] >
In hoofdstuk 12 hebben we het volgende representatieprobleem bekeken:
Zij geen kwadraat. Voor welke zijn er met ?
We beschouwen nu een eenvoudiger representatieprobleem:
Zij geen kwadraat. Voor welke zijn er met ?
Anders geformuleerd:
Zij geen kwadraat. Voor welke is er een met ?
Met nog andere woorden: wat is het beeld van de afbeelding ? Zijn er met , dan is deze vergelijking dus oplosbaar in ieder lichaam dat omvat, zoals de completeringen en van . We gaan in paragraaf 18.6 onze aandacht op die completeringen richten. Daarna tonen we aan dat uit de oplosbaarheid van de vergelijking in elk van de completeringen van , de oplosbaarheid in volgt.
Er is een formulering mogelijk die symmetrisch is in en :
18.33 Propositie. Zij een lichaam. Laten en elementen van zijn. Dan zijn equivalent:
Bewijs.
Laten en rationale getallen zijn, niet beide negatief. Dan vormen de met een ellips of een hyperbool. We laten zien dat, als er een oplossing in is, er ook oneindig veel van zulke oplossingen zijn.
De redenering is als volgt. Laat een oplossing zijn. Beschouw de lijn door met richtingscoëfficiënt . De vergelijking van deze lijn is
Deze lijn snijdt de kromme in twee punten, waaronder . Substitutie van in geeft een kwadratische vergelijking in :
Omdat een oplossing is, is de andere oplossing ook een element van en met vinden we dat tweede snijpunt. Het heeft ook rationale coördinaten. Bij iedere vinden we zo een punt van de kromme met rationale coördinaten. Hebben we omgekeerd zo’n punt, dan gaat er een lijn door dat punt en , een lijn met een rationale richtingscoëfficiënt, tenzij dat andere punt is, want dan is de lijn evenwijdig aan de -as. In deze redenering moet voor het geval dat de lijn de kromme raakt het raakpunt gezien worden als twee samenvallende snijpunten.
18.34 Voorbeeld. Het punt ligt op de cirkel . We snijden we met de lijn . Het andere snijpunt is:
zie Figuur 18.1. We krijgen zo een parametrisering van de rationale punten op de cirkel, met uitzondering van het punt . Met en vind je de Pythagoreïsche drietallen.
18.35 Voorbeeld. Het punt ligt op de ellips . Met bovenstaande methode kan een parametrisering worden gevonden van de rationale punten op de ellips (met uitzondering van ):
zie Figuur 18.2.
Is een vergelijking oplosbaar in een lichaam , dan zijn er dus meer oplossingen: op een enkele oplossing na kunnen ze geparametriseerd worden met de elementen van .