] >
De functie , gedefinieerd in paragraaf 15.5, is voort te zetten tot , en wel door hem op dezelfde manier te definiëren als voor .
Zij . We beginnen met
en laten zien dat de rij convergeert.
Bewijs. Voor hebben we
Omdat convergeert (Lemma 15.36), convergeert ook de rij . □
Het bewijs van Stelling 15.38 laat zich eenvoudig omzetten tot een bewijs van de volgende stelling.
In hoofdstuk 15 definieerden we het begrip continu voor reële functies. Dit begrip laat zich eenvoudig uitbreiden:
17.13 Definitie. Zij . Een functie heet continu in een als voor iedere naar convergerende rij in de rij naar convergeert. De functie heet continu als hij continu is in iedere .
Evenals voor de reële exponentiële functie hebben we:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We hebben nu (het is duidelijk dat ):
Dus:
Als , dan ook , want . Ook geldt dat als . Het is duidelijk dat de eenheidscirkel een groep is onder vermenigvuldigen. Uit Propositie 17.15 volgt dat voor alle geldt dat en dus .
17.17 Propositie. De afbeelding is een homomorfisme van de groep (met de bewerking optellen) naar de groep (met de bewerking vermenigvuldigen).
Bewijs. Voor hebben we . □
We bestuderen deze afbeelding wat nauwkeuriger. Laat een positief reëel getal zijn. Dan ligt op de eenheidscirkel. De vraag is nu: waar op de eenheidscirkel?
Voor iedere beschouwen we de volgende punten op :
De afstanden van alle tweetallen opeenvolgende punten is gelijk:
zie Figuur 17.3. De som van deze afstanden is . Er geldt
en voor zo groot dat :
Dus en daarmee . Het getal is te interpreteren als de lengte van de boog van tot en dat is ook de hoek in radialen die de vector met de positieve -as maakt. Voor negatieve is de lengte van de boog van tot in de tegengestelde richting. Voor krijgen we . We hebben nu:
17.18 Stelling. De afbeelding is een surjectief homomorfisme van de groep (met optellen) naar de groep (met vermenigvuldigen). Verder geldt voor alle dat dan en slechts dan als .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
17.19 Sinus en cosinus. De functies sinus en cosinus worden in dit boek niet gebruikt. Hier wordt alleen hun verband met de complexe exponentiële functie beschreven. Zij . Het reële deel van het complexe getal is per definitie de cosinus van en het imaginaire deel is keer de sinus van :
De bekende somformules voor de sinus en de cosinus volgen hieruit:
We hebben: en . Algemener kunnen we voor willekeurige definiëren:
Dan
en
Zie Definitie 11.44 voor de terminologie van eenheidswortels.
Bewijs. . □
Een is een -de eenheidswortel als hij een oplossing is van de vergelijking . Het getal is een oplossing en ook alle machten van zijn oplossingen. We hebben dus verschillende oplossingen: . Omdat een vergelijking van graad is, zijn er niet meer oplossingen en dus:
We hebben nu:
17.22 Propositie. Voor iedere is het aantal -de eenheidswortels in gelijk aan . Het zijn de getallen . □
De eenheidswortels in zijn dus de beelden van de de getallen met onder de afbeelding .
Voor hebben we . Het getal ligt op de eenheidscirkel en is dus van de vorm met . Het getal is zo gegeven door z’n modulus en het getal .
17.23 Definitie. Zij . Als , dan heet het argument van . Het argument is op gehele veelvouden van na bepaald. Als bovendien , dan heet de hoofdwaarde van het argument. Notatie .
Laat een complex getal zijn met modulus en argument en laat een complex getal zijn met modulus en argument . Dan
De modulus van is het product van de moduli van en (dat wisten we al) en het argument van is de som van de argumenten van en . Vermenigvuldigen in betekent dus het vermenigvuldigen van de moduli en het optellen van de argumenten.
We hebben een volledig overzicht van het verband tussen de optelgroep en de vermenigvuldigingsgroep dat wordt gegeven door de exponentiële afbeelding . Het is een surjectief groepshomomorfisme en er geldt . In Figuur 17.5 het beeld onder de exponentiële functie van het vierkant met hoekpunten .
Uit de eigenschappen van de exponentiële functie volgt dat ieder complex getal een -de-machts wortel heeft voor iedere : zij , dan
Of uitgedrukt in modulus en argument: als met en , dan
Voor iedere is er dus een met . Er zijn, als , verschillende complexe getallen die tot de macht gelijk zijn aan :
We hebben dan, omdat de graad van gelijk aan is: