Eerste Bovck

des Driehovck-
handels van het
maecksel des
tafels der

H O V C K M A T E N.




Aanvullende informatie:
Simon Stevin, Eerste Bovck des Driehovckhandels, van het maecksel des tafels der Hovckmaten. Deze versie is overgenomen uit het eerste deel van de Wisconstighe Gedachtenissen, in 1608 te Leiden gedrukt bij Christoffel Plantijn. Oorspronkelijk boek 140 pagina's groot, waarbij de eerste pagina's als foliant I - foliant V (recto & verso) zijn genummerd.
Het boek begint met op de achterkant van het titelblad een ``Cortbegryp''. De tabellen, die het merendeel van het werk beslaan, zijn niet in de HTML-versie opgenomen. De tekst is compleet en beslaat (na de vijf eerste folianten) pp. 11- 19, 58-62, 100-101 en p. 140.



CORT BEGRYP VANT
MAECKSEL DES TAFELS
DER HOVKMATEN.

Na neghen noodighe bepalighen sullen volghen de voorstellen vant maecksel des tafels der houckmaten, en t'ghebruyck der selve. Daer achter sal volghen 't maecksel des tafels der Raecklijnen en Snijlijnen (die me afcomt en van houckmaten sijn) oock met haer ghebruyck.


[Fol. I recto]


B E P A L I N G H E N.

1 BEPALING.

H O V C K B O O C H is deel eens halfronts tusschen de houcklinen, beschreven op haer gheraecksel als middelpunt.


Laet AB, AC, twee linien sijn des houcx BAC, ende op haer geraecksel A sl middelpunt, sy met AB als halfmiddellijn, beschreven de booch BC, welcke cleender sijnde dan een halfront, ende anwijsende de grootheyt ofte openheyt des selfden houcx BAC, heet houckbooch: Welcke op driederley wijse vallende, als van een vierendeelronts, cleender of grooter, sullen tot verclaring van dien, opt voornomt punt A volschrijv het halfront BCD, daer in treckende de halmiddellijn AE rechthouckich op BAL T'welck so sijnde, de houckbooch BC is cleender dan een vierendeelronts, gevende de openheyt van een scherphouck BAC. De houckbooch CD is grooter dan een vierendeelronts, ghevende de openheyt van een plomphouck CAD. Ende de houckbooch BE van een vierendeelronts, ghevende de openheyt van een rechthouck BAE.

2 BEPALING.

H O V C K M A E T is de rechte lini vant eynde des houckboochs rechthouckich op de middellijn.

Laet BC in d'eerste bepaling een houckbooch sijn, ten eersten cleender dan een vierendeelronts, te weten des scherphoucx BAC, van diens houckboochs einde C valt een rechte lini CF rechthouckich op de middellijn BD: De selve CF heet houckmaet: Soo veel te segghen als maet waer deur de grootheyt des houcx BAC ghemeten of bekent wort. Ende deur de voorgaende redenen is te verstaen dat CF oock houckmaet is des plomphoucx CAD, want sy is nae luyt der bepaling de rechte lini vant einde des houckboochs DC, rechthouckich op de middellijn BD, ende gheen ander rechte lini van dier langde, en cander van C rechthouckich op BD vallen, om den houck CAD in die stant te houden. Tis oock openbaer AE te wesen Rechthouckmaet of houckmaet des rechthoeucx BAE.

3 BEPALING.

H O V C K M A E T P Y L is deel der middellijn tusschen t'uyterste des houckmaets en des omtrecx.

Laet CEH een boogh sijn, diens peez de rechte lini CGH is, waer op GE commende als pijl, soo hebbense Ptolemeus en ander die de heele peez voor houckmaet ghebruyckten pijl gheheeten: By welcke naem ons voornemen is [Fol. I verso] te blijven. Maer want wy in dese tafels der houckmaten volghen de wijse der ghene die de halve peez CG nemen voor houckmaet des halven boochs CE, soo en is GE eyghentlick gheen pijl des boochs CE, maar wel een pijl vervougt an haer houckmaet, waer deur wy die houckmaetpijl noemen, dat is na t'inhout der bepaling, het deel der middellijn tusshcen t'uyterste G des houckmaets CG, en t'uyterste E des omtrecx CE: Voort ghelijck GE is houckmaetpijl van CE, also verstaetmen FB te sijn houckmaetpijl van CB, wesende ghelijck CE oock cleender dan een vierendeelronts. Merckt noch dat anghesien t'ghetal der trappen des boochs BC en des houcx BAC, al een selve is, soo wort FB oock wel gheseyt houckmaetpijl des houcx BAC, en FD houckmaetpijl des houcx CFD.

4 BEPALING.

S C H I L B O O C H is t'verschil tusschen een ghestelde booch ende het vierendeelronts.

Laet BC een gestelde booch sijn, ten eersten cleender dan het vierendeelronts BE: T'verschil tusschen haer beyden als CE heet Schilbooch, te weten schilbooch der ghestelde BC. Laet ten tweeden CD een ghestelde booch sijn grooter dan het vierendeelronts DE: T'verschil tusschen haer beyden als CE, heet Schilbooch, te weten schilbooch der ghestelde CD.

5 BEPALING.

S C H I L H O V C K is t'verschil tusschen een ghestelden houck ende den rechthouck.

Laet BAC een ghestelden houck sijn ten eersten cleender dan den rechthouck BAE: T'verschil tusschen haer beyden als den houck CAE heet schilhouck, te weten schilhouck des ghestelden houcx BAC. Laet den tweeden CAD den gestelden houck sijn grooter dan den rechthouck BAE: T'verschil tusschen haer beyden als den houck heet schilhouck, te weten schilhouck des ghestelden houcx CAD.

6 BEPALING.

H A L F R O N T V E R V V L L I N G eens boochs, is die vvelcke tot haer vervought het halfront uytbrengt.

Laet BC de ghestelde booch wesen, byde welcke vervought sy de booch CD, soo datse t'samen een halfront maken: Die byghevougde CD heet halfrontvervulling van BC. Ende om derghelijcke redenen is BC halfrontvervulling der ghestelde DC.

7 BEPALING.

R A E C K L Y N eens houcx, is haer houckmaets evevvydeghe, gherakende mettet een uyterste den omtreck, [fol. 2 recto] ende mettet ander uyterste haer voortghetrocken houcklijn.

Laet CF houckmaet sijn des houcx BAC, alsbov, ende BI haer evewijdege, gherakende mettet een uyterste B den omtreck des rondts, e mettet ander uyterste I de voortghetrocken houcklijn AC: T'welck soo sijnde BI heet (van wegen datse den omtreck alsoo int punt B geraect) Raecklijn des houcx BAC. Ende door de selve reden ist kennelick BI oock raecklijn te wesen des plomphoucx CAD, Want su is na luyt der bepaling evenwijdege met FC houckmaet des selfden plomphoucx CAD, gherakende mettet een uyterste B den omtreck in B, ende mettet ander uyterste I haer voortgetrocken houcklijn AC in I.

8 BEPALING.

S N Y L Y N is de voorghetrocken houcklijn totte raecklyijn toe.

Als AC houcklijn des scherphoucx CAB, ofte des plomphoucx CAD, voortghetrocken sijnde tot I, dats de lini AI, heet van wegen datse den omtreck deursnijt, Snylijn, te weten haers houcx CAB, ofte CAD.
Merckt wijder dat de raecklijn en snijlijn oock eenichsins souden mogen gheseyt worden houckmaten, dat sijn maten waer deur de grootheyt haerder houcken ghemeten of bekent wert, want men can noch van B op de voorghetrocken AC, noch van A deur C totte lini BI, gheen ander linien van dier langde trecken, om den scherphouck BAC, ofte den plomphouck CAD, in die stant te houden: Maer tot onderscheyt des eersten ende vermaersten houckmaets CF, als oirspronck of gront van dese twee, soo wordense raecklijn ende snylijn gheheeten.

9 BEPALING.

B E K N E D E linen en houcken noemen vvy, diens grootheyt deur ghetal gheuytet vvort.

MERCKT.

Tot hier toe de eyghen constwoorden bepaelt hebbende, sullen eerwy ande voorstellen comen, wat vermaen doen dat den leerlinck deser stof voorderlick mocht vallen.
T GHEBEVRT dat menich persoon de tafelen der houckmaten, raecklijnen, en snylijnen, ghebruyckt sonder te verstaen de gront of manier van haer maecksel: Nu of de selve wel of qualick doen mocht yemant in twijffel stellen: Want insiende dat weten is een dinck deur de oirsaken verstaen, soo schijntet best eerst de reden te begrijpen, om te weten waer op t'ghebruyck ghegront is. Doch wort hier op wederom gheseyt, dat een leerlinck eerst een weynich siende deur 't ghebruyck (dat licht valt) wat grooter saken deur dese tafels uytgherecht worden, crijcht veel meerder lust, ende heftigher voornemen om die redenen wiens begrijp moeylicker valt, grondelick te leeren, dan hy soude soo hem 't voorsz. ghebruyck gantsch onbekent waer. Twelck anghesien de ghene die van sulck ghevoelen zijn; meughen hun eerst int ghebruyck wat oeffenen, bestaende voornamelick int vinden der onbekende palen van platte ende clootsche driehoucken, daeraf int volghende tweede ende derde bouck gheseyt sal worden. [fol. 2 verso]

Nu volghen de voorstellen.
I WERCKSTVCK. I VOORSTEL.

