\def\vv{\vert\vert\relax} \def\d{{\rm d}} \def\Tr{{\rm Tr}} \section*{Inleiding} In de komende secties beschouwen we lineaire transformaties van re\"ele en complexe inproduct\-ruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het verband tussen transformatie en inproduct. Het zal blijken dat we daarmee ook eigenschappen kunnen afleiden voor zulke transformaties die met diagonaliseerbaarheid samenhangen. Steeds zullen we een begrip voor re\"ele inproductruimten en een corresponderend begrip voor complexe inproductruimten invoeren, en bovendien begrippen die op de bijbehorende matrices slaan. We moeten ook sterker dan voorheen onderscheid maken tussen eindig- en oneindig-dimensionale vectorruimten. \section{Orthogonale en Unitaire Transformaties} \label{sec:orthuni} Het eerste paar begrippen zal blijken die transformaties te karakteriseren die zowel lengten als hoeken behouden. \begin{dfn}\rm Een lineaire afbeelding $T:V\rightarrow W$ tussen re\"ele inproductruimten heet een {\it isometrie} als geldt dat $$=\quad\textrm{voor alle $v_1, v_2\in V$.}$$ Als $T$ bovendien inverteerbaar is, dan heet $T$ {\it orthogonaal}. \end{dfn} \begin{thm} Zij $T:V\rightarrow W$ een lineaire afbeelding tussen re\"ele inproductruimten met $\dim V=\dim W$ eindig; dan geldt: $$\textsl{$T$ is een isometrie}\quad\iff\quad\textsl{$T$ is orthogonaal.}$$ \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} De ene implicatie is duidelijk; voor de andere moeten we bewijzen dat een isometrie $T$ inverteerbaar is. Omdat $\dim V=\dim W=n<\infty$ volstaat het injectiviteit van $T$ te bewijzen, dat wil zeggen, te laten zien dat $\ker T=\{0\}$. Veronderstel maar dat $Tv=0$; omdat $==0$ moet $v=0$. \begin{dfs}\rm We zeggen dat een lineaire afbeelding $T:V\rightarrow W$ tussen re\"ele inproductruimten {\it lengten behoudt} als geldt $\vv Tv\vv=\vv v\vv$ voor alle $v\in V$; we zeggen dat $T$ {\it hoeken behoudt} als voor elk tweetal $v_1, v_2$ geldt dat de hoek tussen $Tv_1$ en $Tv_2$ gelijk is aan de hoek tussen $v_1$ en $v_2$. \end{dfs} \begin{thm} Een lineaire afbeelding $T:V\rightarrow W$ tussen re\"ele inproductruimten behoudt lengten en hoeken dan en slechts dan als $T$ een isometrie is. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Dit volgt direkt uit de definities van lengte, hoek, en isometrie. \begin{dfn}\rm Een matrix $M\in\Mat_{n\times n}(\R)$ heet {\it orthogonaal} wanneer $M^\t M=I_n$. \end{dfn} \noindent Deze definitie zegt dus dat van een orthogonale $M$ de kolommen een orthonormaal stelsel vormen. De volgende stelling laat zien dat het dubbele gebruik van dezelfde term `orthogonaal' geen misverstand is. \opgave{Opgave}{Geldt voor een orthogonale matrix $M$ dat $M M^\t=I_n$?} \begin{thm} \label{st:ortho} Zij $T$ een lineaire transformatie van de $n$-dimensionale re\"ele inproductruimte $V$. Dan zijn equivalent: \begin{hwitemize} \item[{\rm (i)}] de transformatie $T$ is orthogonaal; \item[{\rm (ii)}] er is een orthonormale basis $\E$ voor $V$ zodat $M_T^{\E}$ een orthogonale matrix is; \item[{\rm (iii)}] de matrix $M_T^{\cal B}$ is orthogonaal voor elke orthonormale basis ${\cal B}$ van V; \item[{\rm (iv)}] $T$ voert orthonormale bases voor $V$ over in orthonormale bases. \end{hwitemize} \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Voor een orthonormale basis ${\cal B}=\{b_1, \ldots, b_n\}$ van $V$ is $< Tb_i, Tb_j>$ het inproduct van twee kolommen van $M_T^{\cal B}$. Als $T$ orthogonaal is, dan is het stelsel $\{Tb_1, \ldots, Tb_n\}$ ook weer orthonormaal, dat wil zeggen, $M_T^{\cal B}$ is een orthogonale matrix. Dus (i) impliceert (iii). De kolommen van $M_T^{\cal B}$ vormen de beelden van $\{b_1, \ldots, b_n\}$ onder $T$; als deze kolommen een orthonormaal stelsel vormen wanneer ${\cal B}$ dat is, voert $T$ kennelijk elke orthonormale basis ${\cal B}$ over in een orthonormale basis $T{\cal B}$. Dat is (iv). Als ${\cal B}$ een orthonormale basis voor $V$ is, dan is $$=<\sum_{i=1}^nv_i b_i, \sum_{j=1}^nw_j b_j>=\sum_{i,j=1}^n v_iw_j=\sum_{i=1}^n v_iw_i.$$ Als (iv) geldt, dan is ook $T{\cal B}=\{Tb_1, \ldots, Tb_n\}$ een orthonormaal stelsel, en $$=<\sum_{i=1}^nv_i Tb_i, \sum_{j=1}^nw_j Tb_j>=\sum_{i,j=1}^n v_iw_j=\sum_{i=1}^n v_iw_i,$$ dat wil zeggen: (i) geldt. Omdat het duidelijk is dat (iii) ook (ii) impliceert, hoeven we tenslotte nog slechts te laten zien dat uit (ii) ook weer (i) volgt. Als $M_T^\E$ orthogonaal is, dan is $T\E$ een orthonormaal stelsel, en volgt voor elk tweetal $v,w\in V$ door ze op basis $\E$ te schrijven dat: $$==\sum_{i,j=1}^n v_iw_j=\sum_{i=1}^n v_iw_i,$$ net als $$=<\sum_{i=1}^n v_ie_i, \sum_{j=1}^n w_je_j>=\sum_{i=1}^nv_iw_i.$$ \opgave{Opgave} {Laat zien dat de orthogonale $n\times n$ matrices over $\R$ een ondergroep vormen van de groep $\Gl_n(\R)$.} \medskip\noindent Het complexe analogon van de orthogonale afbeelding is de unitaire afbeelding; de naam wordt duidelijk uit de eerstvolgende stelling. \begin{dfn}\rm Een lineaire afbeelding $T:V\rightarrow W$ tussen complexe inproductruimten heet een {\it unitaire} afbeelding als geldt dat $$=\quad\textrm{voor alle $v_1, v_2\in V$,}$$ en bovendien dat $T$ inverteerbaar is. \end{dfn} \begin{thm}\label{st:unieig} Voor een eigenwaarde $\lambda$ van een unitaire transformatie geldt: $\vert \lambda\vert=1$. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Laat $\lambda$ eigenwaarde zijn van de unitaire $T$, bij eigenvector $v$. Dan is $$==<\lambda v, \lambda v>=\lambda\overline{\lambda},$$ dus $(1-\lambda\overline{\lambda})=0$. Omdat $v\neq0$ is $\neq0$ en dus $\vert\lambda\vert=1$. \opgave{Opgave}{Bewijs dat de eigenwaarden van een orthogonale afbeelding slechts $\pm1$ kunnen zijn.} \begin{dfn} Een matrix $M\in\Mat_{n\times n}(\C)$ heet {\it unitair} wanneer $\overline{M}^\t M=I_n$. \end{dfn} \begin{thm} Zij $T$ een lineaire transformatie van de $n$-dimensionale complexe inproductruimte $V$. Dan zijn equivalent: \begin{hwitemize} \item[{\rm (i)}] de transformatie $T$ is unitair; \item[{\rm (ii)}] er is een orthonormale basis $\E$ voor $V$ zodat $M_T^{\E}$ een unitaire matrix is; \item[{\rm (iii)}] de matrix $M_T^{\cal B}$ is unitair voor elke orthonormale basis ${\cal B}$ van V; \item[{\rm (iv)}] $T$ voert orthonormale bases voor $V$ over in orthonormale bases. \end{hwitemize} \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Geheel analoog aan \ref{st:ortho}. \bigskip\noindent De volgende stelling laat zien dat unitaire afbeeldingen altijd diagonaliseerbaar zijn. \begin{thm}\label{st:unibas} Zij $T$ een unitaire lineaire transformatie van een eindig-dimen\-si\-o\-na\-le complexe inproduct\-ruimte~$V$. Dan heeft $V$ een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voor $T$. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Met inductie naar de dimensie $n$ van $V$. Als $n=1$ is er niets te bewijzen. Veronderstel dat $n\geq2$; kies een eigenvector $w$ voor $T$ (dat kan altijd omdat we over de complexe getallen werken!). Die kunnen we eventueel normaliseren (tot lengte 1) door door de lengte te delen. Laat $W$ nu de $1$-dimensionale deelruimte van $V$ opgespannen door $w$ zijn. Omdat $w$ eigenvector is en $T$ inverteerbaar, is $T[W]=W$. Beschouw ook $W^\perp$; dan is $T[W^\perp]\subset T[W]^\perp$, want als $u\in W^\perp$ dan $Tu\in T[W]^\perp$ daar $=$. Maar $V=W\oplus W^\perp$ (dit volgt bijvoorbeeld uit Gram-Schmidt orthogonalisatie), zodat $V=T[V]=T[W]\oplus T[W]^\perp= W\oplus T[W]^\perp$ zodat $T$ beperkt tot $W^\perp$ een transformatie van een $n-1$-dimensionale deelruimte is, waarvoor de unitaire eigenschap natuurlijk nog steeds geldt. De orthonormale basis van $W^\perp$ bestaande uit eigenvectoren voor (de beperking van) $T$, die op grond van de inductiehypothese dan bestaat, kan met de genormaliseerde van $w$ aangevuld worden tot zo'n basis voor heel $V$. \section{Symmetrische en Hermitese Transformaties} \label{sec:symherm} \def\vv{\vert\vert\relax} \def\d{{\rm d}} \def\Tr{{\rm Tr}} De volgende begrippen hebben bepaalde symmetrie-eigenschappen ten aanzien van beide argumenten in een inproduct. \begin{dfn}\rm Een lineaire transformatie $T:V\rightarrow V$ van een re\"ele inproductruimte heet een {\it symmetrische} transformatie als geldt dat $$=\quad\textrm{voor alle $v_1, v_2\in V$.}$$ \end{dfn} \begin{thm}\label{st:symeig} Zij $T$ een lineaire transformatie van de $n$-dimensionale re\"ele inproductruimte $V$. Dan zijn equivalent: \begin{hwitemize} \item[{\rm (i)}] de afbeelding $T$ is symmetrisch; \item[{\rm (ii)}] er is een orthonormale basis $\E$ voor $V$ zodat $M_T^{\cal E}$ symmetrisch is; \item[{\rm (iii)}] de matrix $M_T^{\cal B}$ is symmetrisch voor elke orthonormale basis ${\cal B}$ van V. \end{hwitemize} \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Ten opzichte van een orthonormale basis ${\cal B}=\{b_1, \ldots, b_n\}$ van $V$ is $< Tb_i, b_j>=M_{ji}$ en $< b_i, Tb_j>=M_{ij}$, als $M_{kl}$ de $k$-de co\"effici\"ent van de $l$-de kolom van $M=M_T^{\cal B}$ is, en die kolom is $Tb_l$. Als $T$ symmetrisch is, geldt $$M_{ij}=< b_i, Tb_j>=< Tb_i, b_j>=M_{ji},$$ dus $M$ is een symmetrische matrix. Daarom volgt (iii) uit (i). Het is duidelijk dat (ii) uit (iii) volgt. Als (ii) geldt voor de orthonormale basis ${\cal E}=\{e_1, \ldots, e_n\}$ van $V$, dan is $$< Tv, w>=<\sum_{i=1}^n v_iTe_i, \sum_{j=1}^n w_je_j>=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n v_iw_j M_{ji},$$ voor elke $v, w$, en $$< v, Tw>=<\sum_{i=1}^n v_ie_i, \sum_{j=1}^n w_jTe_j>=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n v_iw_j M_{ij}.$$ Beide inproducten zijn gelijk als $M=M_T^\E$ een symmetrische matrix is, en dan is $T$ een symmetrische transformatie. Dus (i) volgt uit (ii). \bigskip\noindent Het complexe analogon van de symmetrische afbeelding is de Hermitese afbeelding. \begin{dfn}\rm Een lineaire transformatie $T:V\rightarrow V$ tussen van een complexe inproductruimte heet een {\it Hermitese} transformatie als geldt dat $$=\quad\textrm{voor alle $v_1, v_2\in V$.}$$ \end{dfn} \begin{thm}\label{st:hermeig} Voor een complexe eigenwaarde $\lambda$ van een Hermitese afbeelding geldt: $\lambda\in\R$. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Laat $\lambda$ eigenwaarde zijn van de Hermitese $T$, bij eigenvector $v$. Dan is $$\lambda=<\lambda v, v>====\overline{\lambda},$$ dus $(\lambda-\overline{\lambda})=0$. Omdat $v\neq0$ is is $\lambda=\overline{\lambda}$. \begin{dfn}\rm Een matrix $M\in\Mat_{n\times n}(\C)$ heet {\it Hermites} wanneer $(M^*=)\overline{M}^\t =M$. \end{dfn} \begin{thm} Zij $T$ een lineaire transformatie van de $n$-dimensionale complexe inproductruimte $V$. Dan zijn equivalent: \begin{hwitemize} \item[{\rm (i)}] de