15  De reële getallen

Een lichaam met een absolute waarde kan worden uitgebreid tot een lichaam waarin alle Cauchyrijen convergeren. Men spreekt van het completeren van een lichaam. In dit hoofdstuk voeren we dit uit voor het lichaam $\mathbb{Q}$ met de gewone absolute waarde op $\mathbb{Q}$. Het lichaam dat zo ontstaat is het lichaam $ℝ$ van de reële getallen. De $p$-adische absolute waarden leiden tot andere completeringen van $\mathbb{Q}$, zie daarvoor het volgende hoofdstuk. Omdat in $ℝ$ alle Cauchyrijen convergeren hebben we nu ook interessante voorbeelden van convergente rijen. We kijken speciaal naar de oneindige kettingbreuken. Die zijn uitzonderlijk geschikt voor het benaderen van reële getallen met rationale getallen. Een belangrijke eigenschap van $ℝ$ is dat de vermenigvuldigingsgroep ${ℝ}^{\ast }$ zoveel lijkt op de optellingsgroep van $ℝ$: we hebben een isomorfisme $ℝ\stackrel{\sim }{\to }{ℝ}^{>0}$, waarbij het optellen van reële getallen correspondeert met het vermenigvuldigen van positieve reële getallen.

[volgende][vorige][inhoud]