D E U R een bekende halfmiddellijn ende bekende houckmaet: De schilhoucks houckmaet bekent te maken.

T GHEHEVEN. Laet ABC een vierendeel ronts sijn, diens halfmiddellijn AC doet 5, ende DE sy een houckmaet, doende 4, ende dat des houcx DAE, wiens schilhoucks houckmaet is EF. T BEFGHEERDE. Wy moeten t'ghetal vande selve EF vinden.

TWERCK.
Ghemenichvuldigt 5 vande halfmiddellijn in sich, comt 25.
Ghemenichvuldigt 4 vande houckmaet DE in sich, comt 16.
Die ghetrocken vande 25 eerste in d'oirden blijft 9.
Diens viercantssijde voor de begheerde EF 3.
T BEREYTSEL. Laet ghetrocken worden AE. T BEVVYS. Het viercant der halfmiddellijn AE 25, is even ande twee viercanten van DE 16, en DA daerom t'vierkant van DE 16, ghetrocken van t'viercant van AE 25, blijft het viercant van DA 9, diens sijde voor DA doet 3: Maer EF is even aen DA; daerom de vervuling EF doet oock 3. T BESLUYT. Wy hebben dan deur een bekende halfmiddellijn, ende bekende houckmaet, haer schilhoucx houckmaet bekent ghemaect, na den eysch.

2 WERCKSTVCK. 2 VOORSTEL.

D E U R een bekende houckmaets pijl, mette bekende halfmiddellijn: Bekent te maken de houckmaet vanden helft des selfden houckboochs.


T GHEHEVEN. Laet ABC een vierendeel rondts wesen, diens halfmiddellijn AB doet 24, e DB is een houckbooch, diens houckmaet sy DE, ende de pijl EB doet 3, Voorts so is de rechte AFG ghetrocken door t'middel van DB, alsoo dat BF is de houckmaet des houckboochs BG, helft van DB.
T BEGHEERDE. Wy moeten vinden de langde vande selve houckmaet BF. [fol. 3 recto]

TWERCK.
Den helft van AB 24 doet 12.
Die ghemenichvuldigt mette pijl EB doende 3.
Comt 36.
Diens viercantssijde voor de begheerde BF is 6.
T BEREYTSEL. Laet het punt H gheteyckent worden int middel van AB. T BEWYS. Anghesien de twee driehoucken ABF ende DBE, beyde rechthouckich sijn, ende an B een ghemeenen houck hebben, soo moetense ghelijck wesen, daerom heeft AB sulcken reden tot DB, als FB tot BE: maer AB ende DB sijn tot malcander inde selve reden van haer helften HB, BF, daerom ghelijck HB tot BF, alsoo de selve BF tot BE: inder voughen dat BF is middelevenredighe tusschen HB ende BE, daerom alsmen, ghelijck int werck gedaen is, t'ghetal van HB, dat is den helft van AB, menichvuldicht mettet gehtal van BE, soo is des uytbreng viercantsijde voor de houckmaet van BF.
T BESLVYT. Wy hebben dan deur een bekende houckboochs pijl mette halfsmiddellijn, bekent gemaect de houckmaet vanden helft des selfden houckboochs na den eysch.

3 WERCKSTVCK. 3 VOORSTEL.

D E U R de bekende halfmiddellijn met tvvee houckmsten ende haer schilboochs houckmaten: De peez van haer boghens verschil te vinden.
T GHEHGEVEN. Laet ABC een vierendeel rondts wesen, diens halfmiddellijn AC doet 10, e twee houckmat DE 5, FG 8, wiens schilboochs houckmaten als EH, GI doen door het 1 voorstel 8 en 6, ende de booch EG is 't verschil der twee houckboghen BG, BE, ende de rechte EG haer peez.
T BEGHEERDE. Wy moeten de selve peez EG bekent maken.
T WERCK
Van FG 8.
Ghetrocken FK even an DE 6.
Blijft voor KG 2.
Voort van EH 8.
Ghetrocken KH even an GI 6.
Blijft voor KE 2.
Diens vierkant 4.
Daer toe t' vierkant v KG 2 derde in d'oirden doende 4.
Comt 8.
Diens viercantsijde voor de begheerde EG doet 8.

T BEWYS. Ghemerckt den driehouck EKG recht is, diens sijden EK, KG elck 2 doen, so moet het derde EG 8 sijn, deur het 47 voorstel des 1 boucx van Euclides. T BESLUYT. Wy hebben dan deur de bekende halfmiddellijn met twee houckmaten, ende haer schilboochs houckmaten, gevonden de peez van haer boghens verschil, na den eysch.

MERCKT.
Tot hier toe sijn beschreven srie voorstellen dienende als ghemeene regelen der volghende werckinghen, waer in de halfmiddellijn na de wijse van Regiomontanus eintlick in 10000000 sal ghedeelt worden. [Fol. 3 verso]
MERCKT oock, dat wy om moeyte te schuwen, de selve ghetalen van Regiomontanus sullen nemen, sonder overal t'ondersoucken of de rekeningen heel volcomen sijn: want sijn Vorstelicke Ghenade alleenelick soo veel voorbeelden bereeckent heeft, als totter grondelick verstaen der saeck genouch vvas. Isser deur misdrucken of ander oorsaeck eenich ghetal t'ondeghe, men sal my, diens voornaemste meyning streckt de manier des maecksels deser Tafelen te beschrijven, daer af voor ontschuldicht houden.

4 WERCKSTVCK. 4 VOORSTEL.

D O E N D E de halfmiddellijn eens rondts 1000000000: te vinden de langde van al de houckmat, ende haer schilboghens houckmaten, spruytende uyt halving van 90 tr. tot datmen comt op oneven eersten.
T GHEGHEVEN. Laet ABC een vierendeel rondts wesen, diens halfmiddellijn AC doet 1000000000, Nu alsoo de selve halfmiddellijn oock houckmaet is des houckboochs BC van 90 tr. soo en behouf ick gheen moeyte te doen om die te soucken, maer stelse als hier onder.
Houckboghen. Houckmaten.
90. 1000000000.
Om nu te vinden de houckmaet vanden helft van 90 tr. ick teycken D int middel van BC e treck DE rechthouckich op AC, als houckmaet des houckboochs DC doende 45 tr. T ghetal der selve wort ghevonden na de leering des 2 voorstels menichvuldighende den helft van AC 500000000, metten pijl AC 1000000000, maect 5000000000000000000, diens viercantsijde voor DE doet 707106782, de selve ghevought onder de boveschreven houckmaet van 90 tr. so comt haer ghestalt als hier onder.
Houckboghen. Houckmaten.
90 tr. 0. 1000000000.
45 tr. 0. 707106782.
Daer na stel ick een tipken voor de 90 tr. als hier boven blijckt, beteyckenende dat de selve 90 tr. ghehalft sijn.
Om nu te vinden de houckmaet vanden helft van 45 tr. ick teycken F int middel van DC, ende treck FG rechthouckich op AC, als houckmaet des houckboochs FC doende 22 tr. 30 . T ghetal der selve wort ghevonden als t'voorgaende deur het 2 voorstel, menichvuldigende 500000000 helft der halfmiddellijn AC, met 292893218 des pijls EC (dat den selven pijl soo veel doet bevint sich treckde AE die ev is aen ED 707106782, van AC 1000000000) comt 145445500000000000, diens viercantsijde voor FG doet 382683432. Maer aldus bekent wesende FG, soo is haer schilboochs houckmaet FH openbaer deur het 1 voorstel, want van t'viercant der halfmiddellijn, ghetrocken t'viercant van FG, de viercantsijde vant overschot doende 923878533, is voor FH houckmaet des houckboochs FB, doende 67 tr. 30 . [Fol. 4 recto]
Dese twee houckbogen met haer houckmaten vervought by de voorgaende, soo sal haer ghestalt dan wesen als hier onder.
Houckboghen. Houckmaten.
90 tr. 0. 1000000000.
45 tr. 0. 707106782.
22. 30. 382683432.
67. 30. 923879533.
Daer na stel ick een tipken voor de 45 tr. ghelijckmen hier boven siet, beteykenende dat de selve 45 trappen ghehalft zijn.
Om nu te vinden de houckmaet vanden helft van 22 tr. 30 , ick teycken I int middel van FC, ende trecke IK rechthouckich op AC, als houckmaet des houckboochs IC doende 11 tr. 15 , waer af t' ghetal bekent wort als vande voorgaende, want alsoo AG even is an de bekende HF doende 923879533, soo treck ick AG van AC, datter blijft is voor den pijl GC, waer mede ick IK bevinde van 195090322, ende haer schilboochs IB 78 tr. 45 houckmaet IL van 980785280, sellende de selve by dander.
Ende alsoo met halving gheduerlick voortgaende, tot datmen overal op oneven eersten comt, soo sal de gestalt des ghehalfden vierdeelrondts van 90 tr. mette schilboghen dan wesen als hier onder.
Houckboghen. Houckmaten.
90 tr. 0. 1000000000.
45 tr. 0. 707106782.
22. 30. 382683432.
67. 30. 923879533.
11. 15. 195090322.
78. 45. 980785280.
33. 45. 555570233.
56. 15. 831469611.
T BESLVYT. Doende dan de halfmiddellijn eens rondts 1000000000 wy hebben ghevonden de langde van al de houckmaten e haer schilboochs houckmaeten, spruytende uyt halving van 90 tr. tot dat men comt op oneven eersten, na den eysch.

5 WERCKSTVCK. 5 VOORSTEL.

D O E N D E de halfmiddellijn eens rondts 1000000000: Te vinden de langde der houckmaet van 36 tr. oock haer schilboochs houckmaet, mitsgaders van al de houckmaeten ende haer schilboochs houckmaeten spruytende uyt halving der selve 36 tr. tot datm comt op oneven eersten.
T GHEGHEVEN. Laet ABC een halfrondt wesen, diens halfmiddellijn DC doet 1000000000, ende op t' middelpunt D, sy ghetrocken de halfmiddellijn BD rechthouckich op AC: Laet voorts het punt E ghestelt sijn int middel [Fol. 4 verso] van DC, ende ghetrocken worden EB, daer na t' punt F inde lini AD, alsoo dat EF even sy an EB, ende van F sy ghetrocken de rechte lini tot B. Dit so wesende, BF is even ande sijde des gheschickten vijhoucx int rondt diens middellijn AC deur het 9 voorstel des 1 boucx van Ptolomeus. Daerom de langde van BF ghevonden wesende, soo hebben wy de peez van 72 tr. diens helft de houckmaet van 36 tr. is.

T BEGHEERDE. Wy moeten den helft van BF vinden.
T WERCK. BD doet 1000000000, tot diens viercant vergaert het viercant van DE 500000000, e daer uyt getrocken de viercantsijde, wert bevonden van 1118033988 voor BE: Maer FE is hier boven even ghestelt an EB, daerom FE doet oock soo veel: Vande selve ghetrocken DE 500000000, blijft voor FD 618033988, diens viercant vergaert tottet viercant van DB, ende vande somme getrocken de viercantsijde, comt voor BF (om dat den driehouck FBD recht is an D) 1175570504 als peez des boochs van 72 tr. daerom den helft van dien, te weten 587785252 is voor de begheerde houckmaet des houckboochs van 36 tr. waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.
De voorschreven houckmaet bekent sijnde, soo vintmen haer schilboochs houckmaet, ende men gaet voort mettet halven van dien als int 4 voorstel ghedaen is, te weten tot datmen over al op oneven eersten comt, ghelijck de navolgende beschrijving van dien opentlick aanwijst. Doch machmen hier bedenk dat d'eerste halving niet noodich en is, want FD hier boven gevonden van 618033988 is even an de sijde des gheschickten tienhoucx deur het 9 voorstel des 1 boucx van Ptolomeus, welcke de peez des boochs van 36 tr. sijnde, soo is den helft van dien te weten 309016994 voor de houckmaet van 18 tr.

Houckboghen. Houckmaten.
Houckboghen. Houckmaten.
36. 0. 587785252. 40.30. 649448084.
54. 0. 809016995. 49. 30. 760405965.
18. 0. 309016995. 20. 15. 346117057.
72. 0. 951056515. 69. 45. 938191337.
9. 0. 156434465. 42. 45. 678800745.
81. 0. 987688340. 47. 15. 734322510.
4. 30. 78459097. 31. 30. 522498567.
85. 30. 996917333. 58. 30. 852640163.
2. 15. 39259815. 15. 45. 271440450.
87. 45. 999229037. 74. 15. 962455237.
27. 0. 453990495. 38. 15. 619093952.
63. 0. 891006525. 51. 45. 785316932.
13. 30. 233445363. 24. 45. 418659737.
76. 30 972369920. 65. 15. 908143173.
6. 45. 117537397. 29. 15. 488621240.
83. 15 993068457. 60. 45. 872496008.
T BESLVYT. Doende dan de halfmiddellijn eens rondts 1000000000 wy hebben ghevonden de langde der houckmaet van 36 tr. oock haer schilboochshouckmaet, [Fol. 5 recto] metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmten spruytende uyt halving der selve 36 tr. tot datmen comt op oneven eersten, na den eysch.

6 WERCKSTVCK. 6 VOORSTEL.

D O E N D E de halfmiddellijn eens rondts 1000000000. Te vinden de langde der houckmaet van 30 tr. ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 30 tr. tot datm comt op oneven eersten.

WANT de sijde des gheschickten seshoucx, even is ande halfmiddellijn des rondts doende 1000000000, e dat de selfde sijde des seshoucx is de peez eens boochs van 30 tr. doet den helft van dien, te weten 500000000: Welcke bekent sijnde, soo vintmen haer schilboochs houckmaet, ende men gaet voort mettet halven van dien als int 4 voorstel ghedaen is, te weten tot datmen overal op oneven eersten comt, ghelijck de navolghende beschrijving van dien opentlick aanwijst.
Houckboghen. Houckmaten.
30. 0. 500000000.
60. 0. 876025403.
15. 0. 258819045.
75. 0. 965925827.
7. 30. 130526192.
82. 30. 991444862.
3. 45. 65403128.
86. 15. 997858923.
37. 30. 608761430.
52. 30. 793353340.
18. 45. 321439465.
71. 15. 946930130.
41. 15. 659345815.
48. 45. 751839807.
26. 15. 442288690.
63. 45. 896872742.
T BESLVYT. Doende dan de halfmiddellijn eens rondts 1000000000, wy hebben ghevonden de langde der houckmaet van 30 tr. ende haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaeten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 30 tr. tot datmen comt op oneven eersten, na den eysch. [Fol. 5 verso]

7 WERCKSTVCK. 7 VOORSTEL.

D O E N D E de halfmiddellijn eens rondts 1000000000: Te vinden de langde der houckmaet van 12 tr. oock de langde van haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaeten ende haer schilboochs houckmaten, spruytende uyt halving der selve 12 tr. tot datmen comt op oneven eersten.

ANGHESIEN deur het 6 voorstel bekent is de houckmaet van 30 tr. met haer schilboochs houckmaet, oockdeur het 5 voorstel de houckmaet van 54 tr. met haer schilboochs houckmaet, soo wort deur het 3 voorstel bekent de peez des boochs van haer verschil doende 24 tr. ende bevone van 415823384, diens helft voor de begheerde houckmaet van 12 tr. doet 207911692: Welcke bekent sijnde soo vintmen haer schilboochs houckmaet, ende men gaet voort mettet halven van dien als int 4 voorstel ghedaen is, te weten tot datmen overal op oneven eersten comt, ghelijck de navolghende beschrijving van dien opentlick anwijst.
Houckboghen. Houckmaten.
Houckboghen. Houckmaten.
12. 0. 207911692. 12. 45. 220697435.
78. 0. 978147602. 77. 15. 975342320.
6. 0. 104528463. 35. 15. 577145190.
84. 0. 994521895. 54. 45. 816641555.
3. 0. 52335957. 24. 0. 406736643.
87. 0. 998629535. 66. 0. 913545458.
1. 30. 26176948. 34. 30. 566406237.
88. 30. 999657323. 55. 30. 824126188.
0. 45. 13089622. 17. 15. 296541575.
89. 15. 999914327. 72. 45. 955019945.
39. 0. 629320392. 39. 45. 639439002.
51. 0. 777145962. 50. 15. 768841832.
19. 30. 333806860. 23. 15. 394743857.
70. 30 942641492. 66. 45. 918791210.
9. 45. 169349503. 32. 15. 533614515.
85. 15 985556058. 57. 45. 845727772.
42. 0. 669130607. 33. 0. 544639035.
48. 0 743144825. 57. 0. 838670568.
21. 0. 358367950. 16. 30. 284015345.
69. 0 933580427. 73. 30. 958819735.
10. 30. 182235525. 8. 15. 143492622.
79. 30 983254908. 81. 45. 989651387.

