] >
Is een element van een lichaam geen kwadraat, dan zijn er manieren om het lichaam groter te maken zodat wel een kwadraat in dat grotere lichaam is en wel op een zuinige manier, d.w.z. dat het met minder elementen niet kan. Het kan zijn dat er al een groter lichaam is waarin een kwadraat is. Dan is daarbinnen een lichaam te vinden zoals we het willen hebben. Eerst een voorbeeld.
Het getal is geen kwadraat in en wel in het grotere lichaam . Als je behalve de elementen van ook in je lichaam wilt hebben, dan krijg je door optellen en vermenigvuldigen in ieder geval alle elementen van de vorm met . Deze vormen de verzameling
Deze deelverzameling van is gesloten onder optellen en vermenigvuldigen:
en
Ook is hij gesloten onder inverteren: als , dan
Omdat de rekenregels in gelden, gelden ze ook voor elementen van . De elementen van zijn bepaald door een tweetal van rationale getallen. Het rekenen in kan met een computer gebeuren omdat de elementen van te representeren zijn in de computer. In paragraaf 18.2 zullen we daar gebruik van maken.
We hebben op een analytische manier uitgebreid tot . Bij die uitbreiding zijn er veel oplossingen van veeltermvergelijkingen bijgekomen. Ook als we niet hadden zouden we kunnen construeren: we gaan uit van paren , we definiëren optellen en vermenigvuldiging voor die paren en bewijzen dat het een lichaam is. Dat is precies wat we gedaan hebben bij de uitbreiding van tot waar we ervoor gezorgd hebben dat een kwadraat wordt. Toen was zo’n groter lichaam er niet. We hebben op een algebraïsche manier uit geconstrueerd. We gaan deze constructie algemener beschrijven.
We gaan uit van een lichaam en een die geen kwadraat in is. Verder nemen we aan dat niet van karakteristiek is, d.w.z. , ofwel . Het enige lichaam van karakteristiek dat we in dit hoofdstuk tegenkomen is het lichaam en dat zullen we apart bekijken. We gaan een lichaam construeren met . Hebben we zo’n lichaam, dan rekenen we in feite met elementen , waarbij we gebruiken dat . We weten dus wat we willen hebben. We moeten het alleen nog maken.
We beschrijven de verzameling en de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen in . We nemen . De optelling is
en de vermenigvuldiging
Dat de rekenregels gelden is eenvoudig te verifiëren. Het nulelement is en het eenheidselement is . Is ongelijk aan , dan
Omdat geen kwadraat is, geldt dat . Dus is inverteerbaar en daarmee is dat ook. Dus heeft ieder element verschillend van het nulelement een inverse. We hebben een injectieve afbeelding
die optellen en vermenigvuldigen behoudt. Het lichaam is via deze afbeelding isomorf met . We zien als een uitbreiding van : voor schrijven we weer en omdat schrijven we voor . Dan wordt de notatie voor . Rekenen met de elementen betekent dat de rekenregels gebruikt kunnen worden en dat . Vaak zullen we noteren als .
Het is niet alleen het element van dat in een vierkantswortel heeft:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We hebben nu een overzicht over alle lichamen van de vorm :
Bewijs.
18.4 Definitie. Het element (met ) heet de geconjugeerde in van . De afbeelding noemen we conjugeren in .
Bewijs. Voor en hebben we
en
Het is duidelijk dat . □
Bewijs. . □
met . De constructie levert dus één nieuw lichaam op, namelijk , ofwel . Dat is precies de constructie uit hoofdstuk 17. Complex conjugeren is hetzelfde als het conjugeren in . De complexe norm is . Het lichaam is volledig en we hebben gezien dat daaruit volgt dat ook volledig is m.b.t. de complexe absolute waarde (= complexe norm). We hadden ook een wortel uit een ander negatief reëel getal kunnen adjungeren. Dat had een lichaam opgeleverd dat isomorf is met .
Zij met en , d.w.z. is geen kwadraat. We hebben met . Doordat een -voud is voor alle met geldt dat . Voor hebben we dus
Op elk van deze lichamen wordt door een niet-Archimedische absolute waarde gedefinieerd die de absolute waarde op voortzet. Deze lichamen zijn volledig m.b.t. deze absolute waarde. Voor het eerste en het derde lichaam geldt dat deze voortzetting van de absolute waarde nieuwe waarden aanneemt, bijvoorbeeld: uit volgt . We werken dat hier niet verder uit. In paragraaf 18.5 bestuderen we de norm van deze lichamen naar .
Voor is de situatie een beetje anders. Er zijn zeven uitbreidingen van te maken door adjunctie van een vierkantswortel:
18.9 Voorbeeld. Het lichaam bestaat uit kwadraten. Wel is er een veelterm van graad zonder nulpunten in , namelijk . Het adjungeren van nulpunten van veeltermen kan worden uitgebreid tot kwadratische veeltermen zonder nulpunten in het lichaam. In dit geval wordt zo een groter lichaam verkregen waarin een met . De elementen van dat lichaam zijn dan , , en . Het is een lichaam met vier elementen en wordt met aangeduid. Het is een lichaam van karakteristiek , want er geldt ook in dit grotere lichaam .