] >
16.12 Definitie. Een -adisch getal heet geheel als . De verzameling der gehele -adische getallen geven we aan met .
Pas op! De notatie hebben we al eerder gebruikt voor de gehele getallen modulo . Waar we met -adische getallen werken zullen we voor de gehele getallen modulo niet schrijven, maar .
In hoofdstuk 14 hadden we de ring . Ook is een ring en we hebben . De groep bestaat uit de -adische getallen met .
Bewijs. Neem een met . Dan Dus . Volgens Propositie 14.71 is er een met . Voor deze geldt . □
16.14 Definitie. Zij . De unieke met noemen we de rest van bij deling door . Notatie . (We hebben dus het delen met rest in voortgezet tot .)
Ook de transformatie van zoals gedefinieerd in hoofdstuk 14 kunnen we voortzetten tot een transformatie van :
Daarmee kunnen we nu algemener -adische ontwikkelingen maken van -adisch gehelen:
We hebben nu een correspondentie tussen
en
gegeven door de en z’n inverse . Daarbij corresponderen de repeterende rijen met de elementen van .
We zagen dat de gehele -adische getallen op een unieke manier gerepresenteerd kunnen worden met hun -adische ontwikkeling. De ring had ook anders geconstrueerd kunnen worden, namelijk als de verzameling , waarbij je bij moet denken aan . In principe hadden we ook kunnen construeren met behulp van de decimale schrijfwijze van getallen. Het grote probleem daarbij is dat de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen dan moeilijk te definiëren zijn: je voert deze bewerkingen uit door rechts te beginnen, maar er is geen begin rechts. Vervolgens moeten dan de rekenregels worden bewezen en dat is doordat de definitie ingewikkeld is bijna onbegonnen werk. In ieder geval is het veel werk en nog saai ook. Bij is dat anders: optellen en vermenigvuldigen doe je van rechts en er is ook een begin rechts. We hoeven dat hier niet uit te voeren, want we hebben de ring al.
16.16 Voorbeeld. We nemen . Stel van de -adische getallen en kennen we de eerste cijfers van hun -adische ontwikkeling:
Dan kunnen we de eerste cijfers van de -adische ontwikkeling van en berekenen:
We hebben op een analytische manier ingevoerd, namelijk met behulp van limieten. We geven nog een andere beschrijving, een algebraïsche.
In kun je rekenen modulo een macht van . Elementen zijn te schrijven als met . Rekenen modulo komt op hetzelfde neer als rekenen modulo . Daarom rekenen we alleen modulo machten van .
Congruentie in houdt direct verband met de absolute waarde:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Het is eenvoudig na te gaan dat congruentie modulo een equivalentierelatie is en dat de equivalentieklassen een ring vormen. De optelling en de vermenigvuldiging geschieden evenals bij modulorekenen in door deze bewerkingen toe te passen op representanten van de equivalentieklassen. De ring die we zo krijgen is isomorf met . We maken dat expliciet.
Bij iedere en iedere is er een met , ofwel . Bijvoorbeeld , waarbij de -adische ontwikkeling van is. Voor deze geldt dat . Voldoet ook een , dan . We hebben dus voor iedere een afbeelding met als .
Is de -adische ontwikkeling van , dan .
Bewijs. Kies met en . Dan
Voor iedere hebben we een afbeelding , gedefinieerd door , waarbij de eerste de restklasse van modulo is en de tweede die modulo . We hebben dus een hele rij van afbeeldingen
We gaan een ring maken. De verzameling bestaat uit rijen , met en voor alle . Anders genoteerd:
Optellen en vermenigvuldigen geschiedt termsgewijs: en . We maken dus gebruik van de optelling en vermenigvuldiging in elk van de ringen .
We laten zien dat de ring isomorf is met . We gebruiken de afbeeldingen uit de vorige deelparagaaf. Bij iedere en iedere hebben we , waarbij met . Omdat ook geldt dat , ofwel , voor iedere . We hebben dus een afbeelding
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □