidisch, meerdimensionaal als driedimensionaal, zij verloochent hare
afkomst en noemt zich een hoofdstuk der algebra. Men hoort uitspraken
als: ,,wiskunde is de leer der bewerkingen met eenheden
van algemeenen aard'' -- bedoeld wordt: met eenheden zonder aard,
of: ,,bestaan in de wisknnde wil alleen zeggen: vrij zijn van innerlijke
tegenspraak'' en men bespreekt functien en geometrieën, die
men zelf gekscherend ,,pathologische functien'' en ,,pathologische
geometrieën noemt.
Haar hoogtepunt tot op heden bereikt deze era in de
verzamelingenleer, die onbeschroomd, behalve vele andere gedurfdheden,
getalklassen construeert van steeds hoogere oneindige machtigheid, rare
mathematische brontosauren en pteranodons.
Statistisch gesproken, zoo men eene telling kon houden onder
de huidige wisknndigen, leven wij volop in dat tweede tijdperk, al heeft men
moeten ervaren, dat ongebreideld verzamelen tot hinderlijke paradoxen kan
voeren. Gij hebt dus veel kans, dat de wiskundige van heden op onze
tweede vraag tal antwoorden, dat zijne getallen en figuren met hunne
eigenschappen inderdaad zl]ne verzinsels zijn, verstandige verzinsels.
Hij stelt ze tot uwe beschikking, of ge echter zijne sommaties op iets
van toepassing wilt achten, welker zijner geometrieën gij gebruiken wilt,
ja, dat moet ge zelf maar uitmaken. Zooals hij ook, wanneer hij zich
op toegepast terrein begeeft, uit het eigen arsenaal de wapenen kiest
die hij hoopt, dat het best doel zullen treffen. Aan juistheid van zijn
werk besteedt de wisknndige al zijne zorg, maar geldigheid naar buiten
wordt niet gegarandeerd.
[pag. 21] Ik neem aan, dat aan velen van u de mathematici
der Saturnische eeuw sympathieker voorkomen.
Geduld -- eene reactie teekent zich af, al kan men niet
zeggen, dat zij dóórbreekt. ,,Terug naar de intuitie'' is hare
leus en het meest
beginselvast en overtuigd klinkt hare stem in de Amsterdamsche school.
,,Formalisme'' noemt zij de richting, die ik als ,,vrije axiomatiek''
bestempelde, omdat ik het billijk achtte elke partij den naam te geven,
die uitdrukt wat den aanhanger bekoort, niet wat den tegenstander
mishaagt. De nieuwe richting drage dus ook den titel, dien zij zichzelve
geeft: intuitionisme.
Onder intuitie versta men echter niet al wat maar spontaan
opwelt uit de diepte van het brein, neen, streng en scherp wordt aangevoeld
wat dien naam wè1, wat niet mag dragen -- de koude formalist ziet
hierin eene willekeurige zelfbeperking en spreekt allicht van ,,beperkt
ééndimensionaal apriorisme''. Eéndimensionaal omdat
oer-intuitie der
wiskunde de tijdsintuitie zal zijn; beperkt omdat het verzamelen van,
ook oneindig vele, elementen gebonden wordt aan den eisch, dat elk
op te nemen element individueel zij geconstrueerd, het oneindig vele is
toegankelijk door toelating van het ,,enzoovoort'', namelijk
,,enzóóvoort'', het ,,zóó'' moet een niet mis te
verstaan voorschrift inhouden.
De intuitionist nu leert:
,,De wiskunde is eene vrije schepping, onafhankelijk van de ervaring;
zij ontwikkelt zich uit eene enkele aprioristische oer-intuitie, . . . .''
en
,,Vervolgens het projecteeren van wiskundige systemen op de
ervaring is eveneens een vrije daad, die in den strijd om het bestaan
doeltreffend blijkt; het eene wiskundige eysteem kan daarbij practischer,
ekonomischer blijken dan hetandere . . . .''
Aldus de beginselverklaring, hoe is nu de politiek?
Zij haalt eene streep door de hoogere machtigheden en door
de befaamde paradoxen, eene streep door alle niet aan haren eisch voldoende
verzamelarij, en daarmede valt menig dierbaar geworden begrip, menig
vast betrouwd theorema, menige voor een bewijs gehouden redeneerwijze.
