R. DES - CARTES


MEETKUNST.

---

Aanvullende gegevens:
R. Descartes, Meetkunst, in de vertaling van J.H. Glasemaker, maakte onderdeel uit van Descartes' Proeven der Wys-Begeerte ofte Redenering, editie Amsterdam: Jan ten Hoorn (1692).
Opgenomen zijn pp. 368-373: de inleiding van het werk.
De opmaak van de formules is niet helemaal behouden: \/ is gebruikt bij wijze van wortelteken, en in het origineel was de stok van het wortelteken doorgetrokken waar in de HTML-versie haakjes zijn gebruikt. In het origineel zijn geen voetnoten, maar staat bij diverse woorden het Latijnse origineel in de marge genoteerd. Deze woorden zijn hier tussen accolades tussengevoegd op de plek waar het noot-teken was aangebracht.

---

R. DES - CARTES


MEETKUNST.


EERSTE BOEK.


Van de werkstukken, die men bewerken kan, met
alleenlijk rechte lijnen, en kringen daar
toe te gebruiken.

Lle de {Problemata} der {Geometria} Meetkunst konnen lichtelijk tot zodanige {Termini} merkteekens gebracht worden, dat men daar na niets anders behoeft om hen te {Construere} bewerken, dan de langte van enige rechte lijnen te kennen.

I. Hoe de rekening van de Rekenkunst met de werking van de Meetkunst overeenkoomt.
En gelijk de gehele {Arithmetica} Rekenkunst alleenlijk uit vier of vijf {Operationes} bewerkingen bestaat, te weten {Additio} d'Optelling, {Substractio} d'Aftrekking, {Multiplicatio} Vermenigvuldiging, {Divisio} Verdeling en {Extractio radicum} d'Uittrekking der wortelen, die voor zeker slach van {Divisio} Verdeling genomen kan worden; zo heeft men ook in de {Geometria} Meetkunst niets anders te doen, aangaande de lijnen die men zoekt, om hen te bereiden, op dat zy bekent zouden worden, dan anderen daar by te voegen, of daar van af te trekken: of, als men een heeft, die ik {Unitas} d'eenheit zal noemen, om haar zo veel beter tot {Numeri} getallen te {Referre} betrekken, en die gemenelijk naar believen genomen kan worden, en daar na noch twee anderen, daar toe een vierde te vinden, die tot d'een van deze beide is, gelijk d'ander tot d'eenheit; het welk even hetzelfde is, als de {Multiplicatio} vermenigvuldiging: of daar uit een vierde te vinden, die tot d'een van deze beide is, gelijk {Unitas} d'eenheit tot d'ander, 't welk het zelfde, als de {Divisio} Verdeling is: of eindelijk een of twee, of meer {Linea media proportionalia} middelëvenredige lijnen tusschen d'eenheit en enige andere lijn te vinden; en dit is even 't zelfde, als de {Radix quadrata aut cubica} vierkante of teerlingsche wortel, en zo voort, uit te trekken. En ik zal niet schromen deze {Termini} benamingen van de {Arithmetica} Rekenkunst in de {Geometria} Meetkunst in te voeren, om zo veel beter verstaan te worden. [p. 368]

II. De Vermenigvuldiging.



Laat, tot een voorbeelt, AB {Unitas} d'eenheit zijn, en dat men BD met BC {Multiplicare} vermenigvuldigen moet; zoo behoef ik niets anders te doen, als de punten A en C te zamen te voegen, daar na DE {Parallela evenwijdig met CA te trekken; en BE zal {Productum d'uitkomst van deze {Multiplicatio Vermenigvuldiging zijn.

III. De Verdeling.
Of indien men BE door BD moet {Dividere} delen, zo zal ik, de punten E en D te zamen gevoegt hebbende, AC {Parallela} evenwijdig met DE trekken; en BC zal {Quotiens} 't hoeveelde van deze {Divisio} verdeeling wezen.

IV. {Extractia} D'uittrekking van de vierkante wortel.



Of indien men uit GH de {Radix Quadrata} vierkante wortel moet {Extrahere} trekken, zo zal ik daar lijnrecht FG, die {Unitas} d'eenheit is, byvoegen, en, FH in twee gelijke delen in 't punt K delende, uit het {Centrum} middelpunt K de {Circulum} kring FIH beschrijven; en als ik daar na uit het punt G een rechte lijn opwaarts tot aan I rechthoekig op FH trek, zo zal GI de gezochte {Radix} wortel zijn. Ik zeg hier niets van de {Radix cubica} teerlingsche wortel, noch van d'anderen, om dat ik hier na bequamelijker daar af spreken zal.

V. Hoe men {Nota} tekenen in de {Geometria} Meetkunst kan gebruiken
Doch men behoeft dikwijls niet dus deze lijnen op 't papier te trekken; maar 't is genoech hen door enige letters, yder door een enige, aan te wijzen. Gelijk, om de lijn BD bij GH te voegen, zo noem ik d'een a en d'ander b, en schrijf a + b, en a - b, [pag. 369] om b van a af te trekken; en ab, om d'een met d'ander te {Multiplicare} vermenigvuldigen; en ^a/_b, om a door b te {Dividere} deelen; en aa of a², om a met zichzelf te vermenigvuldigen; en a³, om dezelfde noch eens met a te vermenigvuldigen, en dus tot aan 't oneindig; en \/(a² + b²), om de {Radix Quadrata} vierkante wortel uit a² + b² te trekken; en \/(C. a³ - b³ + abb), om de {Radix cubica} teerlingsche wortel uit a³ - b³ + abb te trekken, en dus met d'anderen.
Hier staat aan te merken dat ik door a², of b³, of diergelijken, gemenelijk niets anders bevat, dan geheel {Linea simplices} enkelde lijnen, schoon ik, om my te dienen van de namen, die in de {Algebra} Stelreegel gebruikelijk zijn, hen {Quadrata} Vierkanten, of {Cubi} Teerlingen, en zo voort, noem.
Men heeft ook aan te merken dat alle de delen van een zelfde lijn gemenelijk door even veel {Dimensiones} afmeetingen uitgedrukt moeten worden, als {Unitas} d'eenheit niet in {Questio} 't voorstel bepaalt is, gelijk hier a³ heeft zo veel {Dimensiones afmeetingen, als abb, of b³, uit de welken de lijn, die ik \/(C. a³ - b³ + abb) genoemt heb, samengevoegt is: maar dat het niet desgelijks is, als {Unitas} d'eenheit bepaalt is, om dat zy overäl, daar al te veel, of al te weinig afmeetingen zijn, {Subintelligere} onderverstaan kan worden; gelijk, indien men de {Radix cubica} teerlingsche wortel uit aabb - b moet trekken, zo moet men achten dat de hoegrootheid aabb eenmaal door {Unitas} d'eenheit gedeelt is, en dat d'andere hoegrootheid b tweemaal door de zelfde eenheit vermenigvuldigt is.
Voorts, op dat yder lichtelijk aan de namen dezer lijnen zou gedenken, zo moet men altijt een bezondere tafel maken, naar dat zy gestelt of verandert worden, met, tot een voorbeelt, dus te schrijven:
AB 1, dat is, AB is gelijk met 1, od d'eenheit.
GH a
BD b, en zo voort.

VI. Hoe men tot de {Æquationes} vergelijkingen moet komen, die dienstig zijn om de werkstukken op te lossen.
Als men dan enig {Problema} werkstuk wil {Resolvere} oplossen, zo moet men dat in 't begin als gemaakt aanmerken, en namen aan alle de lijnen geven, die nootzakelijk schijnen om 't zelfde te bewerken, zo wel aan de genen, die onbekent zijn, als aan d'anderen. Daar na moet men, zonder enig onderscheit tusschen deze bekende en onbekende lijnen aan te merken, de zwarigheit deurlopen, en dit [pag. 370] naar d'ordening, die naturelijkst van allen toont op welke wijze zy onderling van malkander afhangen, tot dat men een weg gevonden heeft om een zelfde {Quantitas} hoegrootheit op twee {Modi} wijzen uit te drukken, 't welk men een {Æquatio} vergelijking noemt; want de {Termini} merkteekenen van d'een dezen twee wijzen zijn met de genen van d'ander gelijk. En men moet zo veel van zodanige vergelijkingen vinden, als men lijnen, die onbekent waren, onderstelt heeft. Of, indien men niet zo veel van hen vind, en echter niets van 't geen, dat tot het {Questio} voorstel verëischt word, nalaat, zo is dit een bewijs van dat het niet volkomentlijk bepaalt is. En men mag dan naar believen bekende lijnen nemen, in plaats van alle d'onbekende, met de welken geen {Æquatio} vergelijking overëenkomt. En indien daarna noch veel overblijven, zo moet men bij ordening yder der overgeblevene vergelijkingen gebruiken, 't zy met haar alleen aan te merken, of met d'anderen te vergelijken, om yder van deze onbekende lijnen te verklaren; en dus, met hen te {Reducere} herleiden, maken dat er niet meer dan een enige overblijft, die met enige andere bekende gelijk is, of welks {Quadratum} vierkant, of {Cubus} teerling, of {Quadrato-quadratum} vierkantsvierkant, of sudre-solidum, of {Quadrato-cubum} teerlingsvierkant, en zo voort, met het geen gelijk is, 't welk uit {Additio} d'optelling, of {Substractio} d'aftrekking van twee of meer andere {Quantitates} hoegrootheden voorkomt, daar af d'een bekent is, en d'anderen te zamen gezet zijn van enige {Media proportionalis} middelëvenredigen tusschen {Unitas} d'eenheit en dit {Quadratum} vierkant, of deze {Cubus} teerling, of dit {Quadrato-quadratum} vierkantsvierkant, en zo voort, door andere bekenden {Multiplicatum} vermenigvuldigt; 't welk ik in dezer voegen aanwijs:
z b, of
z² -az + bb, of
z³ +az² + bbz -c³, of
z⁴ az³ + b²z² - c³z + d⁴, en zo voort.

Dat is, z, die ik voor d'onbekende {Quantitas} hoegrootheid neem, is gelijk met b, of het {Quadratum} vierkant van z is gelijk met het vierkant van b, min a, met z vermenigvuldigt; of de {Cubus} teerling van z is gelijk met a, vermenigvuldigt met het vierkant van z, meerder het vierkant van b, vermenigvuldigt met z, minder de teerling van a; en dus met d'anderen.
En men kan in dezer voegen, altijt alle d'onbekende {Quantitates} hoegrootheden tot een enige brengen, als het {Problema} werkstuk door {Circuli} kringen en rechte lijnen gemaakt kan worden, of ook door {Sectiones conica} kegelsche snijdingen, of door enige andere lijn, die niet dan van een of twe {Gradius} trappen meer t'zamengezet is.
Maar ik wil mij niet verletten met dit naauwkeuriglijker te verklaren, om dat ik u van 't vermaak, van zulks uit u zelf te leren, en van de nuttigheit van uw geest te beschaven, met u daar in t' oeffenen, ('t welk naar mijn oordeel, 't voornaamste is, dat men uit deze wetenschap trekken kan) zou beroven; en ook om dat ik hier in niets zo zwaar bespeur, 't welk van de genen, die een weinig in de gemene {Geometria} Meetkunst, en in de {Algebra.} Stelreegel geoeffent zijn, en die op al 't geen acht nemen, t welk in deze {Tractatus} Verhandeling staat, niet gevonden kan worden.
Ik zal dieshalven my hier vernoegen met u te verwittigen dat, als men in 't herleiden van deze {Æquationes} vergelijkingen niet nalaat om alle de {Divisiones} verdelingen te gebruiken, die mogelijk zijn, men zonder twijffel {Termini simplissimi} d'enkelste merkteekens, tot de welke het {Questio} voorstel gebracht kan worden, zal hebben.