[pag. 11]

Houckboghen. Houckmaten.
Houckboghen. Houckmaten.
5. 15. 91501618. 27. 45. 465614520.
84. 45. 995804928. 62. 15. 884987637.
43. 30. 688354575. 28. 30. 477158760.
46. 30. 725374372. 61. 30. 878817113.
21. 45. 370557473. 14. 15. 246153293.
68. 15. 928809553. 75. 45. 969230910.
44. 15. 697790460. 36. 45. 598324600.
45. 45. 716301943. 53. 15. 801253813.
25. 30. 430511097. 30. 45. 511293187.
25. 30 902585285. 59. 15 859406412.
T BESLVYT. Doende dan de halfmiddellijn eens rondts 1000000000, wy hebben ghevonden de langde der houckmaet van 12 tr. oock de langde van haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt der selve 12 tr. tot datmen comt op oneven eersten, na den eysch.

MERCKT
ALSMEN de ghevonden houckmaten des voorgaende 4, 5, 6 ende 7 voorstels oirdentlick vergaert, men bevint dat mense van 45 tot 45 altemael heeft: Om t' welck opentlicker by voorbeelt te doen blijcken, soo stellen wyse al vervolghende in deser voughen.
Houckboghen. Houckmaten.
Houckboghen. Houckmaten.
0. 45. 13089622. 18. 0. 309016995.
1. 30. 26176948. 18. 45. 321439465.
2. 15. 39259815. 19. 30. 333806860.
3. 0. 52335957. 20. 15. 346117057.
3. 45. 65403128. 21. 0. 358367950.
4. 30. 78459097. 21. 45. 370557437.
5. 15. 91501618. 22. 30. 382683432.
6. 0. 104528563. 23. 15. 394743857.
6. 45. 117537497. 24. 0. 406736643.
7. 30. 130526192. 24. 45. 418659737.
8. 15. 143492622. 25. 30. 430511097.
9. 0. 156434465. 26. 15. 442288690.
9. 45. 169349503. 27. 0. 453990495.
10. 30. 182235525. 27. 45. 465614520.
11. 15. 195090322. 28. 30. 477158760.
12. 0. 207911692. 29. 15. 488521240.
12. 45. 220697435. 30. 0. 500000000.
13. 30. 233445356. 30. 45. 511293087.
14. 15. 246153293. 31. 30. 522498567.
15. 0. 258819045. 32. 15. 533614515.
15. 45. 271440450. 33. 0. 544639035.
16. 30. 284015345. 33. 45. 555570233.
17. 15. 296541575. 34. 30. 566406237.

[pag. 12]

Houckboghen. Houckmaten.
Houckboghen. Houckmaten.
35. 15. 577145190. 63. 0. 891006525.
36. 0. 587785252. 63. 45. 896872742.
36. 45. 598324600. 64. 30. 902585285.
37. 30. 608761430. 65. 15. 908143173.
38. 15. 619093952. 66. 0. 913545458.
39. 0. 629320392. 66. 45. 918791210.
39. 45. 639439002. 67. 30. 923879533.
40. 30. 699448048. 68. 15. 928809553.
41. 15. 659345815. 69. 0. 933580427.
42. 0. 669130607. 69. 45. 938191337.
42. 45. 678800745. 70. 30. 942461492.
43. 30. 688354575. 71. 15. 946930130.
44. 15. 697790460. 72. 0. 951056515.
45. 0. 707106782. 72. 45. 955019945.
45. 45. 716301943. 73. 30. 958819735.
46. 30. 725371372. 74. 15. 962455237.
47. 15. 734322510. 75. 0. 965925827.
48. 0. 743144825. 75. 45 969230910.
48. 45. 751839807. 76. 30. 972369920.
49. 30. 760405965. 77. 15. 975342320.
50. 15. 768841832. 78. 0. 978147602.
51. 0. 777145962. 78. 45 980785280.
51. 45. 785316932. 79. 30. 983254908.
52. 30. 793353340. 80. 15. 985556085.
53. 15. 801253813. 81. 0. 987688340.
54. 0. 809016995. 81. 45 989651387.
54. 45. 816641555. 82. 30. 991444862.
55. 30. 824126188. 83. 15. 993068457.
56. 15. 831469612. 84. 0. 994521895.
57. 0. 838670568. 84. 45 995804928.
57. 45. 845727772. 85. 30. 996917333.
58. 30. 852640163. 86. 15. 997858923.
59. 15. 859406412. 87. 0. 998629535.
60. 0. 866025403. 87. 45 999229037.
60. 45. 872496008. 88. 30. 999657323.
61. 30. 878817113. 89. 15. 999914327.
62. 15. 884987637. 90. 0. 1000000000.
NV hebben wy hier wel een tafel der houckmaten van 45 tot 45 eersten, maer wantmen noch deur halvinghe noch aftreckinghe der voorgaende manieren, gheen ander houckmaten als die crijghen en can, eindende op gantsche eersten, soo sullen wy deur t' volghende, ander middel verclaeren, eerst beschrijvende dit vertooch, t' welck ons totter bewijs dienen sal.

1 VERTOOCH. 8 VOORSTEL.
W E S E N D E int vierendeel rondts vande uytersten van even boghen ghetrocken hanghende linien opde [pag. 13] grontsijde: De hanghende naest de staende sijde, begrijpen de grootste deelen der grontsijde.
T GHEGHEVEN. Laet ABC een vierendeel rondts wesen, ende daer in twee even boghen DE, EF, van welcker uytersten ghetrocken sijn de hanghende linien DG, EH, FI, op de grontsijde AC: Ende GH, HI sijn deelen der grontsijde begrepen tusschen de hanghende linien.
T BEGHEERDE. Wy moeten bewijsen dattet deel HG naest de staende sijde AB, grooter is dant deel HI.
T BEREYTSEL. Laet ghetrocken worden de pezen der twee bogen DE, EF, ende op de selve als middellijnen beschrev sijn de ronden DKE, ELF: Daer na EK rechthouckich op DG, ende FL rechthouckich op EH. Laet daer na beschreven worden het halfrondt BCM, oock DG e EH voortghetrocken sijn tot N en O, inden booch CM. T BEWYS. Want de booch EN grooter is dan de booch FO, soo is den houck EDK grooter dan den houck FEL, daerom oock is de booch FI, ende vervolghens haer peez KE, grooter dan de peez LF: Maer GH is even an KE, ende HI an LF, daerom GH grooter dan HI.
T BESLVYT. Wesende dan int vierendeelronts vande uytersten van even boghen, ghetrocken hanghende linien op de grontsijde, De hanghende naest de staende sijde, begrijpen de grootste deelen der grondtsijde, 't welck wy bewijsen moesten.

8 WERCKSTVCK. 9 VOORSTEL.

D O E N D E de halfmiddellijn eens rondts 10000000: Te vinden de langde des houckmaets van 1 trap, ende haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 1 tr. tot datmen comt op oneven eersten.

T GEHGHEVEN. Laet ABC een vierendeelrondts wesen, diens middellijn AC doet 1000000000, ende BE sy houckbooch van 1 trap 30 , diens houckmaet DE doet als vooren blijckt 26176948. Laet voort BF doen 45 , ende BG 1 tr. daer na ghetrocken worden FH e GI rechthouckich op DE: [pag. 14] T' welck soo wesen, DH is houckmaet, oft immers even ande houckmaet van 45 , ende DI houckmaet van 1 tr. Laet voort de booch BF ghedeelt sijn in drie even deelen, mette punten K, L, ende den booch GE in twee even deelen mettet punt M, ende ghetrocken worden in de linien KN, LO, MP, rechthouckich op DE.

T BEGHEERDE. Wy moeten hier mede vinden de langde der houckmaet 1 tr. ende haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 1 tr. tot datmen comt op oneven eersten, ende dit van een rondt diens halfmiddellijn 1000000000.

