We beschrijven hier kort het Vermoeden van Riemann. Het is een van de grote onopgeloste
problemen in de wiskunde.
17.35 Definitie. De zetafunctie van Riemann is de complexe functie
met
Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz 1826 – Selasca 1866)
Riemann studeerde wiskunde in Göttingen en later in Berlijn, waar hij veel geleerd
heeft van Eisenstein, Jacobi en vooral van Dirichlet. Zijn proefschrift over complexe functies
was opmerkelijk. Hij introduceerde daarin wat we nu noemen Riemannoppervlakken.
Gauß haalde hem terug naar Göttingen. Daar werkte hij aan zijn Habilitation: een extra
proeve van bekwaamheid in Duitsland die vereist is om te mogen doceren aan een universiteit.
Het werk dat is voortgekomen uit de 30 maanden die hij eraan besteedde is van
grote invloed geweest. Hij werd later tot hoogleraar in Göttingen benoemd en
vervolgens werd hij lid van de Berlijnse Academie van Wetenschappen. Daarvoor
moest hij een rapport schrijven over zijn laatste onderzoek. Daarin introduceerde hij
de zetafunctie als complexe functie en formuleerde hij wat nu het Vermoeden van
Riemann heet. Zie The MacTutor History of Mathematics archive voor meer over
Riemann.
Hierbij is .
Om historische redenen wordt bij dit soort functies de complexe variabele met een
aangegeven en
niet met een . Ook
schrijft men dan niet ,
maar . Verder
is gedefinieerd
als . De reeks
convergeert voor .
Voor
staat er de harmonische reeks en die divergeert. Het is mogelijk de functie
voort te zetten tot een nette ( = differentieerbare) functie op
.
Daarbij is een verband (de functionele vergelijking van de zetafunctie van Riemann) tussen
en
:
Hierbij is een voortzetting
van de functie
gedefinieerd op .
Dit verband werd al door Euler vermoed. Het is bewezen door Riemann in 1859. De functiewaarde
was door Euler
uitgerekend: .
Euler kon zelfs
voor
uitrekenen:
waarbij
het -de
Bernoulligetal is, zie Definitie 9.32. Verder hebben we
,
en
voor
. Van
met
oneven en
is weinig bekend. Pas in 1978 toonde de Frans wiskundige Apéry aan dat
irrationaal is.
De zetafunctie heeft nulpunten in de even negatieve gehele getallen. Riemann liet zien dat er ook oneindig
veel nulpunten
zijn met .
Andere nulpunten zijn er niet. Het Vermoeden van Riemann luidt:
voor alle nulpunten van de zetafuntie.
De Duitse wiskundige Hans Carl Friedrich von Mangoldt (1854 – 1925) toonde aan dat
het Vermoeden van Riemann equivalent is met het volgende elementair geformuleerde
vermoeden:
De nulpunten van de zetafunctie van Riemann geven informatie over het verschil van
( = aantal
priemgetallen
) en ,
een door Gauß gevonden verfijning van de benadering
.