] >
Optellen is een bewerking van natuurlijke getallen: aan een tweetal natuurlijke getallen wordt een natuurlijk getal toegevoegd. De volgorde van en is in het algemeen van belang. Bij optellen niet, maar dat is een nog te bewijzen regel. Het is een van de regels in de volgende stelling. Het zijn regels waaraan voldaan zou moeten zijn wil je een bewerking een optelling noemen.
2.5 Stelling.
Optellen is associatief:
Voor alle geldt: .
Het getal is een neutraal element (een nulelement) voor de optelling:
Voor alle geldt: .
Optellen is commutatief:
Voor alle geldt: .
Schrapwet voor de optelling:
Voor alle geldt: als , dan .
2.6 Definities. Een verzameling tezamen met een associatieve bewerking noemt men een halfgroep. Is er bovendien een neutraal element dan spreekt men van een monoïde. Als de bewerking ook nog commutatief is dan wordt het een Abelse monoïde genoemd.
De natuurlijke getallen tezamen met de optelling is dus een voorbeeld van een Abelse monoïde met schrapwet.
Niels Henrik Abel (Frindø 1802 – Froland 1829)
We hebben de functie isum gedefinieerd. Deze functie is gebaseerd op succ. Met de computer kun je verifiëren dat de zo gedefinieerde optelling commutatief is:
Met de computer kun je nooit meer constateren dan dat de regel in een eindig aantal gevallen klopt. Dat is nog geen bewijs.
We bewijzen de vier regels in deze stelling afzonderlijk: het zijn de Proposities 2.7, 2.8, 2.10 en 2.11. Daarbij zal vaak het principe van volledige inductie worden toegepast. We beginnen met de associativiteit.
Bewijs.
Laten en willekeurige natuurlijke getallen zijn. We bewijzen de uitspraak
: voor alle geldt
met volledige inductie. Eerst tonen we aan dat geldt:
Stel is een natuurlijk getal waarvoor . Dan geldt ook , want
Dus geldt voor iedere waarvoor geldt. Met het principe van volledige inductie concluderen we dat geldt voor alle natuurlijke getallen .
Dus geldt voor alle dat . □
Dit bewijs is uitvoerig uitgeschreven. Het volgt het schema alle en daarbinnen het schema volledige inductie. Gewoonlijk noteert men de bewijzen korter:
alle (kort)
|
Zij . |
Dus . |
De voor de hand liggende conclusie wordt dan achterwege gelaten. Een bewijs met volledige inductie is op die manier minder uitvoerig:
volledige inductie (kort)
| |
Dus .
| |
Stel is een natuurlijk getal met . | |
Dus . | |
Met volledige inductie volgt dat voor alle .
| |
In kan op twee manieren haakjes geplaatst worden. Associativiteit betekent dat het niet uitmaakt hoe de haakjes geplaatst worden. Dat geldt niet alleen voor een som met drie termen maar ook voor sommen met meer termen. Bijvoorbeeld bij vier termen:
Als het toch niet uitmaakt hoe de haakjes worden geplaatst, kunnen we ze voor het gemak beter helemaal niet plaatsen. We spreken af dat hetzelfde betekent als deze uitdrukking met daarin wel haakjes geplaatst.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Voordat we de commutativiteit van de optelling bewijzen leiden we eerst een speciaal geval af.
Bewijs. We bewijzen met volledige inductie dat de volgende eigenschap geldt voor alle :
.
volgt uit de definitie van optellen: .
Zij een natuurlijk getal met , ofwel . Dan . Dus geldt ook .
Met volledige inductie volgt dat geldt voor alle . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Associativiteit van de optelling houdt in dat in een som met meer dan twee termen het niet nodig is om haakjes te plaatsen. Omdat een neutraal element is kunnen termen weggelaten worden. De commutativiteit van de optelling maakt dat ook de volgorde van de termen niet van belang is.
Bewijs. Laten en willekeurige natuurlijke getallen zijn. We bewijzen met volledige inductie dat de uitspraak
als , dan
geldt voor alle natuurlijke getallen . Voor volgt het rechtstreeks uit de definitie van de optelling.
Stel is een natuurlijk getal met .
Stel dat . Omdat de opvolgers van en gelijk zijn, zijn ook en gelijk (axioma). Uit volgt dat .
Dus geldt .
Met volledige inductie volgt dat voor alle . □
Om een uitspraak van de vorm
als , dan
te bewijzen kan men veronderstellen en daarmee bewijzen. Schema:
als, dan
| |
Stel . | |
Dus . | |
Dus: als , dan .
| |
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Dit is een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde. Een manier om een uitspraak van de vorm ‘niet ’ te bewijzen is gegeven in het volgende schema.
niet | |
Stel . | |
Tegenspraak. | |
Dus niet . | |
Een bewijs uit het ongerijmde is gebaseerd op het uitgangspunt dat als iets niet niet het geval is, het wel het geval is:
ongerijmde
| |
Stel niet . | |
Tegenspraak. | |
Dus . | |
Bewijs.
Stel . Dan is een opvolger: voor een (Propositie 2.1). We hebben . De getallen en hebben dezelfde opvolger. Dus . Uit Propositie 2.12 volgt dat .
Dus of . □
Om een uitspraak van de vorm ‘ of ’ te bewijzen volstaat het te bewijzen:
of |
Dus . |
Dus of . |
Meestal, zoals hierboven, is voor het bewijzen van ‘ of ’ een andere aanpak effectiever, zeker als het niet duidelijk is of of geldt:
als niet, dan
| |
Stel niet . | |
Dus . | |
Dus of .
| |
Voor de volledigheid ook nog een schema voor een uitspraak van de vorm ‘ en ’. Natuurlijk is hij bewezen als zowel als bewezen is.
en |
Dus . |
Dus . |
Dus en . |