T WERCK.
DH is houckmaet van 45 doende als vooren blijckt 13089622.
Het derdendeel van dien is 4363207.
T'selve derdendeel is meerder dan OH toecomt, deur het 8 voorstel, ende deur noch stercker reden meerder als HI toecomt: T' welck soo wesende ick vergaer dat derddeel tot DH 13089622 eerste in d'oirden, ende maeckt een ghetal meerder dan de houckmaet eens traps DI toecomt van 17452829.
Dit soo sijnde, ick stel hier de houckmaet van DE 1 tr. 30 doende hier vooren 26176948.
Daer afghetrocken DH 13089622 eerste in d'oird, blijft voor HE 13087326.
Het derdendeel van dien is 4362442.
T'selve derdendeel is minder dan HI toecomt, deur het 8 voorstel: T' welck soo wesende, ick vergaer dat derddeel tot DH 13089622 eerste in d'oirden, comt een ghetal minder dan de houckmaet eens traps DI toecomt. 17452064.
Maer int derde des oirdens is bethoont dat 17452829 een ghetal is meerder dan de selve DI toecomt: Daerom DI is minder dan 17452829, ende meerder dan 17452064. Dit soo wesende ick seg aldus: Anghesien wy in dese boochtafel alleenlick soucken de reden der houckmaten in groote ghetalen, die vande ware ontrent de eenheyt meughen verschillen, ende dat 1000000000 voor halfmiddellijn totte ghemeene ghebruyck ghenouch is, soo treck ick ten eersten vande heele houckmaet 1000000000, de twee laetste letters, blijft 10000000.
Daer na de twee laetste letters van 17452829 derde in d'oirden, blijft 174528.
S'ghelijcx de twee laetste letters van 17452064, blijft 174520, ofte om dat 1 meer noch naerder is, blijft, segh ick 174521.
Tusschen welcke twee ghetalen als 174528, 174521, neghende ende tiende in d'oird, de langde der houckmaet van 1 tr. is, des rondts diens halfmiddellijn 10000000. Dit soo wesende, tis betamelick voor de begheerde houckmaet van 1 tr. te nemen het middelghetal tusschen beyden, als 174524.
[pag. 15]

OM NV TE VINDEN DE HOVCKMAET DES
SCHILBOOCHS EENS TRAPS,
TE VVETEN VAN 89 tr.

Ick vinde deur het 1 voorstel de schilboochs houckmaet vande booch der boveschreven 17452829 (grooter sijnde dan een trap toecomt) te doen 999847688.
Ick vinde oock de schilboochs houckmaet vande boveschreven 17452064 (cleender sijnde dan 1 tr. toecomt) te doen 999847702.
Daerom de houckmaet van 89 tr. diens halfmiddellijn 1000000000, is grooter dan t'eerste ghetal, ende cleender dant tweede: Doch van elck ghetal ghetrock de twee laetste letters, blijft elck (totte halfmiddellijn van 10000000) voor begheerde houcmaet van 89 tr. 9998477.

OM NV TE VINDEN DE HOVCK-
MAET VAN 30 .

Ick treck de boveschreven 999847688 (cleender sijnde dan 89 tr. toecomt) vande halfmiddellijn 1000000000, blijft pijl 152312: Tusschen de selve en 500000000, ghevonden het middeleveredich ghetal, comt een ghetal (cleinder sijnde dan 30 toecomt) van 8726363.
Ten anderen ick treck de boveschreven 999847702 (grooter sijnde dan 89 tr. toecomt) vande halfmiddellijn 1000000000 blijft pijl 152298: Tusschen de selve ende 500000000, t' middeleveredich ghetal comt een ghetal (meerder sijnde dan 30 toecomt) van 8726740.
Daerom de houckmaet van 30 diens halfmiddellijn 1000000000, is grooter dant eerste ghetal ende cleender dant tweede: Doch van elck ghetrocken de twee laetste letters, blijft het een ghetal 87264, t'ander 87267, tusschen welcke de houckmaet van 30 is, des ronts diens halfmiddellijn 10000000. Dit soo wesende, tis betamelick voor de begheerde houckmaet van 30 te nemen een middelgetal tusschen beyden, als 87266 of 87265 latet wesen 87265.
Ende op de selve wijse met d'ander voortgaende men vint de houcmaet van 89 tr. 30 van 9999619.
Ende de houcmaet van 15 43632.
Sulcx dat my dan de vier eerste houckmaten van 15 tot 15 bekent sijn, als volcht.
0. 15. 43632.
0. 30. 87266.
0. 45. 130896.
1. 0. 174524.
OM nu te crijghen de volghende houckmaten van 15 tot 15 tottet einde des tafels, men soude daer toe comen deur t' vinden der schilboochs houckmaeten, ende deur halving der vier voorgaende houckmaten, tot datmen overal comt op oneven eersten: Doch ghemerckt datter deur de voortganck der overschotten een lichter wech is, soo sullen wy die verclaren als volght:
LAET tusschen de bekende houckmaten van 1 tr. ende van 1 tr. 30 . Dats tusschen 174524, ende 261769, te vinden sijn de houckmaet van 1 tr. 15 . Om daer toe te comen, ick stel nevens yder houckmaet haer overschot datse meerder is dan haer volghende houckmaet, als hier na. [pag. 16]
0. 15. 43632. 43633.
0. 30. 87266. 43631.
0. 45. 130896. 43628.
1. 0. 174524.
ALWAER blijckt dattet tweede overschot 2, cleender is dant eerste, ende het derde overschot 3, cleender is dan het tweede. Nu volghende dese voortganck, soo sal het vierde overschot van 1 tr. 15 , moeten 3 of 4 cleender sijn dan het derde, latet 3 sijn: Maer het derde overschot was 43628, het vierde dan sal moeten sijn 43625: Nu aanghesien het vierde overschot soo veel moet doen, soo vergaer ick t' selve tot 174524 houckmaet van 1 tr. comt de houckmaet van 1 tr. 15 . 218149. Dese twee houckmaten stel ick nu by d'ander, mettet overschot daer nevens, ende mijn tafel sal dan dus verre wesen:
0. 15. 43632. 43633.
0. 30. 87266. 43631.
0. 45. 130896. 43628.
1. 0. 174524. 43625
1. 15. 218149. 43620
1. 30. 261769.
MAER dat dese houckmaet van 1 tr. 15 recht is, daer verstreckt my noch dit tot proef toe: Het vijfde overschot, te weten 43620, is 5 cleender dan het vierde overschot, na t'behooren.
ONS tafel dus verre sijnde, soo restender noch de volghende houckmaten van 15 tot 15 ghevonden te worden, inde welcke men mette overschotten mach wercken ende voortvaren als boven: Doch tot noch meerder sekerheyt, sullen wy een reghel verclaren deur welcke bekent wort het overschot vande laetste houckmaet boven d'eerste, der twee onbekende hockmaten die tusschen twee bekende ghesocht worden. Laet by voorbeelt te stellen sijn de twee onbekende houckmaten van 1 tr. 45 , ende van 2 tr. dieder comen moeten tusschen de twee bekende houckmaten van 1 tr. 30 , ende 2 tr. 15 . Om hier te vinden het overschot des houckmaets van 2 tr. boven die van 1 tr. 45 , ick segh aldus:
De houckmaet van 2 tr. 15 doet 392598.
Daer af ghetrocken de houckmaet avn 1 tr. 30 doende 261769.
Rest 130829.
Daer af het derdendeel doet 43610.
Ende soo veel sal t'overschot der houckmaet van 2 tr. moeten sijn boven de houckmaet van 1 tr. 45 , ghelijck inde volghende tafelen oock te sien is.
NA de boveschreven manier dan voortgaende, men sal een tafel hebben van 15 tot 15 , waer in comen al de houckmaten met haer schilboochs houckmaten, spruytende uyt halving van een trap, tot datmen comt op oneven eersten. BESLUYT. Doende dan de halfmiddellijn eens rondts 10000000, wy hebben ghevonden de langde des houckmaets van 1 tr. en haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten, spruytende uyt halving der selve 1 tr. tot datmen comt op oneven eersten, na den eysch.

