] >
Is de -adische ontwikkeling van , dan
en
is gesloten onder optelling en onder vermenigvuldigen met elementen van . De verzameling is gesloten onder vermenigvuldigen en inverteren. De inverse van is .
We gaan voor oneven en een functie definiëren. Ook voor definiëren we een functie .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Zij en met . Dan volgt uit Lemma 16.22 dat . Omdat een -adische nulrij is, is dus een nulrij in . □
16.24 Propositie. Zij als oneven en anders . Zij en laat een rij in zijn die in convergeert naar . Dan geldt
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Op grond van deze propositie kunnen we nu definiëren.
16.25 Definitie. Zij als oneven en anders en zij . Dan definiëren we de als de limiet van de rij , waarbij een rij in is die in convergeert naar .
We hebben zo voor oneven en iedere een afbeelding . En we hebben voor iedere een afbeelding . Deze exponentiële functies voldoen aan rekenregels die je ervoor kunt verwachten.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
16.27 Propositie. Voor en oneven is de afbeelding , injectief als . Voor is de afbeelding , injectief als .
Bewijs. Stel dat voor geldt dat . Dan en dus met Propositie 16.26(ii): . Als , dan en dus , ofwel . □