] >
In dit hoofdstuk zullen we (de natuurlijke getallen) uitbreiden met negatieve getallen tot (de gehele getallen). Voor zover het slechts de verzameling der gehele getallen betreft is dit niet moeilijk: we zouden nieuwe elementen , , , … kunnen toevoegen aan . Willen we vervolgens de optelling en de vermenigvuldiging voortzetten tot , dan leidt dit tot gevalsonderscheidingen, met name bij het afleiden van rekenregels. We doen het daarom anders.
Wat willen we bereiken? In hebben vergelijkingen
(5.1) |
niet voor alle een oplossing. Er is een unieke oplossing als en er is geen oplossing als . We willen uitbreiden tot een verzameling en ook de optelling in voortzetten tot een optelling in zodat:
Als we dat gedaan hebben, gaan we ook de vermenigvuldiging in en de ordening van uitbreiden tot . De vergelijking (5.1) moet voor iedere een oplossing krijgen. Zo’n oplossing is dan een geheel getal. Ieder geordend paar bepaalt zo een geheel getal. We gaan gehele getallen zien als verschillen van natuurlijke getallen. Willen we met gehele getallen net zo kunnen rekenen als in , dan leidt dit er vanzelf toe dat we soms verschillen als gelijk willen zien: als , dan , en wat dit laatste betekent weten we, want het heeft alleen betrekking op optellen in . We gaan invoeren door alle geordende paren te verdelen over klassen en die klassen worden dan de gehele getallen. Om dit allemaal te kunnen uitvoeren gaan we eerst het wiskundige basisgereedschap opzetten.