EEN EN ANDER OVER DE DEFINITIES
DOOR
T. EHRENFEST-AFANASSJEEWA
Aanvullende gegevens:
Artikel verschenen in Euclides 11 (1934/35), pp.
256-273. Geen voetnoten.
Op p. 260 wordt in het origineel gebruik gemaakt van de Griekse letters
alpha, bêta en gamma, die in de HTML-versie vervangen zijn door
hun respectieve cursieve latijnse pendanten. Op p. 263 is in de
HTML-versie de "A" en de "S" met het streepje erboven vervangen door
een A, respectievelijk S.
1. Menige leeraar zal wel het volgende ondervonden
hebben: men moet de leerlingen in een nieuw hoofdstuk van de exacte
wetenschappen introduceeren; er valt allereerst een reeks fundamenteele
begrippen te verklaren, en natuurlijk wil men dit zoo precies
mogelijk doen.
Spoedig bemerkt men, dat men zich met geen van de,
in de schoolboeken
voorkomende, definities vereenigen kan: alle laten zij iets
te wenschen over, alle beroepen zij zich op iets, dat ongedefinieerd
blijft.
,,De massa van een lichaam is de hoeveelheid
stof die het bevat''
-- zoo iets zou misschien een eenigszins bepaalde inhoud hebben,
als alle lichamen in elk opzicht homogeen waren; men zou dan
toegeven, dat een tweemaal zoo groot lichaam ook tweemaal zooveel
,,hoeveelheid stof'' bevatte. Maar wat wordt met ,,gelijke hoeveelheid stof''
in twee heterogene lichamen bedoeld?
Als men zich op de vergelijking ,,kracht is gelijk massa
maal versnelling'' beroepen wil, moet men de begrippen ,,versnelling'' en
,,kracht'' verklaren.
,,Een rechte is de kortste afstand tusschen
twee punten'' -- weet
men dan reeds, hoe men afstanden langs willekeurige lijnen met
elkaar moet vergelijken? Wat is een ,,afstand''?
,,Congruente figuren zijn figuren, die van elkaar niet te
onderscheiden
zijn'' (een dergelijke definitie heb ik werkelijk in een van
de laatst uitgekomen geometrieboeken gevonden) -- hoe moet men
echter twee figuren überhaupt met elkaar vergelijken?
Als men zelf probeert het beter te doen, begrijpt men eerst recht,
hoe hopeloos de zaak is. Inderdaad: men wil een goede definitie
geven van de vorm ,,een A is een B, die de eigenschap bezit een C
[pag. 257]
te zijn''. Maar dan moeten klaarblijkelijk eerst de begrippen B en C
gedefinieerd zijn, hetgeen aantoont dat het een zaak zonder eind is.
Men ziet in, dat men er principieel op aangewezen is om
een --
zij het ook heel kleine -- groep van begrippen als ,,fundamenteele
begrippen'' aan te nemen, die men niet volgens het bovenstaande
onderverdeelings-schema kan definieeren; alle andere kunnen dan
tot deze fundamenteele begrippen teruggebracht worden; dat zijn
dan ,,afgeleide'' begrippen.
Hoe moeten echter de grondbegrippen zelf
geïntroduceerd
worden? -- De laatste tijd beginnen wel de quasi-definities van de
boven-geciteerde soort uit de school- en leerboeken te verdwijnen.
In menig boek staat er dan ongeveer dit: ,,wat A, B, C,.. .. zijn,
weet iedereen uit eigen ervaring''. Bijgevolg schijnt de geheele
strenge wetenschap, waarin men (zooals b.v. in de geometrie) terwille
van de grootst mogelijke strengheid zelfs volkomen evidente
stellingen bewijst, opgebouwd te zijn op het persoonlijke ongecontroleerde
inzicht van den enkeling, dat hij uit zijn persoonlijke
ervaring gewonnen heeft.
Is dat niet eenigszins riskant? Bestaan er twee
menschen, die
ieder woord, dat zij gebruiken, -- zonder een speciale afspraak --
precies in dezelfde beteekenis gebruiken?
2. Twee zeer verschillende vragen zijn er:
a. hoe moet men bereiken,
dat een nieuw woord voor een beginneling een voldoende
bepaalde en levende inhoud krijgt, opdat hij het bij de bestudeering
van het nieuwe vak juist kan gebruiken, en:
b. wat omvat het betreffende
begrip bij nadere beschouwing voor dengene, die op het
gegeven gebied reeds thuis is en nu eens alles, wat hij daarover
weet, in een helder, logisch, precies beeld wil samenvatten.
Wat hier volgt, heeft eigenlijk betrekking op
de tweede vraag;
toch geloof ik, dat het daarin verkregen inzicht ook bij het onderricht,
zij het ook indirect, van dienst kan zijn.
Zelfs onder de eminente mathematici zijn er, die het
streven
naar de logische strengheid in de uitbeelding van hun vak zeer
weinig apprecieeren, daar zij het voor een bezigheid aanzien, die
onbelangrijk is voor de zakelijke uitbreiding van ons weten, voor een
soort naleven van de ,,goede manieren'', voor zoo iets als het
voorschrift om visch zonder mes en asperges met de vingers te eten.
Een dergelijk gedrag kan wel door de traditioneele
manier van
[pag. 258]
schoolonderricht gesuggereerd zijn: aan de ééne kant wordt er in
de geometrie wèl de nadruk op logische strengheid gelegd en
dàt
op een oogenblik, dat de leerlingen de juiste motieven daarvoor
niet kunnen meevoelen; aan de andere kant worden de veel gecompliceerder
problemen van de physica en van de overige vakken
zonder de minste logische scrupules behandeld, en nooit leidt dit tot
eenige merkbare katastrophe.
Ondertusschen is een afwijzende beoordeeling van de
logische
onderzoekingen zeer eenzijdig. De analyse van de grondslagen van
de geometrie helpt inderdaad niet mee tot het ontdekken van nieuwe
stellingen, maar het is niet waar, dat zij niets tot de uitbreiding
van onze kennis zou hebben bijgedragen.
Tot onze kennis der natuur heeft zij wel
dit bijgedragen, dat wij
thans andere mogelijkheden zien om ons de ruimte te denken, dan
door de geometrie van Euclides voorgeschreven wordt, en dit
effent de weg voor de nieuwe mechanische en kosmologische opvattingen,
die door Einstein's gravitatie-theorie zijn ingevoerd.
Onze methodologische inzichten heeft zij in
de eerste plaats in
dit opzicht verder gebracht, dat nu het begrip ,,axioma'' gepreciseerd
is, dat het probleem van het bewijzen van de logische
onafhankelijkheid van de axioma's op de voorgrond is geplaatst en dat
de methoden om dit op te lossen uitgewerkt zijn. Men vindt thans
in de geometrie een voorbeeld bij uitnemendheid van een overzichtelijke
uiteenzetting van een gebied van onderzoek, waarin
iedere volgende hypothese, die uit het voorgaande niet logisch afgeleid kan
worden, duidelijk herkend wordt, en de vertrouwdheid met
een dergelijke manier van voorstellen is werkelijk ook op ieder
ander gebied niet overbodig, in de eerste plaats voor iemand, die
op de hoogte wil komen van een nieuwe gecompliceerde theorie.
Tenslotte hangen ook de kennistheoretische
vragen ten nauwste
samen met de logische analyse van de grondslagen.
Naar het mij toeschijnt hoeven dergelijke
onderzoekingen niet
voor ieder scheppend wetenschappelijk mensch van directe
toepassing te zijn, de leeraar in het betreffende vak mag deze kennis
echter in geen geval ontberen. Hij moet weten, welke omstandigheden de
aanleiding zijn geweest voor die onderzoekingen en wat hun uitkomsten zijn.
Dan zou hij kunnen overwegen òf en wanneer de
motieven van de hierop betrekking hebbende probleem-stelling aan
de leerlingen onder oogen gebracht kunnen worden; dan zou hij
[pag. 259]
met grootere zekerheid de uiteenzetting van de stof in de schoolboeken
kunnen beoordeelen en de schijnheilige strengheid van de
ware kunnen onderscheiden. Maar tevens zou hem de logische
-- zoo formeele en zoo ,,geleerde'' -- analyse menige wenk geven
voor het begrijpen van de psychologische moeilijkheden van de
leerlingen, want meestal struikelen de leerlingen juist op dat punt,
waar de zaak den leeraar zelf weliswaar bekend is, maar logisch
niet geheel duidelijk.
Daarom schijnt het mij niet overbodig te zijn, als ik hier
het hierboven opgeworpen probleem van de definitie van de grondbegrippen wat
nader bespreek, en wel aan de hand van de geometrie.
3. Omdat de definities voor de uitbreiding zelf van de
zakelijke
geometrische kennis onbeduidend waren, werd haar herziening in
de geometrie steeds uitgesteld, hoewel men de ontoereikendheid
van de definities bij Euclides zelf reeds lang bemerkt had. De
vraag werd urgent, toen men met het andere logische probleem
-- met de onbewijsbaarheid van het parallelen-axioma -- klaar
kwam en nu een zoo volledig mogelijk systeem van grondslagen
voor de Euclidische geometrie wenschte samen te stellen.
Hoe introduceeren nu de laatste onderzoekers de
grondbegrippen van de geometrie?
De zuiverste positie vinden wij daartegenover
ingenomen door
D. Hilbert in ,,Grundlagen der Geometrie.'' Op het eerste
gezicht kan deze zeer verrassend schijnen: Hilbert stelt axioma's
op, waarin de woorden ,,punt'', ,,rechte'', ,,vlak'', ,,bij elkaar
hooren'', ,,liggen tusschen'', ,,congruent zijn'' op bepaalde verschillende
manieren gedeclineerd en geconjugeerd worden, en .... zegt eenvoudig niets
over de beteekenis van deze termen; wat men met hen
bedoelt, moet juist uit deze axioma's blijken!
Dus: niet definities en axioma's, maar de axioma's
alleen moeten
nu als de volledige grondslag van een systeem dienen.
Bij nadere beschouwing is echter deze weg tot het
begrijpen van
de woorden niet zoo nieuw: op precies dezelfde manier hebben wij
voor een groot deel onze moedertaal leeren verstaan en gebruiken,
alleen gebeurde dat onbewust en daarom niet altijd met even goed
resultaat.
Inderdaad, hoe leert men spreken?
[pag. 260]
Eerste methode: de eerste woorden worden met
bepaalde zintuigelijke waarnemingen geassocieerd; men wijst het kind op dingen
en situaties, en dit gaat gepaard met overeenkomstige woorden;
zoo leert het kind zulke woorden als ,,melk'', ,,bal'', ,,tafel'', ,,op''
(de tafel), ,,onder (de tafel), ,,loopen'', ,,blij zijn'' enz.
Tweede methode: een reeks andere woorden wordt
volgens het
schema ,,A is een B, die een C is'', verklaard.
Derde methode: hoeveel woorden raadt het kind niet,
zonder dat iemand het hem speciaal uitlegt, eenvoudig uit hun gebruik
in het een of andere gesprek! Sommige daarvan kunnen ook nauwelijks anders
verklaard worden: ,,maar'', ,,in zooverre als'' ....
Op deze laatste methode is men ook aangewezen als
men een uitdrukking uit een vreemde taal, die niet precies vertaald kan worden,
aan iemand wil verklaren: men geeft verschillende zinnen, waarin zij
voorkomt, en uit de rol, die zij in de bouw van die zinnen speelt,
maakt men op, wat men met haar wil uitdrukken.
Om beter te begrijpen, wat met dit definieeren door
axioma's bedoeld wordt, vervange men de al te bekende woorden ,,punt'',
,,rechte'',.....,: ,,congruent''..... resp. door de voorloopig
nietszeggende teekens: A, B,....; a, b, c ...., en schrijve daarmee de
axioma's van Hilbert op. Men krijgt dan stellingen van ongeveer
de volgende gedaante:
I. Bij elke twee A (A1 en
A2) is er steeds een B, die tot elk
der beide A in de relatie a staat.
I,2. Bij elke twee A (A1 en
A2) is er niet meer dan één B, die tot
de beide A in de relatie a staat enz..
III,1. Als A1 en A2
in de relatie a tot een B1 staan, en verder
A3
in de relatie a hetzij tot dezelfde B, hetzij tot een andere B
(B2)
staat, dan kan men steeds een A (A4) vinden, die in de relatie
tot dezelfde B, als A4 staat, zoodat D
(A1A2) in de relatie c tot D
(A3A4) staat, enz. enz.
En laat men nu eens probeeren, terwijl men deze
stellingen tesamen als grondslag neemt, uit de verschillende volgende in
dezelfde teekens geschrevene speciale veronderstellingen verdere stellingen
af te leiden.
Vervangt men de teekens A,.... c weer door
de overeenkomstige woorden, dan zal men volkomen juist de stellingen van de
ruimteleer krijgen. [pag. 261]
Is het echter makkelijk zonder deze omzetting uit te
maken, om welke dingen en relaties het gaat?
4. Natuurlijk zal het bij niemand opkomen om
dit soort definities op school in te voeren. Men zal hen te moeilijk,
,,te abstract voor den beginneling''
vinden. Zij zijn echter nog erger dan dat;
zij zijn namelijk werkelijk te abstract, d.w.z. te algemeen: zij zijn
geheel niet toereikend om die begrippen in vast te leggen, die wij
werkelijk aan deze woorden verbinden, en aan onze leerlingen
moeten bijbrengen!
Uit deze axioma's zelf kan men niet eens opmaken, of
het gaat over de ruimteleer, of misschien over erfelijkheidswetten of over
handelsverdragen in het een of andere nieuwe land, of over nog iets
anders. Zelfs als men zich tot zuiver geometrische voorwerpen wil
beperken, vindt men daarbij niet slechts een enkel systeem van
dingen, die resp. als ,,punten'', ,,rechten'' en ,,vlakken'' in de
beteekenis van deze axioma's kunnen dienen, maar een oneindige
hoeveelheid van dergelijke systemen. En dit ligt aan het feit, dat door
deze axioma's niet alle kenmerken van de ons bekende punten,
rechten en vlakken worden vastgelegd, maar slechts een deel ervan,
namelijk hun wederzijdsche relaties.
Een eenvoudig voorbeeld ter illustratie van deze stand
van zaken levert het volgende systeem:
Men stelle zich voor alle cirkels, die door een en
hetzelfde punt O
gaan, waarbij echter het punt O zelf niet tot het systeem gerekend
wordt (,,uitgestoken''!); in plaats van met volledige cirkels hebben
wij dus met niet gesloten (,,open'') lijnen te doen. De rechten, die
door O gaan, moeten daarbij als cirkels met oneindig groote straal
beschouwd worden; ook hun moet het punt O ontbreken, daarentegen moeten
hun beide deelen in het oneindige door een gemeenschappelijk ,,oneindig ver''
punt tot een enkele, in het punt O open
zijnde lijn, vereenigd worden.
Een dergelijk systeem van lijnen krijgen wij als
afbeelding van
alle rechten van de ruimte, als wij de bekende ,,transformatie door
reciproke stralen'' aan een bol met het middelpunt O op de ruimte
toepassen.
Daarbij gaan twee elkaar snijdende rechten in twee
elkaar snijdende cirkels over, en deze hebben -- let wel -- slechts
één snijpunt,
daar het tweede altijd het punt O is, dat weggedacht wordt; twee
[pag. 262]
evenwijdige lijnen gaan in twee cirkels over, die elkaar in het punt
O raken, -- die dus in ons systeem geen punt gemeen hebben;
vlakken gaan in bollen over, die klaarblijkelijk alle door het punt
O gaan.
Laten wij nu afspreken om iedere cirkelboog die
lengtemaat toe
te kennen, die de door hem afgebeelde lijn (in de een of andere
bepaalde eenheid uitgedrukt) bezit, en om onder een ,,hoek'' tusschen twee
snijdende cirkels de hoek tusschen hun raaklijnen in
het snijpunt te verstaan. (Deze hoek is, zooals men weet, gelijk
aan de hoek tusschen de afgebeelde rechten).
Dan krijgen wij een systeem van objecten, die aan alle
axioma's van Hilbert voldoen, en waarin als punten weliswaar de
gewone punten optreden, maar waarin de rol van de rechten door cirkels en
de rol van de vlakken door bollen wordt vervuld, en waarin als
,,congruente lijnen'' en ,,congruente driehoeken'' kromlijnige figuren
dienst doen, die bovendien in de gewone beteekenis heelemaal niet
congruent zijn. Maar ook iedere andere punt-transformatie, waarbij
continue lijnen in continue overgaan, levert, bij een goede afspraak
omtrent de maatgetallen van lijnen en hoeken, een systeem van
dingen, die voldoen aan dezelfde axioma's.
Men zou ook andere systemen kunnen aanhalen,
waarbij de rol
van de vlakken, rechten en punten niet door vlakken, resp. lijnen en
punten, maar door andere geometrische of arithmetische objecten
wordt vervuld.
5. Wij komen zoo tot de volgende inzichten:
De grondbegrippen van een wetenschap kunnen door
dat systeem
van axioma's gedefinieerd worden, waaruit alle verdere stellingen
van deze wetenschap als logische gevolgtrekkingen kunnen worden
afgeleid.
Het systeem van de aan deze grondbegrippen
beantwoordende
dingen wordt daarbij slechts in zooverre gedefinieerd, als daardoor
hun onderlinge relaties worden vastgelegd.
Deze methode van definieeren is in het algemeen niet
ondubbelzinnig: het is mogelijk dat er meer dan één
systeem van dingen is,
waarvan de relaties door stellingen van dezelfde formeele structuur
beschreven kunnen worden, d.w.z.: één en hetzelfde
systeem van axioma's kan meer dan één
,,representant'' bezitten.
6. Zoo komen echter twee vragen op: wat hebben wij
dan eigenlijk
[pag. 263]
voor de ruimteleer gewonnen met de definities van Hilbert,
als wij toch niet weten, aan welke dingen wij daarbij moeten denken?
en: moet men het streven naar een nader preciseeren van de
begrippen, die ons interesseeren, werkelijk opgeven?
Wel, voor het doel, dat Hilbert voor oogen had,
behoeven de
objecten van zijn onderzoekingen ook niet nader dan zoo gedefinieerd te
worden. Zijn doel was immers: de logische structuur van
de ruimteleer, en wel van de ruimteleer van Euclides, zoo
precies mogelijk na te gaan. Als daarbij gebleken is, dat een
geometrie-boek op meer dan één systeem van objecten kan
toegepast worden, dan mag men daarvoor den onderzoeker niet
verantwoordelijk stellen; overigens is dit ook heusch geen bedroevend
resultaat -- integendeel!
Uit deze stand van zaken komt echter nog een bijzonder
voordeel
voor het onderzoek van het systeem van axioma's zelf voort. Een
essentieel punt van een dergelijk onderzoek is namelijk het bewijs,
dat ieder verder axioma A, dat men aan de reeds geaccepteerde n
axioma's toevoegt, een werkelijk axioma is, d.w.z. een stelling, die
aan twee voorwaarden voldoet: ten eerste mag zij niet in strijd zijn
met de eerste n axoma's; ten tweede mag zij niet uit deze volgen
-- hetgeen inhoudt, dat haar ontkenning, de stelling A, ook niet
in tegenspraak is met dezelfde n eerste axioma's.
Evenals met een alibi is het ook hier alleen dan
overtuigend, als
men een positief bewijs voor deze verhoudingen geeft. En dan
komt het bestaan van meerdere representanten, van een systeem
van axioma's ons te hulp: van ieder van de beide systemen van
axioma's: van het systeem S, dat de stelling A, en van het systeem
S, dat inplaats daarvan de stelling A bevat, zet men elk
een representant neer, die zoo goed te overzien is (en die onafhankelijk van
het systeem van dingen, dat nu onderzocht moet worden, bestudeerd
is) dat men aan zijn bestaan en derhalve aan zijn betrouwbaarheid
niet kan twijfelen. Zoo krijgt men de zekerheid dat de stelling A
logisch onafhankelijk is van de eerste n axioma's.
7. Al hebben wij ingezien, dat voor de logische
fundeering van
de geometrie het definieeren van de grondslagen door het systeem
van axioma's van Hilbert voldoende is, toch kunnen wij ons er
niet mee tevreden stellen, als het gaat om het practische gebruik
van de geometrie.
[pag. 264]
Dat systeem van axioma's is weliswaar een volledige
basis voor
alle verdere geometrische stellingen, maar als beschrijving van de
karakteristieke eigenschappen van de ruimte, waarin wij leven, is
het niet volledig: als men zegt, dat de lichtstraal ,,rechtlijnig'' is,
dat een blad papier langs een ,,rechte'' lijn gevouwen kan worden,
dan bedoelt men daarmee een zeer bepaalde figuur, maar in het
systeem van axioma's van Hilbert is geen aanknoopingspunt
aanwezig, om deze onder de oneindig vele denkbare representanten
van de,,rechte'' op te sporen.
Ondertusschen is de belangstelling van de menschen
voor de stellingen van de geometrie slechts daarom zoo groot, omdat een
zekere representant van de geometrie een zoo gewichtige rol in de
natuurverschijnselen speelt -- en dien moeten wij hebben!
8. Dat wij een rechte op het eerste gezicht van iedere
andere lijn kunnen onderscheiden, ligt blijkbaar aan het feit, dat wij specifieke
zintuigelijke indrukken van haar krijgen, m.a.w. aan haar
betrekking tot ons lichaam. Als wij echter de kenmerken van de
figuren in woorden willen beschrijven, moeten wij het subjectieve
element elimineeren en door objectieve betrekkingen tusschen ruimtelijke en
andere physische kenmerken vervangen.
Daarbij moeten wij ons van een serie woorden
bedienen, die aan
de natuurkunde ontleend zijn, maar die nog nooit zeer streng
gedefinieerd zijn. Nu kan echter nauwelijks eenige duidelijke definitie van een
natuurkundig begrip zonder er geometrische begrippen bij te halen tot stand
komen -- men moet niet uit 't oog verliezen, dat al het physische gebeuren zich
in de ruimte afspeelt
(niet zonder reden loopen ook alle natuurkundige metingen -- zelfs
tijdmetingen -- op het aflezen van geometrische maten uit!) De
definieering van de natuurkundige begrippen die wij noodig hebben,
zou dus niet aan die van de geometrische begrippen vooraf kunnen
gaan. Er blijft dus niets anders over dan een uitgebreider systeem
van axioma's op te stellen, waarin naast de geometrische ook de
noodige natuurkundige termen voorkomen, die dan juist door dit
systeem van axioma's mede gedefinieerd zijn.
Men zou op dit oogenblik niet mogen zeggen of een
dergelijk
systeem wel uit een eindig aantal axioma's zou bestaan. Misschien
wel. Maar ook dan nog zou het een reusachtig werk zijn, dat tot
[pag. 265]
nu toe nog door niemand volbracht is, en zeker is het niet het doel
van dit korte artikel om zoo iets op te bouwen.
Toch zou men nu reeds een bescheidener probleem
kunnen aanpakken, dat toch een zekere vooruitgang in het duidelijk maken van
onze begrippen zou beteekenen: de grenzen van het ongedefinieerde
hierdoor wat te verschuiven, dat men tenminste eenige natuurkundige
begrippen, die het dichtst bij de geometrie staan, precieser zou
analyseeren. Dit zal in hetgeen volgt, geprobeerd worden. Wij
willen de physische representanten van de begrippen ,,congruentie''
en ,,rechte'' onderzoeken.
9. Als een voorwerp zich van ons verwijdert, zien wij
het kleiner
worden, maar wij zijn overtuigd, dat het ,,in werkelijkheid''
,,hetzelfde'' blijft.
Daarmee wordt de gangbare opvatting uitgedrukt, dat er
een absoluut, aan de ruimte eigen criterium zou zijn, met behulp
waarvan men de afmetingen van figuren, die zich op verschillende
plaatsen bevinden, met elkaar zou kunnen vergelijken.
Dienovereenkomstig doet het eenigszins vreemd aan,
als men voor het eerst de verschillende representanten van Euclides'
systeem van axioma's leert kennen en daarbij van de afspraken
omtrent de maatgetallen van lengten en hoeken hoort. Men is geneigd dergelijke
representanten als,,conventioneel'' te stellen tegenover de goede bekende
,,echte'' representanten.
Als wij echter naar een absoluut criterium zoeken voor
het vergelijken van lengten en hoeken, ontdekken wij, dat zoo iets niet
bestaat, maar dat wij eerder ook bij ons traditioneele meten door
een overeenkomst geleid worden, en wel door een zoodanige als
gesuggereerd wordt door het gedrag van physische lichamen bij
verandering van plaats.
Men weet reeds lang, dat het vergelijken van twee
temperatuursprongen (,,temperatuurafstanden'') op twee verschillende
temperatuurniveau's, (,,op twee verschillende plaatsen van de
temperatuur-ruimte'') slechts op een afspraak kan berusten, want twee
temperatuursprongen, b.v. 1) van 0° C. tot 1° C. van een
kwikthermometer en 2) van 50° C. tot 51° C. dito), die
aan twee gelijke
uitzettingen van een kwikzuil beantwoorden, veroorzaken bij een
spiritus-zuil twee verlengingen van ongelijke grootte.
Men wordt zich echter niet zoo snel van de
conventionaliteit bij
[pag. 266]
het vergelijken van ruimtelijke afstanden bewust, en dit ligt aan het
feit, dat alle stoffen, waaruit men de maatstaven vervaardigt, zich
op verschillende plaatsen merkbaar-gelijk gedragen: twee maatstaven, die op
één plaats even lang waren, blijven ook op iedere
andere plaats even lang.... tenminste zij zijn daar niet opvallend
anders.... of wel men vindt steeds een speciale oorzaak voor hun
eventueele ongelijkheid; dan, maar ook slechts dan, zegt men, dat
zij uitgezet (en wel ongelijk uitgezet) of verkort zijn.
Het aan elkaar gelijk blijven van heterogene
maatstaven bij verandering van plaats is hetgeen ons de illusie geeft van
een aan zich
zelf gelijk blijven in een bijzondere ,,absolute'' beteekenis.
In werkelijkheid kunnen wij echter slechts dit
constateeren: twee
ruimte-deelen zijn voor ons ,,gelijk'' of,,congruent'', als één
en hetzelfde physische lichaam, en wel een vast lichaam, in beide
precies past; twee lijn-afstanden zijn ,,even lang'' als één en
dezelfde op een vast lichaam afgeteekende lijn met elk van beide kan
samenvallen.
Als wij nu de ons alleen interesseerende representant
van het begrip ,,congruentie'' nader analyseeren, dan moeten wij eerst tot
klaarheid komen omtrent het begrip ,,vast lichaam''.
10. Vreemd genoeg verwerpt men gewoonlijk de poging
om dit probleem aan te pakken; men beroept er zich met voorliefde
op, dat er in de natuur geen werkelijk vaste lichamen zijn. Op deze
manier gaat men in een amusante logische cirkel rond: men loochent
het bestaan van iets, waarvan men niet weet -- en niet weten wil --
wat het eigenlijk zou moeten zijn. Dit is des te merkwaardiger,
omdat men er niet voor terugschrikt de talrijke andere in de natuurkunde
voorkomende begrippen te definieeren, hoewel men er zeker
van is, dat de overeenkomstige dingen, exact genomen, ook nooit
in de natuur voorkomen (b.v. de gelijkmatige beweging). -- Maar
in elk gegeven geval is men toch in staat een vast lichaam van een
niet-vast te onderscheiden!
Wat wij hier willen, is - zooals gezegd -- geen tot in
ieder woord gepreciseerde definitie, maar een analyse van dat, waarop
dan wel deze onderscheiding van ons berust. Wij zullen het niet
vermijden om woorden te gebruiken, die ongedefinieerd blijven, en
waarvan de beteekenis wordt verondersteld bekend te zijn. Alleen
mag in onze gedachtengang geen logische cirkel voorkomen.
[pag. 267]
De tot nu toe mij bekende pogingen om het begrip
,,vast lichaam''
te definieeren, loopen op de bewering uit, dat een vast lichaam zijn
afmetingen en vorm onder alle omstandigheden onveranderd behoudt. Wij
komen daar natuurlijk niet verder mee, want wij gaan
van het inzicht uit, dat het meten en indentificeeren van de vorm
zelf op het begrip ,,vast lichaam'' berusten.
