] >
Zij , d.w.z. . Dan voor een en dus , ofwel . Een element van is op unieke wijze te schrijven als met . We hebben zo een groepsisomorfisme . De bewerking in bestaat uit optellen in en vermenigvuldigen in . We richten nu onze aandacht op .
Zie Definitie 11.44 voor het begrip eenheidswortel. We gaan de eenheidswortels van bepalen. Eenheidswortels zijn elementen van : als , dan en dus . We laten eerst zien dat bepaalde eenheidswortels niet kunnen bestaan.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We gaan aantonen dat er in een primitieve -ste eenheidswortel is.
Bewijs. We tonen aan dat de verschilrij een nulrij is. Er geldt
Zij met . Dan wegens de Kleine Stelling van Fermat , ofwel . Voor oneven volgt uit Lemma 16.23 dat naar convergeert. Dus is een nulrij. Voor hebben we met . Ook dan kunnen we Lemma 16.23 toepassen.
Zij de limiet van de rij . Uit volgt dat . Omdat voor alle , is ook een element van . In het bijzonder is niet . Dus . □
Bewijs.
Uit Lemma 16.31 volgt dat een injectieve afbeelding induceert. Is een primitieve wortel modulo , dan is een primitieve -ste eenheidswortel van .
Voor alle geldt . We hebben een groepsisomorfisme . We richten nu onze aandacht op .
Het lichaam van de -adische getallen wordt verkregen door te complementeren m.b.t. de -adische afstand. Dat doen we voor priemgetallen . Met dezelfde constructie kun je ook bijvoorbeeld -adische getallen maken. Is de -adische afstand van twee getallen gebaseerd op de factoren in het verschil van die getallen, je kunt ook het aantal factoren nemen. Dat levert ook een metriek op op. Die komt niet van een absolute waarde: de multiplicativiteit gaat niet op: in zit geen factor en in ook niet, maar wel in hun product. Dit completeren levert wel een ring op, maar geen lichaam. We laten zien dat er nuldelers zijn.
Beschouw de rij in . In is dit een nulrij. In zitten factoren en factoren . In convergeert hij naar . Dit volgt uit Lemma 16.31(ii). Er geldt , zie Lemma 16.22. In zitten dus factoren en factoren , dus geen factor . De rij is een -adische Cauchyrij. Als , dan geldt dus en . We berekenen met Python het begin van de -adische ontwikkeling van .
In feite is de ring van -adische getallen isomorf met een product van twee lichamen: . Het element correspondeert dan met .
We nemen eerst oneven. Volgens Propositie 16.27 is voor de afbeelding injectief. We gaan nu het beeld van zo’n exponentiële functie bepalen.
Bewijs. Dat de afbeelding injectief is, is al bewezen. Zij . Te bewijzen dat er een is met .
We nemen rijen en in met en voor alle .
Uit Propositie 16.24(ii) volgt dat voor geldt . Dus voor hebben we en dus in en omdat , hebben we ook in . Hieruit volgt dat . Er zijn dus verschillende machten van in en dat zijn dus alle elementen met in .
Omdat , hebben we dat in . Er is dus voor iedere een met in . Uit in volgt dat ook in . Omdat hebben we dus dat .
Neem nu . Uit in volgt dat . Omdat volgt hieruit dat . De rijen en verschillen een nulrij. Dus . □
Voor hebben we:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. We hebben al gezien dat het beeld bevat is in . Zij . Te bewijzen dat er een is met .
Als oneven is, kies een met . Volgens Stelling 16.33 zijn er met en . Dan .
Als , kies een . Gebruik nu Stelling 16.34. □
Ook voor de -adische getallen hebben we nu bereikt dat de vermenigvuldigingsstructuur in optellen kan worden vertaald.
16.36 Stelling. Zij een oneven priemgetal. Laat een primitieve wortel modulo zijn. Zij . Dan zijn er unieke , en zodat
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Vermenigvuldigen wordt nu optellen van de exponenten: als en , dan . Vermenigvuldigen in is dus voor oneven te vertalen in componentsgewijs optellen in
We hebben dus een groepsisomorfisme
Bewijs. We hebben weer . Er is een unieke met . Dan . Omdat is er een unieke met . □
Ook hier wordt vermenigvuldigen optellen van exponenten: als en , dan . Vermenigvuldigen is dus te vertalen in componentsgewijs optellen in
We hebben een groepsisomorfisme
Zij en zij oneven. Wat zijn de -de machten in ? We gebruiken de hiervoor afgeleide beschrijving van . De -de macht van is
Een element met , en is dus een -de macht dan en slechts dan als voldaan is aan:
Is aan de voorwaarden voldaan, dan is het aantal met gelijk aan .
Nu nog het geval . Zij . De -de macht van is
Een element met , en is dus een -de macht dan en slechts dan als voldaan is aan:
Is aan de voorwaarden voldaan, dan is het aantal met gelijk aan .
We nemen nu : wat zijn de kwadraten? Voor oneven krijgen we:
Dit geeft vier typen van elementen van :
Hierbij is en met . Omdat en dus een kwadraat, kunnen we de vier typen ook zo aangeven:
ofwel
waarbij . Voor is een kwadraat als:
Er zijn dus acht typen elementen in :
waarbij en .