] >
Een bekend probleem is: welke natuurlijke getallen zijn de som van twee kwadraten. Bij een gegeven is dat op te lossen doordat er eindig veel kwadraten zijn. We zullen hier laten zien dat het bestaan van een oplossing geheel afhangt van de priemfactorontbinding van . Dat is een resultaat van Fermat. Hij publiceerde zijn resultaten nooit, maar anderen, waaronder Euler, hebben er later bewijzen voor geleverd. Een algemener probleem betreft het bepalen van de gehele getallen die voor gegeven in de gedaante met te schrijven zijn. Voor is dit het eerder genoemde probleem. In paragraaf 12.1 laten we zien dat dit ‘representatieprobleem’ leidt tot de vraag: voor welke oneven priemgetallen is een kwadraat in het lichaam ? In de paragrafen 12.2 t/m 12.7 wordt de theorie van kwadraten in lichamen behandeld. Het hoogtepunt is de kwadratische reciprociteitswet (paragraaf 12.5). In paragraaf 12.7 wordt een techniek besproken voor het trekken van vierkantswortels uit kwadraten in . In de laatste paragraaf wordt de theorie van de kwadraatresten toegepast op de eerder genoemde representatieproblemen. In het volgende hoofdstuk een heel andere toepassing: het bepalen of een getal een priemgetal is of dat hij samengesteld is.