Gelukkig is het echter heelemaal niet waar, dat wij ons
in de praktijk van de vastheid van een lichaam met behulp van opmetingen
overtuigen; veeleer gebruiken wij een experiment, dat geen
metrische elementen bevat en dat dikwijls zelfs in de allerprimitiefste uitvoering
reeds toereikend is: wij probeeren het betreffende
lichaam samen te drukken en voelen of het meegeeft. Dit experiment kan ook in
een objectieve vorm uitgevoerd worden, en dan
kan men het ongeveer op de volgende manier schematiseeren:
1. Het te onderzoeken lichaam K brengen wij met een
willekeurig ander ,,Standaardlichaam'' P in aanraking en op elk van
beide teekenen wij een paar punten A, B, resp. A', B', waar zij
elkaar aanraken. Dus: A coïncideert met A', B met B'.
2. Wij voeren twee manipulaties uit, die ,,drukken'' en
,,spannen'' van het lichaam K genoemd worden, waarbij wij het zoo
inrichten dat de punten A en A' blijven coïncideeren, en wij letten
op of daarbij de punten B en B' ook nog coïncideeren. Is dat het
geval, dan noemen wij het lichaam K ,,vast''.
Bij dit schema behoort een reeks aanvullende
opmerkingen:
a. De manipulaties ,,drukken'' en ,,spannen''
moeten nader gedefinieerd worden en wel zoo, dat daarbij nergens gebruik
gemaakt wordt van die begrippen, voor welker definitie het begrip ,,vast
lichaam'' zelf noodig is. Hier kunnen wij het wegens plaatsgebrek
niet doen; het schijnt echter werkelijk mogelijk te zijn het zonder
logische cirkel te volbrengen.
b. Men moet de zekerheid hebben, dat,
ofschoon druk en spanning werkelijk plaats vonden, de verschuiving
van punt B van
het lichaam K t.o.v. punt B' van het lichaam P desalniettemin is
uitgebleven. Voor dit doel kan men contrôle-lichamen gebruiken, die
op dezelfde voorwaarden, waarin wij bij het onderzoek het lichaam
K brengen, wel met een verschuiving reageeren.
c. Om de zekerheid te vergrooten, dat de
bewuste manipulaties alleen op het lichaam K en niet tegelijkertijd ook op P
werkten, of dat niet toevallig juist op het oogenblik van het experiment
onbekende
[pag. 268]
invloeden het uitblijven van de relatieve verschuiving van de
punten B en B' bewerkten, kan men het lichaam P achtereenvolgens
door een reeks andere standaardlichamen vervangen en ieder experiment op
verschillende tijden herhalen.
d. Opgemerkt dient te worden, dat het geen
vereischte is, dat
het standaardlichaam zelf vast is: het moet slechts aan de eisch
voldoen, dat zijn punten A', B' t.o.v. de punten A, B van het lichaam
K niet verschuiven, zoolang er op dit lichaam K niet met druk of
spanning gewerkt wordt.
e. Om zeker te zijn, dat alle deelen van het
lichaam K vast zijn,
moet men zich natuurlijk niet tot een enkel paar punten A, B,
beperken.
f. Bij al dergelijke onderzoeken -- zooals
trouwens bij ieder experimenteel onderzoek -- blijft een element van
onzekerheid.
Principieel kunnen wij nooit ontkennen, dat er geen invloeden geweest zijn, die
een lichaam, dat gecomprimeerd kan worden, abusievelijk vast doen schijnen.
Dit zwakke punt ligt echter niet in onze
definitie van het begrip ,,vast lichaam'', maar aan het feit, dat wij
ons kunnen vergissen bij de beoordeeling of een gegeven lichaam
aan dit begrip beantwoordt.
g. Ook kan het niet als een kritiek op de
definitie opgevat worden, dat wij toegeven, dat er in de natuur geen zoodanige
lichamen
zijn, als wij zoojuist gedefinieerd hebben. Wel mag men echter
vragen welk verband er dan is tusschen dit begrip en al datgene
waarvoor wij de definitie hebben opgesteld. Het antwoord ligt
voor de hand: weliswaar zijn er geen lichamen die in de boven
beschreven beteekenis vast zijn, maar er zijn vele lichamen, die wij
bij minder preciese beschouwing voor zoodanig houden, en juist
dergelijke lichamen zijn het die bij ons het idee van het vergelijken
en identificeeren van geometrische figuren deden opkomen. Tevens
zijn deze ook de werkelijke dragers van alle onderzoekingen omtrent
de ruimtelijke betrekkingen in de natuurverschijnselen.
Ook hier laten wij, kortheidshalve, een meer preciese
beschrijving
achterwege, maar ik geloof de verzekering te mogen geven: men
kan zonder in een logische cirkel rond te gaan een definitie van
,,bijna vast lichaam'' geven en ook van de ,,graad van
vastheid''.
h. Een werkelijke verbetering moet echter nog
aan onze definitie
van het vaste lichaam aangebracht worden: een lichaam K, dat het
bovenstaande onderzoek betreffende vastheid met een bevredigende
[pag. 269]
nauwkeurigheid heeft doorstaan, kan onder omstandigheden zonder
aanwezigheid van druk of spanning toch nog merkbare verschuivingen t.o.v. het
standaardlichaam vertoonen. Wij zeggen dan, dat
er andere factoren op inwerken (verwarming, magnetiseering etc.).
Een volledige definitie van het vaste lichaam zou dus als
volgt moeten luiden: de punten A, B van een ,,ideaal vast
lichaam'' blijven onder alle omstandigheden ten opzichte van de
punten A', B' van een standaardlichaam onbewegelijk, als slechts dit
standaardlichaam vrij blijft van de op het lichaam K werkende
invloeden.