Een streep ook door de onderworpenheid van wiskunde aan logica --
de logica herkrijgt slechts eene gedeeltelijke en voorwaardelijke geldigheid:
gedeeltelijk, daar het beginsel van het uitgesloten derde haar
wordt ontnomen, en voorwaardelijk, daar zij alleen toepassing heeft op
de, nu gezuiverde, wiskunde.
Waarom bekeeren zich nu de mathematici niet in drommen tot de
nieuwe leer? Ik zie daarvoor altijd weer de reden, die ik reeds noemde:
wat zou moeten worden aanvaard als eene vlammende openbaring, de
intuitie, wordt vriendelijk koel ontvangen met: ,,zeker, het staat
óók vrij, het zóó aan te pakken''.
En de verdwijning der paradoxen, die pijnlijke splinters in
den vingertop, wordt met amputatie aan een geheelen arm te duur betaald geacht,
gehoopt wordt nog op eene minder energische chirurgie.
[pag. 22] Duidelijk komt de verwijdering tusschen beide
standpunten uit aan
het verschillend uitzicht dat zij bieden op een bepaald voorbeeld, in de
intuitionistische school ineengezet om daaraan de nieuwe denkwijze te
demonstreeren.
Ik bedoel het getal r.
Het wordt gedefinieerd met behulp van het getal [pi] =
3,1415926535... en verder. Aan dat verder is eene kleine chronique scandaleuse
verbonden, hoort slechts de volgende, nog verkorte, lijst:
1706. | Machin | 100 | decimalen | , alle | goed,
|
1841. | Rutherford | 208 | ,, | , 152 | ,, ,
|
1811. | Clansen | 250 | ,, | , 248 | ,, ,
|
1853. | Rutherford | 440 | ,, | , alle | goed,
|
1873. | Shanks | 707 | ,, | , niet | nader |
gecontroleerd.
|
Felix Klein was van meening, dat deze rekenwedstrijd zonder
practisch of theoretisch nut alleen uit den sportieven lust in een record kon
ontspruiten en daar schijnt wel iets van waar te zijn, als wij zien, dat een
ander in de wiskunde optredend getal, e, zeer onlangs door Lehmer
berekend werd in 707 decimalen ,,to match Shanks' last value for [pi]''.
Toch heeft Lehmer's werk iets hoogere pretentie, vooreerst beschrijft
hij sterke proeven, waaraan hij zijne berekeningen heeft onderworpen
en verder legt hij nadruk op de snelheid zijner methode: de deeling,
die het belangrijkste stuk van zijn werk uitmaakte, ,,probably the largest
division ever made'', werd op de rekenmachine uitgevoerd in vier en
twintig uren.
Hoe dan ook, wij kennen, sauf erreur, 707 decimalen van [pi],
alsook van e, en, op conditie van voldoenden leveringstijd, kunnen bestellingen
worden ingewacht tot elk gewenscht quantum. Het is deze daadwerkelijk
uitvoerbare receptmatige algorithmus voor het n-de cijfer hunner
eindeloos voortloopende decimale ontwikkeling, hoe groot n ook zij, die e of
[pi] door wisknndigen uit beide kampen als ,,getallen'' doet erkennen, ook
al zouden ze niets te maken hebben met het natuurlijke logarithmenstelsel
of de kwadratnur van den cirkel.
Bezien wij nu de 707 bekende cijfers van [pi] of e, dan
merken wij in
de afwisseling daarvan geenerlei wetmatigheid op, ze schijnt ons grillig
toe. Het komt enkele malen voor, dat drie opvolgende cijfers dezelfde
zijn, vier opvolgende gelijke cijfers vinden wij niet, evenmin ontdekken
wij ergens de tien cijfers 0123456789 in natuurlijke orde naast elkaar.
Op het aan de beurt komen van dit cijfertiental berust nu de constructie
van r.
Men vorme eene rij van machten van (-½), te beginnen met
(-½)1
en steeds lettende op de decimale ontwikkeling van [pi]. Zoolang, bij
dóórtellen tot n, in [pi] na het n-de cijfer 0-9 niet
aan de beurt komt, verhoogen wij ook telkens den exponent met 1, tot
(-½)697 loopt dan, als
Wij Shanks vertrouwen, de rij van machten aldus door. Wij ontwikkelen
[pi] verder, Shanks voorbij, getrouw den exponent met 1 verhogende, als
het cijfertiental nog niet aanbreekt. Zoodra het echter aan de beurt [pag. 23]
komt, stel na de k-de decimaal, zetten wij wel de rij van machten
van (-½) voort, maar verhoogen den exponent niet langer, laten hem wat
hij de laatste maal was, k.
