] >
Tellen leer je op heel jonge leeftijd. Je leert het in samenhang met de notatie van getallen in het tientallig stelsel. In dit hoofdstuk gaat het om de basiseigenschappen van deze getallen, de natuurlijke getallen. Wat is er minimaal nodig om de natuurlijke getallen vast te leggen?
Bij ieder natuurlijk getal is er een volgend natuurlijk getal, z’n opvolger. We zullen bewerkingen als optellen en vermenigvuldigen terugbrengen tot het nemen van opvolgers. Dat wil echter niet zeggen dat de bekende eigenschappen van deze bewerkingen, de rekenregels, onmiddellijk duidelijk zijn. Die rekenregels moeten dan nog bewezen worden. Enkele basiseigenschappen van de natuurlijke getallen, de axioma’s van Peano, vormen hierbij het uitgangspunt. De moeilijkheid is dat we algemene regels willen bewijzen die voor oneindig veel gevallen gelden. Een belangrijke basiseigenschap van de natuurlijke getallen is het principe van volledige inductie. Dit principe biedt een manier om met oneindig om te gaan.
De axioma’s van Peano staan in paragraaf 2.2. In paragraaf 2.3 staan eerste voorbeelden van het gebruik van volledige inductie. De definities van optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen staan in paragraaf 2.4. In de drie paragrafen daarna worden de rekenregels bewezen. Om een indruk te krijgen hoe de rekenregels volgen uit de axioma’s van Peano is het voldoende om paragraaf 2.5 te bestuderen. Daarin worden de rekenregels voor de optelling bewezen. Vervolgens worden de rekenregels voor de vermenigvuldiging en machtsverheffing bewezen. De laatste paragraaf gaat over de ordening van de natuurlijke getallen: de betekenis van kleiner en groter en de eigenschappen daarvan.
Alles wat in dit hoofdstuk wordt bewezen is bij iedereen die wat van rekenen begrijpt bekend. Een moeilijkheid bij het leren bewijzen is dat het vaak niet duidelijk is wat als waar mag worden aangenomen. Omdat de uitgangspunten hier vast liggen is die moeilijkheid er in dit hoofdstuk niet.
In dit hoofdstuk worden de axioma’s van Peano als uitgangspunt genomen. Natuurlijk kan dit worden overgeslagen: dan worden de natuurlijke getallen met de bekende eigenschappen (rekenregels) als uitgangspunt genomen. Het is dan nog steeds van belang het principe van volledige inductie te begrijpen en ook hoe inductieve definities gegeven worden.