] >
In hoofdstuk 12 hebben we het volgende representatieprobleem bekeken:
Zij geen kwadraat. Voor welke zijn er met ?
Voor slechts enkele hebben we dit probleem opgelost: . In dit hoofdstuk richten we ons op problemen die met dit probleem verwant zijn. Bij gegeven gaat het om de oplosbaarheid van de Diophantische vergelijking . In paragraaf 18.2 bestuderen we:
Stel de Diophantische vergelijking is oplosbaar. Wat zijn dan alle oplossingen?
Dat komt neer op het oplossen van de Diophantische vergelijking . Bij gegeven geven we een algoritme voor het oplossen van de Diophantische vergelijkingen . Dit algoritme is gebaseerd op de kettingbreukontwikkeling van het irrationale getal , een oplossing van een kwadratische vergelijking met coëfficiënten in . Zulke getallen noemen we kwadratische getallen.
In paragraaf 18.5 beschouwen een eenvoudiger probleem, waarbij niet naar oplossingen in , maar in wordt gevraagd:
Voor welke zijn er met ?
Dit probleem lossen we volledig op in termen van de priemfactorontbindingen van de rationale getallen en . Het komt erop neer dat de vergelijking in oplosbaar is als hij in alle completeringen van oplosbaar is, dus in alle lichamen van -adische getallen en ook in . Vooral de kennis van de kwadraten in de lichamen wordt hierbij gebruikt. Voor de oplosbaarheid in gebruiken we Hilbertsymbolen. Deze zijn nauw verwant aan de Legendresymbolen. De kwadratische reciprociteitswet met inbegrip van de aanvullende wetten neemt de vorm aan van een productformule voor Hilbertsymbolen. Hoe uit één gevonden oplossing alle oplossingen gevonden kunnen worden is op meetkundige wijze inzichtelijk te maken.