] >
We beschouwen nu alleen reële kwadratische getallen. Deze getallen hebben (oneindige) kettingbreukontwikkelingen. We zullen zien dat de reële kwadratische getallen juist de getallen zijn met een repeterende kettingbreukontwikkeling. De kettingbreukontwikkeling van een hangt nauw samen met het verloop van de transformatie
De transformatie laat zich beperken tot een transformatie van de reële kwadratische getallen en zelfs tot transformaties van deelverzamelingen van kwadratische getallen met eenzelfde discriminant:
18.14 Propositie. Zij . Dan geldt: is een kwadratisch getal, dan en slechts dan als een kwadratisch getal is. En is een kwadratisch getal, dan .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Niet iedere treedt als discriminant op: uit volgt dat en dus dat . Verder is geen kwadraat. Is aan deze voorwaarden voldaan, dan zijn er reële kwadratische getallen met die discriminant: als , dan , en als , dan .
Reële getallen kunnen in de computer niet exact worden gerepresenteerd: in het algemeen zijn daar oneindig veel gegevens voor nodig, bijvoorbeeld alle decimalen van het getal. Beperken we ons tot kwadratische getallen, dan is het wel mogelijk: reële kwadratische getallen corresponderen met viertallen , waarbij , , , en . De functies ent(alpha), inv(alpha) en phi(alpha) geven de entier, de inverse en het -beeld van alpha. De functie sub(alpha, n) geeft alpha minus het gehele getal n.
Om te bewijzen dat de kettingbreukontwikkeling van een reëel kwadratisch getal repeteert beginnen we met een speciaal geval.
18.15 Propositie. Zij een reëel kwadratisch getal met en . Dan repeteert de kettingbreukontwikkeling van .
Bewijs. Laat de discriminant zijn van . Het getal is ook kwadratisch en heeft eveneens discriminant . Verder volgt uit
dat
Dus is de verzameling van kwadratische getallen met
invariant onder . Verder is deze verzameling eindig, want voor zo’n geldt (zeg hij hoort bij het viertal ) dat en dus dat en bovendien moet gelden dat . De termen van de rij zijn dus elementen van een eindige verzameling. In die rij treedt herhaling op. Daaruit volgt dat de rij repeteert. □
18.16 Voorbeeld. Voor geldt dat . We zagen al eerder dat de kettingbreukontwikkeling van repeteert: .
Om een zuiver repeterende ontwikkeling te krijgen hebben we sterkere voorwaarden nodig:
18.18 Stelling. Een gereduceerd reëel kwadratisch getal heeft een zuiver repeterende kettingbreukontwikkeling.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
18.19 Voorbeeld. Voor geldt en dus is een gereduceerd reëel kwadratisch getal. Hij heeft een zuiver repeterende kettingbreukontwikkeling: .
18.20 Voorbeeld. We berekenen de gereduceerde kwadratische getallen van discriminant . Zulke getallen corresponderen met drietallen waarbij , , , . Duidelijk is dat even is. We hebben dus met geheel. Uit volgt dat gelijk is aan , , , of . Vervolgens bepalen we de mogelijke getallen , die bij een gegeven passen: het zijn positieve delers van . Hoort bij een drietal , dan
Deze is gereduceerd dan en slechts dan als
ofwel
hetgeen equivalent is met
I.h.b. is negatief. We vinden
De gereduceerde kwadratische getallen van discriminant zijn:
De transformatie beperkt tot deze verzameling heeft twee banen: één met vier elementen en één met zes elementen. Door het verloop van onder te bepalen (en dus de kettingbreukontwikkeling van ) vind je de baan met vier elementen. Dat zijn dus niet alle gereduceerde kwadratische getallen van discriminant , er zijn er nog zes die tezamen ook een baan van vormen.
Nu het algemene geval:
Bewijs. We veronderstellen dat . (Vervang anders door ). Vervolgens tonen we aan dat er een is zo dat . We doen dat uit het ongerijmde.
Stel dat voor alle .
Zij . Er geldt
en dus
Ook geldt
Dus , zodat ook .
Dus hebben en dezelfde kettingbreukontwikkeling, en zijn daarom aan elkaar gelijk, hetgeen niet het geval is.
We mogen dus aannemen dat en (neem een in plaats van ). Uit
volgt dat . Maar dan op dezelfde wijze en heeft dus een repeterende kettingbreukontwikkeling. Het kwadratische getal heeft zelfs een zuiver repeterende kettingbreukontwikkeling, want hij is gereduceerd. (Aangenomen dat ). □
Het omgekeerde geldt ook:
18.22 Stelling. Zij een reëel getal met repeterende kettingbreukontwikkeling. Dan is een kwadratisch getal.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Is een gereduceerd reëel kwadratisch getal, dan is dat ook. Er is een eenvoudig verband tussen de kettingbreukontwikkelingen van deze getallen:
Bewijs. We schrijven . Dan
Hieruit volgt de propositie, immers . □