VERSEKERING op eenich tvvijffel dat vande voorgaende vvercking ymant ontmoeten mocht.
ANGHESIEN dat ymant voorvallen mocht te willen ondersoucken t'gene ick ondersocht heb, ende op dat ick van t'selve ondersochte met een gedachtenis [pag. 17] behoude, soo sullen wy daer af wat verclaring doen. Het is dan te weten, dat ick verdocht hadde een manier van wercking, deur welcke men niet en soude hebben behouven te verliesen de twee laetste letters der halfmiddellijn, diemen in dit 9 voorstel verlooren heeft, waer toe mijn voornemen was tegheraken met ghehalfde boghens houckmaten te vinden, soo lang gheduerende, tot dat de ghevonden houckmaet waer den helft des houckmaets van het dobbel haers boochs. Om t'welck by voorbeelt te verclaren, wy sullen hier stellen de houckmaten ghevonden deur gheduerighe halving beginnende van 48 tr. tot datmen comt op 45 , welcke hier voren ghevonden sijn als hier onder.
tr.
48. 0. 743144825.
24. 0. 406736643.
12. 0. 207911692.
6. 0. 104528463.
3. 0. 52335957.
1. 30. 26176948.
0. 45. 13089622.
AL waer blijckt dat elcke volghende houckmaet, by den helft is van haer voorgaende, en hoemen langer met sulcke halving voortgaet, hoe elck den helft van sijn voorgaende naerder is, want naerder is 13089622 den helft v sijn voorgaende 26176948, dan de selve 26176948 van sijn voorgaende 52335957, en alsoo voort met d'ander. Nu dan met sulcke halving voortvarende, ick heb de houckmaet des helfts van 45 , dats van 221/2 , en van d'ander helften bevonden als hier onder.
221/2 6544959.
111/4 3272537.
55/8 1636306.
213/16 818229.
113/32 409267.
45/64 204939.
45/128 102469.
45/256 54772.
AL waer blijckt dat elck den helft van sijn voorgaende niet ordentlick en naerdert, ghelijckmen sonder ondersouck der saeck wel soude vermoet hebben, want 204939 is meer dan de helft van sijn voorgaende, E 102469 is den helft van sijn voorgaende, maer 54772 is wederom meerder, Inder voug dat die ghetalen valsch sijn, want de houckmaten dier bogen sulcke langde niet en hebben.
OM nu hier af d'oirsaek te verclaren, die is dusdanich: Soo lang de pijl even of grooter is dan 500000000, helft der halfmiddellijn daer den pijl in elcke wercking me ghemenichvuldicht wort, soo lang isser sekerheyt tot io de laetste letter des houckmaets. Als by voorbeelt, soo den pijl waer 500000000, even an de helft der halfmiddellijn, die twee ghetalen ghemenichvuldicht, en daer uyt de viercantsijde ghetrocken, sy soude doen 500000000. Maer soo den waren pijl omtrent de eenheyt grooter of cleender had gheweest, ghelijckt d'ander pijlen ghebeurt, en ghedaen had, neem ick, 500000001, die ghemenichvuldicht met 500000000, en van den uytbreng de viercantsijde ghetrocken, wort bevonden te wesen ten naesten oock van 500000000 alsvooren. En den pijl noch grooter sijnde, soo sal sulck verschil om sterker reden noch cleender vallen dan hier boven: Inder voughen dat wanneer (ghelijck wy gheseyt hebben) den pijl even of [pag. 18] grooter is dan 500000000, so lang isser sekerheyt tot op de laetste letter der houckmaet. Maer dien pijl cleender wesende, dan isser onsekerheyt, die met cleender en cleender pijlen meerder en meerder wort. Om t' welck by voorbeelt te verclaren, ick segh aldus: Doen gevonden wiert het boveschreven laetste getal van 54772, de pijl had gheweest 6, welcke ghemenichvuldicht met 500000000, quam 3000000000, diens vierkantsijde de boveschreven 54771: Maer soo den waren pijl omtrent de eenheyt grooter of cleender had gheweest (ghelijckt daer voor te houden is datse was) ick neem van 5, en daer me de reghel gevolght, die menichvuldigende met 500000000, comt 2500000000, wiens viercantsijde 50000 voor houckmaet, welcke veel verschilt van d'eerste ghevonden 54772: Dit soo wesende, en ghemerckt dat in al d'ander pijlen gheen acht ghenomen en is op sulcke haer cleenheyt, soo mochtet in twijffel ghestelt worden, of daer uyt gheen onsekerheyt der houckmaten in de voorgaende werckingen ghevolcht en is: Om dit t'ondersoucken, en te bewijsen dat alles vast gaet, ick segh aldus: Doemen socht de houckmaet van 45 , men hadde pijl 342677, die gemenichvuldicht met 500000000, en vanden uytbreng ghetrocken viercantsijde, de selve dede 13089633, doch latet sijn als hier boven na Regiomontanus schrijven 13089622. Maer soo den waren pijl omtrent de eenheyt grooter of cleender had gheweest, gelijckt oock daer vooren te houden is, ick neem 1 cleender, sy doet dan 342676, die ghemenichvuldicht mette 500000000, en vanden uytbreng de viercantsijde ghetrocken, wort bevonden ten naesten van 13089614, wiens twee laetste letters 14, een ander ghetal sijnde dan de twee laetste letters 22 of 33 hier boven, soo blijcket datter op die twee laetste letters der houckmaet van 45 gheen sekerheyt en was: Maer de selve twee laetste letters wierden om ander reden in dit 9 voorstel afghesneden, daerom de rest der letters als 130896, die inde tafel staen, sijn ten naesten de ware houckmaet des ronts, welverstaende, diens halfmiddellijn oock vande twee laetste letters vercort wiert. Angaende yemant twijffelen mocht dat de ware pijl meer dan een eenheyt cleender was dan 342677, ick neem 4 cleender, te weten van 342673, noch en soudet op de derde letter 6 gheen volcomen eenheyt verandering brenghen, want de selve 342673 ghemenichvuldicht met 500000000, en vanden uytbreng viercantsijde ghetrocken, sy doet 13089556: Nu dan hier deur gheen faute ghevallen sijnde opde allercleenste houckmaet der ghene dieder ghevonden waren, te weten van 45 , soo en salder deur noch stercker reden, gheen faute sijn op al d'ander grooter houckmaten, want haer schilboochs pijlen grooter sijn.
MEN siet hier oock datmen de boveschreven twee laetste letters, niet alleen en moest verlaten om de redenen die int werck van dit 9 voorstel gebleken sijn, maer oock om dese laetste reden.

9 WERCKSTVCK. 10 VOORSTEL.

T O T T E voorgaende ghevonden houckmaten van 15 tot 15 : Te vinden de ghebrekende houckmaten van eerste tot eerste.
WY hebben int 9 voorstel ghevonden de houckmaet van 30 te doen 87265, ende van 15 , 43632, alwaer blijckt dat ghelijck de houckmaet doende 15 , den helft is vande houckbooch doende 30 , alsoo is diens houckmaet 43632, oock den helft van desens houckmaet 87265: Daerom sal door noch stercker reden (ghelijck bethoont can worden deur het 8 voorstel) 10 , sijnde [pag. 19] het derdendeel van de selve 30 , hebben een houckmaet wesende oock het derdendeel van 87265, te weten 29088. Ende vervolghens 5 sijnde het sestendeel van 30 , sal tot houckmaet hebben het sestendeel van 87265, te weten 14544: Sulcx dat my nu bekent sijn de drie eerste houckmaten van 5 tot 5 , te weten van 5 , 10 ende 15 . Om nu te vinden de houckmaten van 20 en 25 , ick stelle de bekende met haer overschotten als volght:
0. 5. 14544. 14544.
0. 10. 29088. 14544.
0. 15. 43632. 14544.
0. 20.
0. 25.
0. 30. 87265.
NV volghende de boveschreven reghel der overschotten des 9 voorstels, t'is kennelick dat de 20 sullen een houckmaet moeten hebben van 58177, ende de 25 van 72721. Ende soo voortgaende men sal een boochtafel crijghen van 5 tot 5 , ende dat tot 90 trappen toe.
INDER voughen datter nu noch resten gevonden te worden de gebrekende houckmaten van eerste tot eerste: Om daer toe te commen ick segh aldus: Het blijckt hier boven dat gelijck de houckbooch doende 5 , helft is vande houckbooch doende 10 , alsoo is diens houckmaet 14544, oock den helft van deses houckmaet 29088, daerom sal door noch stercker reden (ghelijck bethoont can worden deur het 8 voorstel) 1 , sijnde het vijfdedeel vande 5 , hebben een houckmaet wesende oock het vijfdedeel van 14544, te weten 2909, ende vervolghens 2 sal hebben 5818: Voort 3 8727, ende 4 11636: Hier mede salmen deur bedeylinghe der overschotten meughen voortvaren alsboven. Doch tot noch meerder sekerheyt, sullen wy een reghel verclaren, deur welcke bekent wort het overschot vande derde houckmaet boven de tweede der vier onbekende houckmaten, die tusschen twee bekende ghesocht worden:
LAET by voorbeelt te stellen sijn de vier onbekende houckmaten dieder commen moeten tusschen 87 tr. ende 87 tr. 5 : Om hier te vinden het overschot der ghesochte derde houckmaet van 87 tr. 3 , boven de ghesochte tweede houckmaet van 87 tr. 2 , Ick segh aldus:
De houckmaet van 87 tr. 2 doet 9987045.
Daer afghetrocken de houckmaet van 87 tr. doende 9986295.
Rest 750.
Daer af het vijfde deel doet 150.
Ende soo veel sal t'overschot der houckmaet van 87 tr. 3 , moeten sijn boven de houckmaet van 87 tr. 2 .
De houckmaeten alsoo altemael beschreven sijnde van eerste tot eerste, de tafel der houckmaten sal volmaeckt wesen ghelijk hier achter te sien is.
TBESLVYT. Wy hebben dat totte voorgaende ghevonden houckmaten van 15 tot 15 , ghevonden de ghebrekende houckmaten van eerste tot eerste, na den eysch. [pag. 20]




. . . Hier volgen de tabellen . . .




[pag. 58]

DE tafel der houckmaten aldus beschreven sijnde, wy sullen haer ghebruyck verclaren als volght.

10 WERCKSTVCK. 11 VOORSTEL.

W E S E N D E ghegheven een bekende booch: Deur de tafel der houckmaten haer houckmaet te vinden.

I Voorbeelt eens ghegheven boochs met .
TGHEGHEVEN. Laet de bekende booch sijn van 37 tr. 54 .
TBEGHEERDE. Wy moeten door de voorgaende tafel haer houckmaet vinden.

