] >
Voor , geen kwadraat, beschouwen we de vergelijking van Pell:
We zullen een methode beschrijven waarmee we alle (oneindig vele) oplossingen van deze vergelijking bij een gegeven kunnen vinden. Deze methode is gebaseerd op de kettingbreukontwikkeling van het reële kwadratische getal . We schrijven:
voor . Dan . Verder schrijven we en voor en .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De propositie zegt dus dat en dat het rijtje getallen symmetrisch is: het is gelijk aan het rijtje in de omgekeerde volgorde.
Heeft de vergelijking van Pell een oplossing, dan komen we die oplossing tegen in de kettingbreukontwikkeling van :
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Laat nu de lengte van de kleinste periode zijn van de kettingbreukontwikkeling van :
We kunnen precies aangeven waar in de kettingbreukontwikkeling van we de oplossing tegenkomen:
Bewijs. Voor alle hebben we: en dus
(18.1) |
Hieruit volgt
Uit volgt nu: als een oplossing is van , dan is even, en als een oplossing is van , dan is oneven. Ook hebben we (eveneens met (18.1)):
en dus
Dan
En dus .
Dus
ofwel
En dus ook:
Aftrekken levert
We vinden dus: de oplossingen van zijn alle met en even; de oplossingen van zijn alle met en oneven. I.h.b. heeft alleen oplossingen als oneven is.
18.28 Voorbeeld. . We berekenen en :
Dus . De vergelijking heeft geen oplossingen. De andere oplossingen zijn , , , ….
Een manier om uit een gegeven oplossing een andere oplossing te vinden is als volgt: is een oplossing, dan
en dus ook
voor alle . Het getal is van de vorm met en is dan gelijk aan . Ook is dan een oplossing. In feite geldt: de oplossing met de kleinste is en de andere oplossingen, dus met , kunnen verkregen worden door uitwerken van . Zo volgt uit
dat ook .
De vergelijking van Pell speelt een rol bij het oplossen van andere kwadratische vergelijkingen: is bijvoorbeeld een oplossing van en is een oplossing van , dan is het getal van de vorm met . Ook is dan een oplossing van .
Of de vergelijking een oplossing heeft is niet altijd direct aan te zien zonder daarbij eerst de periode van de kettingbreukontwikkeling te bepalen. Wel zijn er een paar speciale gevallen.
18.29 Propositie. Stel de Diophantische vergelijking is oplosbaar. Dan is een som van twee kwadraten in .
Bewijs. De periode van de kettingbreukontwikkeling van is oneven:
Dan geldt voor :
Verder geldt . Laat horen bij het viertal . Uit de symmetrie in de kettingbreukontwikkeling van volgt
ofwel . Dus , ofwel . Dus , ofwel met ook , want is even. □
Het omgekeerde is niet waar: is een som van twee kwadraten
maar de kettingbreukontwikkeling van heeft een even periode:
Uit Voorbeeld 18.20 blijkt dat er twee gereduceerde kwadratische getallen zijn van discriminant met de gewenste symmetrie in de kettingbreukontwikkeling: en . De gelijkheid kunnen we omschrijven tot . De vergelijking heeft geen oplossing met gehele getallen, maar wel met rationale getallen.
In speciale gevallen geldt het omgekeerde wel:
Bewijs. Laat de periode zijn van de kettingbreukontwikkeling van .
Stel is even. Dan is een oplossing van , ofwel
Dan is oneven en even. Dus
en . Duidelijk is dat . Dus:
voor zekere . Dan
terwijl . Tegenspraak.
Dus is oneven, ofwel is een oplossing van . □
Opnieuw krijgen we Stelling 12.8:
18.32 Gevolg. Laat een priemgetal zijn en bovendien een -voud plus . Dan is een som van twee kwadraten. □
De Indiase wiskundige Brahmagupta (Ujjain(?) 598 – 670) maakte als eerste een systematische studie van de vergelijking van Pell. Het algoritme voor de oplossing gaat terug tot het werk van Bhaskara (Vijayapura 1114 – Ujjain 1185). In de zeventiende eeuw werden er vorderingen gemaakt door Fermat, Wallis en Brouncker. De volledige oplossing is van Euler (onafhankelijk van de Indiase voorgeschiedenis) en deze is verder gepolijst in termen van kettingbreuken door Lagrange. De vergelijking werd door Euler aan Pell toegeschreven, waarschijnlijk door een misverstand. Het is onbekend of Pell een bijdrage aan de oplossing heeft geleverd.
De functie confrac(alpha) geeft de kettingbreukontwikkeling van alpha. Voor de kettingbreukontwikkeling van is het niet nodig het verloop te onthouden omdat voor het repeteren alleen naar de entier gekeken hoeft te worden: de ontwikkeling repeteert nadat de entier van het kwadratische getal het dubbele van is, zie ook opgave ??. Daarvan wordt gebruik gemaakt bij de oplossing van de vergelijking van Pell. De functie pell(d) geeft een drietal , waarbij de oplossing van de vergelijking en de lengte van de periode van de kettingbreukontwikkeling van .