] >
18.10 Definitie. We noemen een een kwadratisch getal als een oplossing is van een kwadratische vergelijking met coëfficiënten in .
Zij een kwadratisch getal, zeg is een oplossing van met . Schrijven we en met en , dan is nulpunt van de veelterm , een veelterm met gehele coëfficiënten. Door te delen door (=) kunnen we bereiken dat een nulpunt is van een veelterm , waarbij , en . Bij ieder kwadratisch getal is er precies één zo’n veelterm:
Bewijs. We moeten de uniciteit nog aantonen. Stel dat ook met , en . Dan
en dus , want anders . Dus , en dus ook . Dus . Evenzo . En dus . Maar dan ook en . □
We hebben nu een correspondentie tussen enerzijds kwadratische getallen en anderzijds viertallen met , , , en geen kwadraat in . Zo’n viertal bepaalt de vergelijking en deze heeft twee oplossingen:
ofwel met . De twee oplossingen zijn elkaars geconjugeerde. Reële kwadratische getallen horen bij viertallen waarvoor bovendien geldt dat .
18.12 Definitie. Hoort het kwadratische getal bij het viertal , dan noemen we het getal de discriminant van , en we noteren dit getal als . Dus
18.13 Lemma. Zij een kwadratisch getal. Dan zijn ook , en kwadratische getallen en zij hebben dezelfde discriminant als .
Bewijs. Hoort bij , dan hoort bij , bij , en bij . In elk van deze gevallen is de discriminant gelijk aan . □