Het inzicht, dat lichamen, die aan de eerste definitie van
het vaste lichaam tamelijk goed beantwoorden, toch niet voldoen aan deze
verbeterde definitie, verhindert ons niet om dergelijke lichamen
voor geometrische identificaties op verschillende plaatsen te gebruiken. Wij doen
dit, daar wij aannemen dat het ons steeds mogelijk is om hun vroegere gedaante
terug te vinden, die ze zouden
hebben, als op de nieuwe plaats de storende factoren ontbraken.
Met het oog hierop moet men natuurlijk aannemen, dat ons op de
tweede plaats dergelijke factoren niet ontgaan, en dat hun werking
op de gedaante van het gebruikte lichaam op alle plaatsen hetzelfde
is, nadat wij deze op de eerste plaats goed bestudeerd hebben.
Of al deze veronderstellingen in ieder gegeven geval
opgaan, is een andere zaak. Voor ons komt het slechts hier op aan: dat
dergelijke onderstellingen werkelijk ten grondslag liggen aan iedere
geometrische identificatie; dat wij door onze beschrijving werkelijk
die essentieele deelen van de onderzoekingen hebben naar voren
gebracht, die een lichaam in onze oogen ,,vast'' doen schijnen, en
dat deze essentieele trekken in principe tot loutere coïncidenties
van punten teruggebracht kunnen worden, en op geen enkel aan de
ruimte zelf inherent maat- of congruentiebegrip berusten.
11. Wij kunnen nu de volgende definities
introduceeren:
1. Congruente figuren zijn figuren, die met
één en dezelfde, op
een vast (in de verbeterde beteekenis) lichaam afgeteekende, figuur
kunnen samenvallen.
2. Een geometrische figuur ,,zonder verandering
overbrengen''
of,,bewegen'' wil zeggen: op de andere plaats een met de gegeven
figuur congruente figuur oprichten.
12. Ik kan niet nalaten nog een veronderstelling naar
voren te
[pag. 270]
brengen, die nooit vermeld wordt, maar toch van beslissende beteekenis
is.
Volgens Einstein's theorie van de
zwaartekracht moet de ruimte, zooals bekend, niet alleen van die van
Euclides afwijken,
maar ook op verschillende plaatsen in verschillende mate afwijken.
Wij kunnen dit aan de hand van het volgende voorbeeld schetsen:
wij stellen ons vóór, dat op verschillende plaatsen een
gelijkzijdige driehoek is geconstrueerd; in de ruimte van Euclides
zouden alle drie hoeken van zoo'n driehoek even groot zijn en tot som de
gestrekte hoek hebben; in de wereld van Einstein echter zouden
de hoeken van een gelijkzijdige driehoek niet eens overal alle aan
elkaar gelijk zijn en hun som zou, bij gelijke lengte van de zijden,
niet overal hetzelfde zijn. M.a.w. de ruimte van Einstein is niet
,,homogeen''; op verschillende plaatsen zijn de onderlinge betrekkingen
tusschen de elementen van figuren, die alle volgens een en
dezelfde methode geconstrueerd zijn, niet hetzelfde.
Als in de wereld van Einstein vaste (of bijna
vaste) lichamen mogelijk waren en ook overgebracht konden worden, dan
zouden zij toch nog niet voor het ,,overbrengen van figuren zonder verandering''
kunnen dienst doen: de onderlinge betrekkingen in een
op zoo'n lichaam afgeteekende figuur zouden op verschillende
plaatsen verschillend zijn (hier behoeven wij er ons niet om te
bekommeren, hoe de natuur zoo iets zou inrichten, maar slechts
hoe wij het zouden vaststellen) en er zou überhaupt geen sprake
zijn van ,,congruente figuren'', tenminste niet op grootere afstanden.
(Het schijnt weliswaar daarbij toch mogelijk een ,,klein genoeg vast
lichaam'' voor het introduceeren van het begrip ,,gelijke afstanden''
te gebruiken).
Wij zien daaruit dat onze hierboven gegeven definitie
van ,,congruente figuren'' nog een rechtvaardiging noodig heeft, namelijk
de veronderstelling:
Veronderstelling 1: de ruimte is homogeen,
zonder welke veronderstelling die definitie onder bepaalde omstandigheden vol
tegenspraak kan blijken te zijn.
Dat aan dergelijke tegenspraken gewoonlijk niet gedacht
wordt, ligt aan het feit dat zij in onze dagelijksche ervaringen met de bijna
vaste lichamen niet merkbaar zijn.
13. Aan de hand van het begrip ,,vast lichaam'' en de
zooeven
[pag. 271]
vermelde veronderstelling betreffende de homogeniteit van de ruimte
kan gemakkelijk het begrip ,,rechte lijn'' gedefinieerd worden.
Aan de ervaring ontleenen wij namelijk nog de volgende
veronderstellingen:
Veronderstelling 2: Als één punt O
van een figuur onbewegelijk is,
kan toch nog ieder ander punt van deze figuur bewegingen
uitvoeren.
Veronderstelling 3: Als twee punten A en B
van een figuur onbewegelijk zijn, dan zijn ook al die punten van deze figuur
onbewegelijk, die zich op een bepaalde door A en B gaande lijn, bevinden. Alle
andere punten van deze figuur kunnen daarbij bewegingen
uitvoeren.
En dit maakt het ons mogelijk de ,,rechte lijn'' te
definieeren: Een
,,rechte'' is een lijn, die onbewegelijk blijft bij alle bewegingen van
een figuur, waarvan zij een deel vormt, en waarbij twee willekeurige
tot haar behoorende punten onbewegelijk zijn.
Laten wij er nog een eveneens aan de ervaring
ontleende veronderstelling aan toevoegen:
Veronderstelling 4: Als drie niet op een rechte lijn
liggende punten van een figuur onbewegelijk zijn, is de geheele figuur
onbewegelijk.