VII. Welke de platte {Problemata} werk stukken zijn; en hoe zy {Resolvere} opgelost worden.
En indien het door de de gemene {Geometria} Meetkunst opgelost kan worden, dat is, alleenlijk met {Lineæ rectæ & Circulares} rechte en kringsche lijnen, op een {Superficies planæ} platte vlakte getrokken, te gebruiken, zo zal, als de leste {Æquatia} vergelijking geheellijk herleid is, ten hoogsten niet meer overblijven, dan een onbekent {Quadratum} vierkant, met het geen gelijk, 't welk van {Additio} d'Optelling of {Substractio} d'Aftrekking van des zelfs {Radix} wortel, door enige bekende {Quantitas} hoegrootheit {Multiplicare} vermenigvuldigt, die ook bekent is, voortkoomt.



En dan zal deze {Radicx} wortel, of onbekende lijn, lichtelijk gevonden worden. Want indien ik, tot een voorbeelt z² az + bb heb, zo maak ik de {Triangulum rectangulum} rechthoekige driehoek NLM, welks zijde LM met b, de {Radix quadrata} vierkante wortel van de bekende grootheid bb, gelijk is, en d'andere zijde LN gelijk met ¹/₂a, de helft van d'andere bekende {Quantitas} hoegrootheit, die door z, dewelk ik onderstel d'onbekende [pag. 372] lijn te wezen, vermenigvuldigt is en indien ik daar na MN, de {Basis} gront van deze driehoek, tot aan O verlang, in voegen dat NO met NL gelijk is, zo zal de gehele OM z, de gezochte lijn, wezen. En deze wordt dus uitgedrukt: z ¹/₂a + \/(¹/₄aa + bb).
Maar indien ik yy -ay + bb heb, en dat y de {Quantitas} hoegrootheit is, die men vinden moet, zo maak ik weêr de zelfde {Triangulus rectangulus} rechthoekige driehoek NLM; en ik trek NP, die gelijk met NL is, van zijn {Basis} gront MN af, en d'overige PM zal y, de gezochte {Radix} wortel, zijn: in voegen dat ik y -¹/₂a + \/(¹/₄aa + bb) heb. Desgelijks ook, indien ik x⁴ -ax² + b² had, zo zou PM x² wezen; en ik zou y \/( -¹/₂a + \/(¹/₄aa + bb) ) hebben; en dus met d'anderen.



Eindelijk, indien ik z az - bb heb, zo maak ik NL met ¹/₂a gelijk, en LM met b gelijk, even als te voren. Daar na, in plaats van de punten M en N te zamen te voegen, trek ik MQR {Parallela} gelijkwijdig met LN; en als ik uit het {Centrum} middelpunt N deur L een {Circulus} kring, die de gezeide lijn in de punten Q en R deursnijd, getrokken heb, zo zal de gezochte lijn z MQ, of MR wezen; want in dit geval word zy op twee wijzen uitgedrukt, te weten, z ¹/₂a + \/(¹/₄aa - bb) en z ¹/₂a - \/(¹/₄aa - bb).
En indien de {Circulus} kring, haar {Centrum} middelpunt in 't punt N hebbende, en deur 't punt L deurgaande, de rechte lijn MQR niet deursnijd, noch raakt, zo zal 'er geen {Radix} wortel in de {Æquatio} vergelijking wezen; in voegen dat men daar uit verzekeren kan dat de bewerking van {Problema propositum} 't voorgestelt werkstuk onmogelijk is. [pag. 373]
Voorts, deze zelfde {Radices} wortels konnen door ontellijke andere middelen gevonden worden; en ik heb alleenlijk dezen, als zeer {Simplices} enkelt zijnde, willen stellen, om te betonen dat men alle de {Problemata} werkstukken van de gemene {Geometria} Meetkunst kan bewerken, zonder iets anders te doen, als het weinige, 't welk in de vier {Figura} afbeeldingen, die ik verklaart heb, begrepen is. En ik geloof niet dat d'Ouden daar op gemerkt hebben; want zy zouden anders niet de moeite gedaan hebben, van zo veel grote boeken daar af te schrijven, in de welken {Ordo} d'ordening van hun {Propositiones} voorstellingen alleen aan ons bekent maken dat zy niet de rechte middel, om hen alle te vinden, hebben gehad, maar dat zy alleenlijk de genen, die hun voorquamen, vergadert hebben.