De aldus ondubbelzinnig gedefinieerde rij getallen:
-1/2, +1/4,
-1/8, +1/16, . . . . .
en volgens het gegeven recept vóórt, is naar de regels der
wiskunde convergent en bepaalt een getal, hare zoogenaamde limiet. Dit is het
getal r.
Zou de eerstkomende [pi]-ontwikkelaar op het cijfertiental 0-9
stuiten, dan zou dat jammer zijn, dan was de aardigheid van r af, het zou
(-½)k bedragen, dus negatief zijn, als k oneven, positief als k
even bleek. Wij zouden dan een ander voorbeeld kiezen.
Maar zooals wij er nu voorstaan is r ontegenzeggelijk in
hooge mate ,,aardig''.
Wat zegt nu van r de intuitionist?
,, . . . . een reëel getal r, waarvoor noch r = 0, noch
r > 0, noch r < 0 geldt.''
Elders:
,,Noemen wij een getal g rationaal, als men twee geheele
rationale getallen p en q kan berekenen, wier quotient gelijk is aan g, dan is
r niet rationaal, doch anderzijds kan de rationaliteit van r onmogelijk
ongerijmd zijn, immers in dat geval zou k onmogelijk kunnen bestaan,
waaruit zou volgen r = 0, dus r rationaal.''
en
,,Zeggen we verder, dat een reëel getal g met nul
vergelijkbaar is, als hetzij g > 0, hetzij g = 0 geldt, dan is r niet met 0
vergeliikbaar, doch anderzijds kan de vergelijkbaarheid van r met nul
onmogelijk ongerijmd zijn, immers dan zou in het bijzonder r > 0 ongerijmd
zijn, waaruit zou volgen r = 0, dus r met nul vergelijkbaar.''
Hiermede is dan door een voorbeeld uitgemaakt, dat uit de
ongerijmdheid van de ongerijmdheid eener stelling niet hare juistheid volgt --
en het principe van het uitgesloten derde is onttroond.
Natuurlijk is ook r, of nemen wij gemakshalve liever het
zeker positieve ½ + r, niet ontwikkelbaar in eene decimale breuk. Was het
toch ontwikkelbaar, dan moest een recept kunnen worden gegeven om de
opvolgende decimalen te berekenen. Maar dit kan reeds niet voor de
eerste decimaal -- begint ½ + r als 0,4 (correspondeerend met r < 0)
of als 0,5 (correspondeerend met r > 0)?
Wat zegt echter van r de vrij-axiomaticus?
Voor zoover ik kon nagaan, deed bij er het zwijgen toe, maar
het is er verre van, dat dit zwijgen als een toestemmen zou mogen worden
opgevat. Wij zullen dus onze woorden moeten leenen aan wat hij van
zijn standpunt zou kunnen of zou willen zeggen.
Vrij-axiomatici echter zijn er velen en velerlei, een
uiterste rechtervleugel
van fanatieke logistici en hartstochtelijke verzamelaars; een
linkervleugel, intuitionisten bijna, die, historisch gesproken, door hunne
[pag. 24] afwijzing van en hunne critiek op het extremisme in het eigen kamp,
den weg bereidden voor het autonome intuitionisme; en verder een breed,
massaal centmm, bovenal gehecht aan de verruiming van arbeidsveld,
die het vrij-axiomatisme bracht.
Laten wij dan een viertal stemmen materialiseeren.
Eerste stem, de objectiveerende:
,,De decimale ontwikkeling van [pi], hoewel ons slechts ten
deele bekend, staat toch vast. Dus is k òf even, òf oneven,
òf bestaat niet en daarmede r òf positief, òf negatief,
òf nul, doch in elk geval rationaal en
met nul vergelijkbaar.
In plaats van te zeggen ,,noch r = 0, noch r > 0, noch r < 0
geldt'', zeg ik ,,noch r > 0, noch r < 0 zijn tot nu toe bewezen, evenmin
r = 0 en van dit lastste is ook niet in te zien, hoe het ooit bewezen
zou kunnen worden''. Er zijn in de wiskunde, en daarbuiten,
wel meer onopgeloste problemen, waarvan niet wordt ingezien, hoe ze
ooit opgelost zouden kunnen worden; de verdienste van r is, deze met
een te hebben vermeerderd''.