TWERCK.
Tis voor al te weten dat de bovenste ghetalen van yder sijde des tafels trappen bedien, ende d'eerste pilaer ter slincker sijde , Twelck soo sijnde, ick souck inde bovenste ghetalen der sijden den 37 tr. dien ghevonden hebbende, ick souck inde eerste pylaer ter slincker sijde 54 , ende t' ghetal in haer ghemeenen houck als 6143853, is t' begheerde.

I Voorbeelt eens ghegheven boochs met .
TGHEGHEVEN. Laet de bekende booch sijn van 37 tr. 54 46 .
TBEGHEERDE. Wy moeten door de voorgaende tafel haer houckmaet vinden.

TWERCK.
Ick vinde voor al de houckmaet van 37 tr. 54 te doen alsboven 6143853.
Die ghetrocken vande eerstvolgende houckmaet, dats van 37 tr. 55 doende 6145148.
Blijft voor de verhooghing op 1 tot die plaets 1295.
Nu segh ick, 1 of 60 , gheven 1295. derde in d'oirden, wat de ghegheven 46 ? Comt 993.
Die vergaert tot 6143853 eerste in d'oirden, comt voor t'begheerde 6144846.
Waer af t'bewijs deur twerck openbaer is.
TBESLVYT. Wesende dan ghegheven een bekende booch, wy hebben deur de tafel der houckmaten haer houckmaet ghevonden, na den eysch.

I VERVOLGH.
ANGHESIEN een ghestelde booch ende haer halfrontvervulling een selve houckmaet hebben deur de 2 bepaling, soo is deur t'voorgaende openbaer hoemen vinden sal de houckmaet eens ghegheven plomphoucx: Laet by voorbeelt sulcken plomphouck sijn van 142 tr. 6 : Om haer houckmaet te vinden ick treckse van 180 tr. blijft 37 tr. 54 , diens houckmaet deur het 11 voorstel doet voor t'begheerde 6143853.

2 VERVOLGH.
DEVR t'voorgaende is kennelick hoe ghevonden sal worden de schilboochs houckmaet van een ghegheven booch. Laet by voorbeelt te vinden sijn de schilboochs houckmaet van 52 tr. 6 : Ick treck die van 90 tr. blijft 37 tr. 54 , [pag. 59] diens houckmaet deur het 11 voorstel doet voor t'begheerde 6143853. Laet andermael te vinden sijn de schilboochs houckmaet van een booch grooter dan 90 tr. als neem ick van 127 tr. 54 ; Ick treck daer af 90 tr. blijft haer verschil 37 tr. 54 , diens houckmaet deur het 11 voorstel doet voor t'begheerde 6143853.

11 WERCKSTVCK. 12 VOORSTEL.

W E S E N D E ghegheven een bekende houckmaet: Deur de tafel der houckmaten haer booch te vinden.

TGHEGHEVEN. Laet de bekende houckmaet sijn 5765834.
TBEGHEERDE. Wy moeten haer booch deur de voorgaende tafel vinden.

TWERCK.
Ick souck t'ghegheven ghetal 5765834 inde tafel ten naesten, bevinde dat onder den 35 tr. nevens de 12 : Waer uyt ick besluyt den booch der ghegheven houckmaet te sijn van 35 tr. 12 , t' welck inde daet dickwils na ghenouch is: Doch soomen daer by noch de begheert men sal aldus segghen:
Op 35 tr. 12 overcommen 5764323.
Die ghetrocken vande ghegheven houckmaet 5765834.
Blijft 1511.
De houckmaet van 1 meerder dan 35 tr. 12 , dats van 35 tr. 13 , wort bevonden van 5766700.
Daer afgetrocken 5764323 eerste in d'oirden, blijft op de vermeerdering van 1 , dats van 60 , tot dees plaets 2377.
Nu segh ick, vermeerdering 2377 gheeft 60 deur het vijfde des oirdens, wat vermeerdering 1511 derde in d'oirden? Comt ten naesten 2 .
Die vergaert totte eerst ghevonden 35 tr. 12 , comt voor begheerde booch met 35 tr. 12 30 .
Ende soo salmen voort varen om derden ende vierden te vinden.
Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.
TBESLVYT. Wesende dan ghegheven een bekende houckmaet, wy hebben deur de tafel der houckmaten haer booch ghevonden, na den eysch.

12 WERCKSTVCK. 13 VOORSTEL.

W E S E N D E ghegheven een bekende booch: Deur de tafel der houckmaten haer peez te vinden.

TGHEGHEVEN. Laet de bekende booch sijn van 75 tr. 48 .
TBEGHEERDE. Wy moeten haer peez vinden.

TWERCK.
Den helft des ghegheven boochs doet 75 tr. 54 .
Diens houckmaet deur het 11 voorstel 6143853.
Het dobbel van dien voor de begheerde peez 12287706.
TBEWYS. Laet in d'eerste bepaling CEH de ghegheven booch sijn van 75 tr. 48 , CH haer peez: Om die bekent te maken, men nam CE helft van [pag. 60] CEH, diens hoekmaet CG is, ende het dobbel van diens dats CH, moest voor de begheerde peez sijn, ghelijk int werck. TBESLVYT. Wesende dan ghegheven een bekende booch, wy hebben deur de tafel der houckmaten haer peez ghevonden, na den eysch.

VERVOLGH.
Deur verkeerde wech van t'voorgaende, is kennelick hoemen van een ghegheven peez deur de tafel der houckmaten haer booch sal vinden: Als by voorbeelt, de ghegheven peez sijnde van 12287706.
Ick neem haer helft die doet houckmaet 6143853.
Wiens booch 37 tr. 54
Diens dobbel voor de begheerde booch 75 tr. 48

13 WERCKSTVCK. 14 VOORSTEL.

W E S E N D E ghegheven een bekende booch of houck: Deur de tafelen der houckmaten haer houckmaetpijl te vinden.

I Voorbeelt eens ghegheven boochs of houcx cleender dan 90 tr.
TGHEGHEVEN. Laet de bekende booch of houck sijn van 37 tr. 54 .
TBEGHEERDE. Wy moeten deur de voorgaende tafel der houckmaten haer houckmaetpijl vinden.

TWERCK.
Schilboochs houckmaet der ghegheven 37 tr. 54 , dats houckmaet van 52 tr. 6 , doet deur het 11 voorstel 7890841.
Die ghetrocken van rechthoucx houckmaet 10000000
Blijft voor de begheerde houckmaetpijl 2109159.


2 Voorbeelt eens ghegheven boochs of houcx grooter dan 90 tr.
TGHEGHEVEN. Laet de bekende booch of houck sijn van 142 tr. 6 .
TBEGHEERDE. Wy moeten deur de voorgaende tafel der houckmaten haer houckmaetpijl vinden.

TWERCK.
Schilboochs houckmaet der ghegheven 142 tr. 6 , dats houckmaet van 52 tr. 6 , doet deur het 11 voorstel 7890841.
Dae toe vergaert rechthoucx houckmaet 10000000
Comt voor de begheerde houckmaetpijl 17890841.
TBEWYS.
Laet de booch BC of houck BAC in d'eerste bepaling, doen de ghegheven 37 tr. 54 des 1 voorbeelts, diens houckmaet FC, en haer begheerde pijl FB. Om die bekent te maken, ick souck CG schilboochs houckmaet der ghegheven BC, die ghevonden sijnde van 7890841, ick heb oock AF, om datse even is met [pag. 61] CG, de selve AF 7890841 ghetrocken van de halfmiddellijn AB doende 10000000, datter blijft, te weten 2109159 moet voor de begheerde houckmaetpijl FB sijn.
Laet andermael de booch CD of houck CAD doen de ghegheven 142 tr. 6 des 2 voorbeelts, diens houckmaet FC, en haer begheerde pijl FD. Om die bekent te maken, ick souck CG schilboochs houckmaet der ghegeven CD. Die ghevonden sijnde van 7890841, ick heb oock AF, om datse even is met CG, de selve AF 780841 vergaert totte halfmiddellijn AD doende 10000000, de somme te weten 17890841, moet voor de begheerde pijl FD sijn.
TBESLVYT. Wesende dan ghegheven een bekende booch of houck: Wy hebben deur de tafelen der houckmaten haer houckmaetpijl ghevonden, nae den eysch.

VERVOLGH.
T'ghebruyck vande tafel der houckmaten aldus voleynt sijnde, sullen nu commen tottet

MAECKSEL VANDE TAFEL
DER
RAECKLYNEN.