Dan kan men daaruit gemakkelijk afleiden,
dat door twee punten van de ruimte slechts één rechte
getrokken kan worden.
Wij kunnen onze zaak nog meer met de ervaring in
overeenstemming brengen, als wij in plaats van de ,,onbewegelijkheid''
uitdrukkelijk van de ,,relatieve onbewegelijkheid'' met betrekking tot een
vast lichaam spreken. De eenvoudigste physische illustratie van
een ,,rechte'' is dan een vouw in een papier of de rand van een
lineaal, die bij alle standen, waarbij hij door twee gegeven punten
gaat, steeds een en dezelfde indruk op het papier dat deze punten
bevat, achterlaat.
14. In verband met het feit, dat er geen volkomen vaste
lichamen zijn, wordt er dikwijls geprobeerd om de rechte niet
zóó, als wij
het gedaan hebben, als draaias van een vast lichaam, te introdu-
ceeren, maar haar te definieeren door zich te beroepen op zekere
andere physische betrekkingen. Op deze manier beweert men b.v.
dat de rechte de vorm van een gespannen touw of van een lichtstraal
zou hebben.
Mij schijnen deze beide definities minder gelukkig, want
men
[pag. 272]
kan haar niet consequent doorvoeren. Inderdaad: iedereen weet,
dat een gespannen touw, streng genomen, niet rechtlijnig is; het is
slechts dan waar, als het touw òf niet onderhevig is aan zwaartekracht
òf oneindig sterk gespannen is, ò wel als zijn beide uiteinden
zich bevinden op een vertikale .... rechte. Wat beteekenen echter
dergelijke uitspraken? Blijkbaar gebruikt men daarbij een tweede
definitie van de rechte zonder deze te formuleeren. Hetzelfde valt
ook van het introduceeren van de rechte als een lichtstraal te zeggen:
hoe zou men van reflexie en breking van de lichtstralen kunnen
spreken -- dus van hun eventueele afwijking van de rechtlijnigheid,
als de rechte door niets anders dan door de lichtstraal zelf bepaald
ware?
15. Laten wij, na alles wat gezegd is, onze aandacht
toch een oogenblik op het onderwijs richten en laten wij onze conclusies
betreffende de grondbegrippen van de geometrie eens vergelijken
met dat wat de beginnelingen daar gewoonlijk over te hooren krijgen.
Of men de quasi-strenge definities al dan niet tracht te
geven, geen leeraar kan het nalaten toch ook op de concrete objecten, die
deze begrippen illustreeren, te wijzen.
Dit wordt echter meestal als een betreurenswaardige
concessie aan de jeugdigheid van de leerlingen opgevat. Uit de bovenstaande
overwegingen daarentegen, moet volgen, dat dit aanvoeren van
physische objecten in overeenstemming is met een wetenschappelijke
eisch, die gegrond is op de meening, dat onze ideeën over de ruimte
geabstraheerd zijn uit onze physische ervaring en dat hun ontwikkeling in laatste
instantie gewijd is aan het begrijpen en beheerschen
van de natuur.
Natuurlijk kan men met de beginnelingen deze ervaring
niet op dezelfde manier analyseeren, als wij het hierboven trachtten te doen.
Maar misschien kan men er eenige toepassingen voor het onderwijs
uithalen. Mij schijnt het b.v. toe, dat de leerlingen de procedure
van het op elkaar leggen van driehoeken bij de congruentie- en
gelijkheidsbewijzen, met meer begrip zullen opnemen, als men de
bovengenoemde vier veronderstellingen (vooral de drie laatste)
betreffende het bewegen van figuren in de ruimte expliciet bespreekt. Men weet
immers, hoe dikwijls een leerling het als een
onbegrijpelijke formaliteit beschouwt, dat men bij dit op elkaar
plaatsen een bepaalde volgorde in het oog moet houden, en hoe
[pag. 273]
vaak deze hem juist daarom mislukt. Ook zou men hun meer kunnen laten zien,
hoe essentieel het in de praktijk is, dat slechts één
bepaalde lijn van een lichaam onbewegelijk blijft, als het lichaam
nog een of andere beweging kan uitvoeren (de rol van de zwengel
van een as, waaromheen men raderen wil laten draaien; de onmogelijkheid om
een vlak te vouwen, als het geen regelvlak is; het controleeren van een
rechtlijnigheid van een lineaal; het vergelijken van
een rechtlijnige rand met soortgelijke niet-rechte randen die toch op
meer dan één manier op één en hetzelfde spoor
kunnen worden gelegd enz). Zoo zou de bewering, dat door twee punten slechts
één rechte kan gaan, in hun oogen een levender en niet-triviale
inhoud krijgen.
16. Wij gingen van het probleem uit, hoe men de
grondbegrippen van een wetenschap moet definieeren. Bij de nadere
bespreking
van de grondbegrippen van de geometrie zijn wij onvermijdelijk
met de andere vraag in aanraking gekomen: wat deze begrippen
voor ons omvatten, en hoe wij er aan komen. Daarbij bleek, dat zij
hun oorsprong vinden in de ervaring, en wij zijn tot de conclusie
gekomen, dat de verwijzing naar de ervaring onontbeerlijk is voor
het op een ondubbelzinnige manier vastleggen van deze begrippen.
Ik herinner mij een levendige discussie, die meerdere
jaren geleden tusschen eenige mathematici en physici hier te lande gevoerd
werd: in verband met de vraag, of het een mathematicus dan wel een
physicus behoorde te zijn, aan wien men het onderricht in de mechanica aan de
middelbare scholen moest toevertrouwen, werd overwogen, of de mechanica
zelf een experimenteel of een zuiver rationeel vak was.
Ik hoop, dat het bovenstaande ook moge bijdragen tot
de beantwoording van deze vraag.
13, II, 35, Leiden.