Tweede stem, de verzamelgrage:
,,Het oontinuum tusschen -1 en +1 is, met de gebruikelijke
afspraak aangaande de repeteerende 9, de verzameling der decimale ontwikkelingen
met 0 vóór de komma en voorzien van het teeken + of het teeken -.
Wilt gij mij een punt van dat continuum aanwijzen, dan moet gij òf
mij zulk eene ontwikkeling rechtstreeks verschaffen òf andere gegevens,
die volgens de regels der wiskunde met zulk eene ontwikkeling equivalent zijn
en ertoe kunnen worden herleid. Gij doet geen van beide, gij
wijst mij dus geen punt aan.''
Derde stem, de teleurgestelde:
,,Als vrij-axiomaticus stel ik belang in elk onderzoek naar
wat er van de wisknnde overblijft of wat er aan kan worden toegevoegd door
axioma's en postulaten op allerlei wijzen te varieeren. Ik volg u dus
gaarne in uw opzet, inbegrepen de oer-intuitie der wiskunde of tijdsintuitie.
Ik kom met u tot het te samen bestaan op het meetbaar gemaakt continuum van
twee punten, 0 en r. Noem ik 0 het heden, dan
geldt voor r noch dat het heden, noch dat het verleden, noch dat het
toekomst is. Dit nu strijdt met mijne tijds-intuitie, het ie eene nieuwe,
interessante paradox. De poging, de wiskunde paradoxen-vrij te maken,
kan ik dus tot mijn leedwezen niet geslaagd achten: het kwaad, dat
gij de deur uitbant, komt door het venster weder binnen.''
Vierde stem, de radicale, plus royaliste que le roi:
,,Dat ,,enzoovoort'', die ,,aftelbaar oneindige
verzameling'', dat ,,limietbegrip'' zijn mij altijd al verdacht voorgekomen en
het doet mij hartelijk
genoegen, det het wiskundig vernuft daaruit eindelijk eens een fiksche,
klinkende tegenstrijdigheid heeft afgeleid. Laat de wiskunde nu voortaan
[pag. 25] blijven op den eenigen bodem, waarop zij veilig gaat, het natuurlijk
getal en wat daaruit door een eindig aantal manipulaties kan worden
vervaardigd: rationale getallen, wortels van stelsels hoogere
machts-vergelijkingen met rationale coëfficienten, ook de complexe, het
geheele algebraïsche gebied dus en daarmede het geheele algebraïsch
meetkundige, wat niet al. Laten wij gelijkheden, in welker leden
,,transcendente''
functies optreden, eerlijk interpreteeren als wat ze zijn, systemen van
ongelijkheden aangaande algebraïsche functies, zooals ieder, die achter
de coulissen eener logarithmentafel kijkt, wel weet.
De wiskunde werkt met rustige, discrete dingen, er ,,vloeit''
niets en zij heeft geene behoefte noch aan een, te gebrekkig, kunstcontinuum --
wie kan, terwijl een getal continu heet toe te nemen, den vloedgolf van
oneindig vele negens uit het oneindige zien komen aanzwellen om, met
oneindig kleine tusschenpoozen, te breken op de overal dicht gelegen
klippen der decimale schaal in eene branding van schuim van oneindig
vele nullen? -- noch aan het, te vage, intuitieve. En het totaal der
wiskundige dingen, door één mathematicus in zijn leven, of door
de gansche mathesis in haar bestaan, geponeerd, is niet ,,aftelbaar
oneindig'', maar eindig.''
Deze vier stemmen zijn het, gij hoort het, onderling verre
van eens en wat alle vier zeggen zal het oor van den intuitionist of als
zinledig voorbijgaan of als grove mathematische ketterij kwetsen.
Het laatste woord over onze tweede vraag: zijn de onderwerpen
der wiskunde, zooals zij reilt en zeilt, ,,reine'' verzinsels of hebben zij
werkelijkheidswaarde, schijnt dus vooreerst nog niet gesproken.
Gelukkig -- er moet ook iets te spreken overblijven!
Ik heb gezegd.