Deur verkeerde wech van t' voorgaende is kennelick hoemen van een ghegheven houckmaetpijl deur de tafelen der houckmaten haer booch of houck sal vinden: Als bij voorbeelt de ghegheven houckmaetpijl sijnde cleender dan 10000000, ick neem van 2109159.
Ick treck die van rechthoucx houckmaet 10000000.
Blijft houckmaet 7890841.
Diens booch 52 tr. 6 , ghetrocken van 90 tr. blijft voor de begheerde booch of houck 37 tr. 54 .
Laet andermael ghegheven houckmaetpijl grooter sijn dan 10000000, ick neem van 17890841.
Ick treck daer af des rechthoucx houckmaet 10000000.
Blijft houckmaet 7890841.
Diens booch 52 tr. 6 , vergaert tot 90 tr. comt voor de begheerde booch of houck 142 tr. 6 .
14 WERCKSTVCK. 15 VOORSTEL.

W E S E N D E ghegheven een booch des rondts diens halfmiddellijn 10000000: Door rekening haer raecklijn te vinden.

TGHEGHEVEN. Laet den booch sijn van 25 tr. diens ronts halfmiddellijn 10000000. TBEGHEERDE. Wy moeten door de rekening de raecklijn vinden.

TWERCK.
Schilboochs houckmaet der ghegheven 25 tr. doende deur het 2 vervolgh des 11 voorstels 9063078, gheeft 4226183 houckmaet der ghegheven 25 tr. deur het [pag. 62] 11 voorstel, wat 10000000 halfmiddellijn des ronts? Comt voor begheerde raeklijn 4663077. TBEWYS. Laet inde form der eerste bepaling BC beteyckenen de ghegheven 25 tr. diens houckmaet FC, raecklijn BI, ende CE schilbooch van BC sal doen 65 tr. diens houckmaet GC of FA, ende AB des ronts halfmiddellijn. Dit soo wesende, ick seg dat ghelijck AF tot FC, alsoo AB tot BI, reden dat AFC en ABI twee ghelijcke driehoucken sijn: Daerom alsmen wil vinden de raecklijn BI des boochs BC 25 tr. datmen dan seght AF 9063078 schilboochs houkmaet der ghegheven 25 tr. gheeft FC 4226183 houckmaet der ghegheven 25 tr. wat AB 10000000 halfmiddellijn des rondts? T'gene daer uyt comt, te weten 4663077, moet voor de begheerde raecklijn BI wesen: Maer sulcx is de voorgaende wercking, daerom sij is recht.
TBESLVYT. Wesende dan ghegheven een booch des rondts diens halfmiddellijn 10000000, wy hebben door rekening haer raecklijn ghevonden, na den eysch.

VERVOLGH.
GHELYCK hier ghevonden is de raecklijn van 25 tr. alsoo ist kennelick dat ghevonden sal worden de raecklijn van alle ghegheven booch des vierendeelronts, waerdeur openbaer is t'maecksel vande tafel der raecklijnen hier na volghende.



[pag. 63]





. . . Hier volgen de tabellen . . .




[pag. 100]

DE tafel der raecklijnen aldus beschreven sijnde, wy sullen haer ghebruyck verclaren als volght.

15 WERCKSTVCK. 16 VOORSTEL.

W E S E N D E ghegheven een bekende booch: Deur de tafel der raecklijnen haer raecklijn te vinden.

TGHEGHEVEN. Laet de bekende booch sijn van 37 tr. 54 .
TBEGHEERDE. Wy moeten deur de voorgaende tafel der raecklijnen haer raecklijn vinden.
TWERCK.
Ick souck inde bovenste ghetalen der sijden inde tafel der raecklijnen den 37 tr. dien gevonden hebbende, ick souck inde eerste pilaer ter slincker sijde 54 , ende t'ghetal in haer ghemeenen houck als 7784787 is t'begheerde, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. TBESLVYT. Wesende dan ghegheven een bekende booch, wy hebben deur de tafel der raecklijnen haer raecklijn ghevonden, na den eysch.

VERVOLGH.
GHELYCK de manier van t'vinden deser raecklijn, geen verschil en heeft van t'vinden der houckmaet in des 11 voorstels eerste voorbeelt, also en heeftse geen verschil van t'vinden int t'weede voorbeelt, met datter int 1 en 2 vervolgh ghevonden wort: Waer deur kennelick is hoemen doen sal als de ghegheven booch heeft: S'ghelijcx alsser te vinden is de raecklijn, van een plomphouck, oock de raecklijn vande schilbooch des ghegheven boochs. Voort ghelijck int 14 voorstel deur de ghegheven houckmaet heur booch ghevonden wiert, alsoo ist kennelick hoemen deur de ghegheven raecklijn haer booch oock vinden sal.

Tghebruyck vande tafel der raecklijnen aldus voleynt sijnde, sullen nu commen tottet

MAECKSEL VANDE TAFEL
DER
SNYLYNEN.

16 WERCKSTVCK. 17 VOORSTEL.

W E S E N D E ghegheven een booch des rondts diens halfmiddellijn 10000000: Door rekening haer snylijn te vinden.

TGHEGHEVEN. Laet den booch sijn van 25 tr. diens ronts halfmiddellijn 10000000. TBEGHEERDE. Wy moeten door rekening haer snylijn vinden.
TWERCK.
Ick souck de raecklijn der ghegheven 25 tr. bevinde die deur de tafel 4663081. [pag. 101]
De schilbooch der ghegheven 25 tr. is 65 tr. daer af den helft doet 32 tr. 30 , diens raecklijn 637072.
Welcke vergaert tot 4663081 eerste in d'oirden, comt voor begheerde snylijn 11033783.
T'bereytsel van t'bewijs. Laet ABC een halfront sijn, diens middelpunt D ende AB een vierendeel ronts, BE de ghegheven 25 tr. diens raecklijn BF, snylijn DF, ende AE schilbooch der ghegheven EB, welcke AE ghedeelt is int midden an G, ende BH sy even ghestelt an EG, daer na sy ghetrocken BI raecklijn des boochs BH, welcke BH even sijnde met EG helft des schilboochs AE, soo is de lini FI ghemaeckt vanden helft des schilboochs der ghegheven EB, ghelijck int werck: De selve FI, moeten wy bethoogen even te sijn met DF, snylijn des ghegheven boochs EB.
TBEWYS. Den houck BID is schilhouck van BDI, e GDB schilhouck van ADG, maer BDI is even met ADG deur t'bereystel, daerom haer schilhoucken BID, GBD sijn even: Maer FDI is even met GDB deur t'bereytsel, daerom FDI moet oock even sijn met BID, dats met FID. De driehouck FDI dan twee even houcken hebbende, soo sijn vervolghens haer teghenoversijden FD, EI, oock even, daerom tot een ghegheven boochs raecklijn, vergaert de raecklijn vanden helft haers schilboochs, de somme is voor de ghegheven boochs snylijn, maer sulcx was t'voorgaende werck, daerom t'is goet.
TBESLVYT. Wesende dan ghegheven een booch des rondts diens halfmiddellijn 10000000, wy hebben door rekening haer snylijn ghevonden, na den eysch.

VERVOLGH.
GHELYCK hier ghevonden is de snylijn van 25 tr. alsoo ist kennelick dat ghevonden sal worden de snylijn van alle ghegheven booch des vierendeelronts, waer deur openbaer is t'maecksel vande tafel der snylijnen hier na volghende.



[pag. 102]





. . . Hier volgen de tabellen . . .




[pag. 140]

DE tafel der snylijnen aldus beschreven sijnde, wy sullen haer ghebruyck verclaren als volght.

17 WERCKSTVCK. 18 VOORSTEL.

W E S E N D E ghegheven een bekende booch: Deur de tafel der snylijnen haer snylijn te vinden.

TGHEGHEVEN. Laet de bekende booch sijn van 37 tr. 54
TBEGHEERDE. Wy moeten deur de voorgaende tafel der snylijnen haar snylijn vinden.

TWERCK.
Ick souck inde bovenste ghetalen der sijden inde tafel der snylijnen den 37 tr. dien ghevonden hebbende, ick souck in d'eerste pylaer ter slincker sijde 54 , ende t'ghetal in haer ghemeene houck als 12672924 is t'begheerde, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. TBESLVYT. Wesende dan ghegheven een bekende booch, wy hebben deur de tafel der snylijnen haer snylijn ghevonden, na den eysch.

VERVOLGH.

Ghelijck de manier van t'vinden deser snylijn gheen verschil en heeft van t'vinden der houckmaet in des 11 voorstels 1 voorbeelt, alsoo en heeftse gheen verschil van t'vinden int 2 voorbeelt, met datter int 1 en 2 vervolgh ghevonden wort. Waer deur kennelick is hoemen doen sal als de ghegheven booch heeft: S'ghelijcx alsser te vinden is de snylijn van een plomp houck, oock de snylijn van de schilbooch des ghegheven boochs: Voort gelijck int 14 voorstel deur de ghegheven houckmaet haer booch ghevonden wort, also ist kennelick hoemen deur de ghegheven snylijn haer booch oock vinden sal.

H O V C K M A E T M A E C K S E L S
E Y N D E.