] >
We waren begonnen met , de natuurlijke getallen. Door opeenvolgende uitbreidingen van het getalsysteem hebben we bereikt dat steeds meer vergelijkingen oplossingen hebben. De vergelijking is in niet oplosbaar en wel in , de vergelijking niet in en wel in , de vergelijking niet in en wel in . Met de stap van naar zijn er niet alleen oplossingen van vergelijkingen bijgekomen, maar ook transcendente getallen, zoals en . Niet alle vergelijkingen hebben in een oplossing, bijvoorbeeld de vergelijkingen met .
In paragraaf 17.1 zien we dat bij het oplossen van derdegraads vergelijkingen wortels uit negatieve getallen kunnen optreden, ook als de oplossingen zelf reële getallen zijn. Deze oplossingsmethode is vijf eeuwen geleden gevonden in Italië, in een tijd dus waarin men nog met negatieve getallen moeite had. In paragraaf 17.2 breiden we uit met de vierkantswortel uit . Dat levert ons , het lichaam der complexe getallen. We zullen zien dat dan nog meer vergelijkingen een oplossing hebben. Sterker nog: alle vergelijkingen hebben oplossingen; dit is de zogenaamde hoofdstelling van de algebra. Bovendien is volledig: Cauchyrijen convergeren. Het lichaam vormt dus een eindpunt in de opeenvolging van uitbreidingen van getalsystemen.