afbeelding $T$ is Hermites; \item[{\rm (ii)}] er is een orthonormale basis $\E$ zodat $M_T^{\cal E}$ Hermites is; \item[{\rm (iii)}] de matrix $M_T^{\cal B}$ is Hermites voor elke orthonormale basis ${\cal B}$ van V; \end{hwitemize} \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Geheel analoog aan \ref{st:symeig}. \bigskip\noindent Ook Hermitese afbeeldingen blijken weer diagonaliseerbaar te zijn. \begin{thm}\label{st:hermbas} Zij $T$ een Hermitese lineaire transformatie van een eindig-dimensi\-o\-na\-le complexe inproductruimte $V$. Dan heeft $V$ een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voor $T$. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Het bewijs is vrijwel gelijk aan dat van \ref{st:unibas}, en gaat met inductie naar $n=\dim V$. Als $n=1$ is er niets te bewijzen. Voor $n\geq2$ kiest men weer een eigenvector $w$ voor $T$, en laat $W$ de $1$-dimensionale deelruimte van $V$ opgespannen door $w$ zijn. Wederom is $T[W]\subset W$ en $T[W^\perp]\subset W^\perp$; dat laatste omdat voor $u\in W^\perp$ en voor alle $y\in W$ nu geldt dat $0==$, dus $Tu\in W^\perp$. Vanwege $V=W\oplus W^\perp$ en de inductiehypothese volgt de bewering. \bigskip\noindent In dit geval geldt een zelfde conclusie voor het re\"ele geval. \begin{gev}\label{gev:symbas} Zij $T$ een symmetrische lineaire transformatie van een eindig-dimen\-si\-o\-na\-le re\"ele inproductruimte $V$. Dan heeft $V$ een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voor $T$. \end{gev} \noindent {\bf Bewijs.} Kies een orthonormale basis ${\cal B}$ voor $V$, dan is $M_T^{\cal B}$ een re\"eel symmetrische matrix, die ook een transformatie $\hat{T}$ op $\C^n$ (met $n=\dim V$) definieert. Bovendien is $\hat{T}$ Hermites, zodat $\hat{T}$ een eigenvector $w$ heeft met eigenwaarde $\lambda\in\R$ volgens \ref{st:hermeig}. Het re\"ele (of het imaginaire) deel van $w$ is dan een re\"ele eigenvector van $\hat{T}$, en dus van $T$. Maar dat betekent dat bij elke symmetrische $T$ een {\it re\"ele} eigenvector gevonden kan worden, en dus kan het bewijs met inductie net zo uitgevoerd worden als van stelling \ref{st:hermbas}. \opgave{Opgave}{Laat zien dat als $A, B$ Hermitese matrices zijn, ook $AB+BA$ en $\ii (AB-BA)$ Hermites zijn. Geldt hetzelfde met symmetrisch in plaats van Hermites?} \opgave{Opgave}{Laat zien dat $AB$ niet noodzakelijk Hermites is als de matrices $A$ en $B$ het zijn.} \opgave{Opgave}{Laat $A\in\Mat_{3\times3}(\R)$ de matrix $${1\over 3}\left(\matrix{ {1} & {-2} & {-2} \cr {-2} & {-2} & {1} \cr {-2} & {1} & {-2} \cr}\right)$$ zijn. Bepaal een orthonormale basis van eigenvectoren van $A$ en bepaal ook een $B\in\Mat_{3\times3}(\C)$ met $B^2=A$.} \opgave{Opgave}{Bewijs dat voor een symmetrische re\"ele $n\times n$ matrix $A$ geldt: $$\det A=\prod_{i=1}^n \lambda_i,$$ waar $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ de eigenwaarden van $A$ zijn. Geldt dit ook als $A$ complex is?} \section{Geadjungeerde en Normaliteit} In \ref{sec:orthuni} en \ref{sec:symherm} werd bewezen dat voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren van een lineaire transformatie $T$ in een eindig-dimen\-si\-o\-na\-le complexe inproductruimte $V$ het voldoende is dat $T$ Hermites is (volgens \ref{st:hermbas}) of dat $T$ unitair is (volgens \ref{st:unibas}). In deze paragraaf onderzoeken we {\it noodzakelijke} voorwaarden voor $T$ voor het bestaan van zo'n basis. Eerst een Lemma dat we al eens gebruikten. \begin{lem}\label{lem:one} Zij $V$ een eindig-dimensionale inproductruimte met orthonormale basis $\E=\{ e_1, e_2, \ldots, e_n\}$. Dan geldt: \begin{hwitemize} \item[{\rm (i)}] $%\displaystyle x=\sum_{i=1}^n\cdot e_i$ voor elke $x\in V$; \item[{\rm (ii)}] als $T\colon V\rightarrow V$ lineaire transformatie is, dan geldt $\displaystyle M_T^\E=\left(\right)_{i,j=1}^n$. \end{hwitemize} \end{lem} \noindent {\bf Bewijs.} (i) Volgt direct uit: $$=<\sum_{j=1}^nx_j\cdot e_j, e_i>=\sum_{j=1}^nx_j=x_i,$$ omdat $\E$ een orthonormale basis is. Gebruik voor (ii) dat de $j$-de kolom van $M_T^\E$ bestaat uit het beeld van de vector $e_j$; volgens (i) is: $$Te_j=\sum_{i=1}^n\cdot e_i,$$ en er volgt dat op de $i$-de plaats van de $j$-de kolom $(M_T^\E)_{i, j}=$ staat. \bigskip\noindent \begin{thm} Zij $V$ een eindig-dimensionale complexe inproductruimte, en laat $U\colon V\rightarrow \C$ een lineaire afbeelding zijn. Dan bestaat er een uniek bepaalde vector $y\in V$ zodat voor alle $x\in V$ geldt: $U(x)=$. \end{thm} \noindent{\bf Bewijs.} Kies een orthonormale basis $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$, dan is $y=\sum_{i=1}^n\overline{U(e_i)}\cdot e_i$ de gevraagde vector. Definieer namelijk $S(x)=$, voor alle $x\in V$, dan is $S$ lineair (omdat het inproduct lineair in het eerste argument is), en er geldt: $$S(e_j)=== \sum_{i=1}^n\overline{\overline{U(e_i)}}\cdot =U(e_j).$$ Dus $S=U$. Dat bewijst het bestaan van $y$. Om te laten zien dat $y$ uniek is, veronderstel je dat er een $y'$ zodat ook $U(x)=$ voor alle $x$; met $U(x)=$ volgt dan dat $=0$ voor elke $x$. Kiezen we $x=e_i$ dan volgt dat de $i$-de coefficient van $y-y'$ ten opzichte van de basis $\E$ gelijk $0$ moet zijn. Omdat dit voor elke $i$ geldt is $y-y'=0$, dus $y=y'$. \begin{thm} Zij $V$ een eindig-dimensionale complexe inproductruimte, en laat $T\colon V\rightarrow V$ een lineaire transformatie zijn. Dan bestaat er een unieke lineaire transformatie $T^*\colon V\rightarrow V$ zodat voor elke $x, y\in V$: $$=.$$ \end{thm} \noindent{\bf Bewijs.} Kies $y\in V$. Definieer de afbeelding $U\colon V\rightarrow \C$ door $U(x)=$, voor alle $x\in V$. Dan is $U$ lineair omdat $T$ en het inproduct het zijn: $$U(x_1+x_2)===+$$ hetgeen gelijk is aan $U(x_1)+U(x_2)$, en $$U(\lambda x)==<\lambda Tx, y>=\lambda =\lambda U(x).$$ Volgens de voorgaande Stelling is er dus een unieke vector $z\in V$ zodat $U(x)=$ voor alle $x\in V$. Definieer nu $T^*\colon V\rightarrow V$ door $T^*y=z$, dan geldt zeker $$=U(x)==$$ voor alle $x, y\in V$. Bovendien is $T^*$ lineair, want $$==+=,$$ en $$==\bar\lambda=\bar\lambda =.$$ Tenslotte is $T^*$ uniek bepaald, want veronderstel dat er een lineaire transformatie $R$ is zodat $=$ voor alle $x, y\in V$. Dan is $=$ voor alle $x, y$, dus $=0$. Dan moet $(T^*-R)y=0$, voor alle $y\in V$, dus $T^*=R$. \begin{dfn}\rm De unieke $T^*$ bij een lineaire transformatie $T$ wordt de {\it geadjungeerde} van $T$ genoemd. \end{dfn} \medskip\noindent Deze geadjungeerde heeft dus de eigenschap dat altijd $=$. Maar we weten dat voor het inproduct ook geldt dat $$=\overline{}=\overline{}=,$$ met andere woorden: mits men adjungeert mag de transformatie $T$ binnen het inproduct van argument wisselen! \begin{thm}\label{st:adj} Zij $V$ een eindig-dimensionale complexe inproductruimte, en laten $T$ en $U$ lineaire transformaties van $V$ zijn. Dan: \begin{hwitemize} \item $(T+U)^*=T^*+U^*$; \item $(\lambda T)^*=\bar\lambda T^*$; \item $(TU)^*=U^*T^*$; \item $T^{**}=T$. \end{hwitemize} \end{thm} \bigskip\noindent Het bewijs van \ref{st:adj} bestaat uit eenvoudige verificatie. Maar het volgt ook direkt uit de eigenschappen van matrices (zie beneden). Voor {\it matrices} $A$ hadden we al eerder de notatie $A^*$ ingevoerd, zie \ref{def:compinp}, en wel om de complex-gecon\-ju\-geer\-de getransponeerde van $A$ aan te geven: $A^*=\bar A^\t$. We laten nu zien dat dit niet een ongelukkige keuze van notatie is: ten opzichte van een orthonormale basis is de matrix van de geadjungeerde van $T$ inderdaad de geconjugeerd-getransponeerde van de matrix van~$T$. \begin{thm}\label{prop:admat} Zij $V$ een eindig-dimensionale complexe inproductruimte met orthonormale basis $\E$, en laat $T\colon V\rightarrow V$ een lineaire transformatie zijn. Dan geldt: $$M_{T^*}^\E=(M_T^\E)^*.$$ \end{thm} \noindent{\bf Bewijs.} Laat $A=M_T^\E$ de matrix van $T$ ten opzichte van $\E$ zijn, en $B=M_{T^*}^\E$ die van $T^*$. Dan (volgens \ref{lem:one}(ii)): $$B_{i,j}===\overline{}=\bar A_{j, i},$$ zodat $B=\bar A^\t$. \begin{pro}\label{prop:mateig} Laten $A$ en $B$ element van $\Mat_{n\times n}(\C)$ zijn. Dan geldt: \begin{hwitemize} \item $(A+B)^*=A^*+B^*$; \item $(\lambda A)^*=\bar\lambda A^*$; \item $(AB)^*=B^*A^*$; \item $A^{**}=A$. \end{hwitemize} \end{pro} \noindent {\bf Bewijs.} Volgt onmiddellijk uit de eigenschappen van complexe conjugatie en transpositie. \bigskip\noindent Het bewijs van \ref{st:adj} volgt nu direkt uit \ref{prop:admat} en \ref{prop:mateig}. \bigskip\noindent De eerder geintroduceerde begrippen {\it Hermites} en {\it unitair} voor lineaire transformaties van complexe vectorruimten zijn nauw verwant aan adjungeren. De eis voor Hermites zijn was dat $=$ voor elke $x,y\in V$, terwijl een unitaire afbeelding voldoet aan $=$ voor elke $x, y\in V$. Met $I_V$ geven we de identieke afbeelding op $V$ aan. \begin{pro} Laat $T$ een lineaire transformatie van de eindig-dimensionale complexe vectorruimte $V$ zijn. Dan geldt: \begin{hwitemize} \item $T$ is Hermites $\quad\iff\quad$ $T^*=T$, \item $T$ is unitair $\quad\iff\quad$ $TT^*=I_V=T^*T$ $\quad\iff\quad$ $T^*=T^{-1}$. \end{hwitemize} \end{pro} \noindent {\bf Bewijs.} De transformatie $T$ is Hermites dan en slechts dan als $=$ altijd geldt; anderzijds geldt altijd $=$ dus Hermites zijn is equivalent met $T=T^*$. Unitair zijn betekent dat altijd $=$. Maar er geldt ook steeds dat $=$ en dus is unitair zijn equivalent met $T^*T=I_V$. Dus $T^*=T^{-1}$, maar dan is ook $T^*T=TT^*$. \bigskip\noindent We zagen ook reeds dat Hermites zijn het bestaan van een orthonormale basis van eigenvectoren impliceerde (en dus diagonaliseerbaarheid). De omgekeerde implicatie blijkt in het complexe geval n\'\i et op te gaan: een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor diagonaliseerbaarheid in het complexe geval blijkt {\it normaliteit} te zijn. \begin{dfn} De lineaire transformatie $T$ van een complexe vectorruimte heet {\it normaal} als $TT^*=T^*T$. We noemen een matrix $A\in \Mat_{n\times n}(\C)$ {\it normaal} wanneer $A^*A=AA^*$. \end{dfn} \begin{gev} $T$ is normaal dan en slechts dan als $M_T^\E$ normaal is, voor een orthonormale basis $\E$. \end{gev} \begin{gev}\label{gev:normal}\hfill \begin{hwitemize} \item Als $T$ Hermites is dan is $T$ normaal. \item Als $T$ unitair is dan is $T$ normaal. \end{hwitemize} \end{gev} \bigskip\noindent Alvorens we afleiden dat normaliteit equivalent is met het bestaan van een orthonormale basis van eigenvectoren, bekijken we enkele eigenschappen van normale transformaties. \begin{thm}\label{st:normeig} Laat $V$ een eindig-dimensionale complexe inproductruimte met orthonormale basis $\E$ zijn en laat $T\colon V\rightarrow V$ een lineaire transformatie zijn. Als $T$ normaal is, dan geldt: \begin{hwitemize} \item $\Vert Tx\Vert=\Vert T^*x\Vert$ voor alle $x\in V$; \item $T-\lambda I_V$ is normaal, voor elke $\lambda\in\C$; \item als $v$ een eigenvector voor $T$ is met eigenwaarde $\lambda$, dan is $v$ ook een eigenvector voor $T^*$, en wel met eigenwaarde $\bar\lambda$; \item als $v_1$ en $v_2$ eigenvectoren van $T$ zijn bij verschillende eigenwaarden, dan $=0$. \end{hwitemize} \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} (i) Voor elke $x\in V$ geldt $$\Vert Tx\Vert^2=====\Vert T^*x\Vert^2,$$ en lengten zijn altijd niet-negatief. \noindent (ii) Omdat $I_V^*=I_V$ is \begin{eqnarray*} (T-\lambda I_V)^*(T-\lambda I_V)&=(T^*-\bar\lambda I_V)(T-\lambda I_V)= T^*T-\bar\lambda T-\lambda T^*+\vert\lambda\vert^2I_V=\cr &=TT^*-\lambda T^*-\bar\lambda T+\vert\lambda\vert^2I_V= (T-\lambda I_V)(T-\lambda I_V)^*.\cr \end{eqnarray*} \noindent (iii) Beschouw $U=T-\lambda I_V$ voor de eigenwaarde $\lambda$ van $T$. Voor de bijbehorende eigenvector $v$ is dan $Uv=0$. Volgens (ii) is $U$ normaal, zodat op grond van (i): $$0=\Vert Uv\Vert=\Vert U^*v\Vert=\Vert (T-\lambda I_V)^*v\Vert=\Vert T^*v-\bar\lambda v\Vert,$$ en daarom is $T^*v=\bar\lambda v$. \noindent (iv) Omdat $\lambda_1$ gelijk is aan $$<\lambda_1v_1, v_2>====\lambda_2,$$ en omdat $\lambda_1\neq \lambda_2$ volgt dat $=0$. \opgave{Opgave}{Waar in het bewijs van \ref{st:normeig}(iv) wordt normaliteit gebruikt?} \begin{thm}\label{st:stnorm} Zij $V$ een eindig-dimensionale complexe inproductruimte, en laat $T$ een lineaire transformatie van $V$ zijn. Dan is $T$ normaal dan en slechts dan als er een orthonormale basis voor $V$ is bestaande uit eigenvectoren van $T$. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Veronderstel dat $T$ normaal is. We plegen inductie naar de dimensie $n$. Als $n=1$ is het duidelijk. Laat $\lambda$ een nulpunt zijn van het karakteristieke polynoom van $T$, en zij $w$ een eigenvector van $T$ bij $\lambda$. Dan is $w$ ook een eigenvector van $T^*$ (bij $\bar\lambda$). Zij $W$ de ruimte opgespannen door $w$ en laat $x\in W^{\perp}$. Dan is $$===\lambda=0,$$ dus $Tx\in W^\perp$, dus $W^\perp$ is $T$-invariant. Omdat $V=W\oplus W^\perp$, is $W^\perp$ een $n-1$-dimensionale $T$-invariante ruimte, waarop we de inductiehypothese kunnen toepassen: we vinden een orthonormale basis $w_2, w_3, \ldots, w_{n}$ van eigenvectoren van $T$. Dan is $w/\Vert w\Vert, w_2, w_3, \ldots, w_{n}$ een basis van de gevraagde vorm voor $V$. Veronderstel, voor de omkering, dat ${\cal B}=\{b_1, \ldots, b_n\}$ een orthonormale basis van $V$ is, bestaande uit eigenvectoren voor $T$. Ten opzichte van die basis wordt $T$ gegeven door een diagonaalmatrix: $$A=M_T^{\cal B}= \left( \matrix{ \lambda_1&0&\cdots&0\cr 0&\lambda_2&\cdots&0\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr 0&0&\cdots&\lambda_n\cr}\right) ,$$ maar dan is $$A^*=M_{T^*}^{\cal B}= \left( \matrix{ \bar\lambda_1&0&\cdots&0\cr 0&\bar\lambda_2&\cdots&0\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr 0&0&\cdots&\bar\lambda_n\cr}\right) $$ ook een diagonaalmatrix, en diagonaalmatrices commuteren, dus $TT^*=T^*T$. \begin{thm} Zij $V$ een eindig-dimensionale complexe inproductruimte, en laat $T$ een lineaire transformatie van $V$ zijn. Dan is $T$ unitair dan en slechts dan als er een orthonormale basis voor $V$ is bestaande uit eigenvectoren van $T$ bij eigenwaarden van absolute waarde $1$. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Als $T$ unitair is dan is $T$ normaal (volgens Gevolg \ref{gev:normal}) en dus bestaat er een orthonormale basis van eigenvectoren; elke eigenwaarde $\lambda$ van een unitaire afbeelding heeft $\vert\lambda\vert=1$, omdat unitaire afbeeldingen lengten behouden (zie \ref{st:unieig}). Dat bewijst de ene implicatie. Voor de omkering nemen we het bestaan aan van zo'n speciale basis ${\cal B}$ bestaande uit vectoren $b_i$ bij de eigenwaarden $\lambda_i$ met $\vert \lambda_i\vert=1$. Dan is $T$ normaal (volgens Stelling \ref{st:stnorm}), dus $b_i$ is ook eigenvector van $T^*$ met eigenwaarde $\bar\lambda_i$ volgens \ref{st:normeig}. Dus: $$T^*Tb_i=T^*(\lambda_i b_i)=\lambda_i\bar\lambda_i b_i=\vert\lambda_i\vert^2b_i=b_i,$$ dus $T^*T=I_V$ en $T$ is orthogonaal. \bigskip\noindent Tenslotte nog een stelling die verband legt tussen de begrippen normaal en unitair voor matrices. \begin{dfn}\rm Twee matrices $A$ en $B$ heten {\it unitair equivalent} als $A=U^*BU$ voor een unitaire matrix $U$. Merk op dat voor zulke matrices $U^*=U^{-1}$. \end{dfn} \begin{thm}\label{st:uniequi} Laat $A\in \Mat_{n\times n}(\C)$. Dan is $A$ normaal dan en slechts dan als $A$ unitair equivalent is aan een diagonaalmatrix. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Als $A$ normaal is, dan bestaat er een orthonormale basis voor de vectorruimte opgebouwd uit eigenvectoren van $A$ die orthonormaal zijn; maar na transformatie naar die basis is $A$ dan op diagonaalvorm gebracht, en de transformatiematrix bestaat uit de kolommen die de eigenvectoren zijn, en deze vormen een orthonormaal stelsel. Dus is de transformatiematrix unitair. Omgekeerd, veronderstel dat $A=U^*DU$, met $U$ unitair en $D$ een diagonaalmatrix; dan: $$AA^*=(U^*DU)(U^*DU)^*=(U^*DU)(U^*D^*U)=U^*DD^*U=U^*D^*DU=A^*A,$$ dus $A$ is normaal. \bigskip\noindent Voor re\"ele inproductruimten is de situatie een kleine beetje anders. In dit geval blijkt symmetrie (het re\"ele equivalent van Hermites) de belangrijke eigenschap te zijn. \begin{thm} Zij $V$ een eindig-dimensionale re\"ele inproductruimte, en laat $T$ een lineaire transformatie van $V$ zijn. Dan is $T$ symmetrisch dan en slechts dan als er een orthonormale basis voor $V$ is bestaande uit eigenvectoren van $T$. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Dit volgt direkt uit \ref{gev:symbas} en \ref{st:symeig}. \begin{thm} Laat $A\in \Mat_{n\times n}(\R)$. Dan is $A$ symmetrisch dan en slechts dan als $A$ orthogonaal equivalent is aan een diagonaalmatrix. \end{thm} \noindent {\bf Bewijs.} Net als in het complexe geval \ref{st:uniequi}. \opgave{Opgave}{Geef een voorbeeld van lineaire transformatie $T$ van de $\R^2$ die wel voldoet aan $T^*T=TT^*$ maar die niet diagonaliseerbaar is.} \opgave{Opgave}{Laat $\cal B$ de basis van $V=\R^3$ zijn bestaande uit $$\left(\matrix{1\cr0\cr0\cr}\right), \left(\matrix{1\cr {\sqrt{2}\over\sqrt{3}}\cr0\cr}\right), \left(\matrix{2\cr 2{\sqrt{2}\over\sqrt{3}}\cr{1\over\sqrt{3}}\cr}\right)\quad \textsl{en}\quad M_T^{\cal B}=\left(\matrix{1&2&4\cr 0&-1&-4\cr 0&0&1\cr}\right)$$ de matrix voor een lineaire transformatie $T$ van $V$. Laat zien dat $T$ orthogonaal is, en dat $T$ symmetrisch is, en bepaal een orthonormale basis van $V$ bestaande uit eigenvectoren voor $T$.} \opgave{Opgave}{Laat het re\"ele lineaire stelsel vergelijkingen $Ax=b$ gegeven zijn door: $$A=\left(\matrix{1&2&1\cr 1&-1&2\cr 1&5&0\cr}\right),\quad\textsl{en}\quad b=\left(\matrix{4\cr -11\cr 19\cr}\right).$$ Bepaal een oplossing $v$ voor $AA^*v=b$ en laat zien dat $w=A^*v$ voldoet aan $Ax=b$ en dat voor elke andere oplossing $w'$ geldt dat $\vv w'\vv\geq \vv w\vv$.}