] >
In hoofdstuk 7 hebben we het lichaam van de rationale getallen geconstrueerd. Dat was een voorlopig eindpunt in de opbouw van het getalsysteem. Belangrijk is dat een lichaam is, een structuur met bewerkingen optellen en vermenigvuldigen die aan alle rekenregels voldoen (dat was bij al het geval) en waarin bovendien ieder element verschillend van het nulelement een inverse heeft. Dat laatste houdt in dat er door elementen gedeeld kan worden.
Het lichaam heeft geen deelstructuur die ook een lichaam is: uitgaande van kunnen alle elementen verkregen worden door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Ook hebben we voor ieder priemgetal een lichaam met elementen. Deze lichamen hebben ook geen kleinere deelstructuur die een lichaam is: uitgaande van kun je met optellen alleen al alle elementen krijgen. Lichamen met deze eigenschap noemt men priemlichamen. Het is niet moeilijk in te zien dat dit alle mogelijke priemlichamen zijn.
Er zijn twee redenen om grotere lichamen te willen. De eerste is een algebraïsche: niet alle veeltermvergelijkingen hebben oplossingen. Lichamen kunnen worden uitgebreid om te bereiken dat een veelterm een nulpunt heeft. We zullen dat in hoofdstuk 18 voor eenvoudige gevallen doen: we beperken ons dan tot het toevoegen van vierkantswortels. We doen het ook in hoofdstuk 17, waar we in het bijzonder de (nog te construeren) reële getallen uitbreiden tot de complexe getallen.
De tweede reden is een analytische: er zijn rijen getallen waarvan we willen dat ze naar een getal naderen. Een voorbeeld van een getal dat we zouden willen hebben is het getal , de verhouding van omtrek en diameter van een cirkel. Het is hier niet duidelijk dat deze verhouding geen rationaal getal is, het is zelfs niet duidelijk wat onder die verhouding moet worden verstaan. In dit hoofdstuk gaat het over limieten, wat het betekent dat een rij rationale getallen nadert naar een getal, maar ook gaat het over de vraag welke rijen rationale getallen een limiet zouden moeten hebben terwijl ze binnen geen limiet hebben.
Om het begrip limiet een goede basis te geven is het nodig een absolute waarde te hebben. Een absolute waarde zegt hoever een getal van ligt. Zo’n afstand is een getal . In hebben we de gewone absolute waarde. In het volgende hoofdstuk construeren we het lichaam van de reële getallen. Die reële getallen zijn dan limieten van rijen rationale getallen, getallen die benaderd kunnen worden met rationale getallen.
Op zijn nog meer absolute waarden mogelijk. Die zullen we hier ook bekijken. Het gaat dan om een ander idee van afstand tot en daardoor hebben heel andere rijen rationale getallen een limiet. Dat kan ook weer een limiet buiten zijn: we willen dan uitbreiden met andere nieuwe getallen. Voor ieder priemgetal hebben we zo’n uitbreiding, het lichaam der -adische getallen. We zullen dit in hoofdstuk 16 uitvoeren.
Het proces van het toevoegen van alle mogelijke limieten noemt men completeren. De lichamen en zijn completeringen van . Zo’n completering brengt met zich mee dat er algebraïsche vergelijkingen zijn die een oplossing krijgen terwijl ze dat in het oorspronkelijke lichaam niet hadden: de vergelijking heeft in een oplossing en niet in . Dat is niet zo vreemd: heb je meer getallen, dan kunnen er oplossingen zijn die er eerst niet waren. Veel vergelijkingen krijgen oplossingen in , maar niet alle: bijvoorbeeld niet. Om te bereiken dat die laatste vergelijking ook een oplossing heeft is vervolgens een algebraïsche constructie nodig.