In deze paragraaf is een
van de completeringen van ,
dus of
voor een
priemgetal .
18.36 Definitie. Voor
definiëren we
Het getal
heet het Hilbertsymbool van
en .
Het Hilbertsymbool is een afbeelding van
naar .
(Het beeld van het paar
wordt ook met
aangeduid, uit de context moet blijken of het paar getallen of het getal in
bedoeld wordt.)
Merk op dat het Hilbertsymbool
alleen afhangt van de kwadraatklassen van
en .
Het lichaam
heeft twee kwadraatklassen,
heeft er vier als
oneven is en
heeft er acht.
David Hilbert (Königsberg 1862 – Göttingen 1943)
Hilbert was een veelzijdig wiskundige. In 1900 hield hij een invloedrijke voordracht op het
tweede internationale congres van wiskundigen in Parijs waarin hij de 23 problemen opsomde
die hij als uitdaging voor de wiskunde van de twintigste eeuw zag. Daaronder de
continuümhypothese (zie bladzijde §) en het Vermoeden van Riemann (zie
paragraaf 17.5). Hilbert heeft veel bijgedragen aan de getaltheorie, de functionaalanalyse (de
Hilbertruimte) en de mathematische fysica. Hij nam intensief deel aan de discussies over de
grondslagen van de wiskunde.
Als
een kwadraat is, dan volgens (i) en (ii): .
Is
geen kwadraat, dan is volgens Propositie 18.33
een norm van een element van .
Er geldt dan dat
een norm van een element van
is dan en slechts dan als
dat is. Pas dan nogmaals Propositie 18.33 toe.
Dit volgt uit (iii) en (v): .
□
We zullen later zien dat
voor alle .
De onderdelen (ii) en (v) van de propositie zijn daar speciale gevallen van. Deze
regel zegt dat het Hilbertsymbool multiplicatief is in de tweede variabele. Hij is
het dan wegens (i) ook in de eerste. Men zegt daarom dat het Hilbertsymbool
bimultiplicatief is.
We gaan voor elk van de completeringen van
formules afleiden voor het Hilbertsymbool. Bedenk daarbij dat het
Hilbertsymbool alleen afhangt van de kwadraatklassen van de getallen. Voor
is de
situatie eenvoudig:
18.38 Propositie.Voorhebben we
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We gaan eerst een formule bepalen voor het Hilbertsymbool op
met
oneven. Daarvoor eerst een lemma.
18.39 Lemma.Er is een zodat en beide geen kwadraat zijn modulo .
Bewijs. Beschouw de permutatie
Niet alle niet-kwadraten kunnen een kwadraat als beeld hebben: in
zijn
niet-kwadraten en
kwadraten. Er is dus een niet-kwadraat
zodat
ook geen kwadraat is. □
Representanten van de kwadraatklassen in
zijn ,
,
en
, waarbij
een niet-kwadraat
modulo is.
We nemen
zo dat en
beide geen
kwadraten modulo
zijn.
18.40 Stelling.Zij een oneven priemgetal. Laten en elementen van zijn. Dan en met en .Zij en met .Dan
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Ook voor het Hilbertsymbool op
leiden we een formule af.
18.41 Stelling.Laten en elementen van zijn. Dan en met en .Zij en met .Dan
Bewijs. Eerst gaan we weer na dat de uitdrukking rechts bimultiplicatief is. Zij
als in de formulering
van de stelling en zij
met
en .
Dan ,
en
. We kijken naar de exponent
van in de formule. Het gaat
om deze exponent modulo .
Uit Lemma 12.31 volgt
Hieruit volgt dat de uitdrukking rechts van het gelijkteken bimultiplicatief is.
We hoeven dus alleen naar representanten van kwadraatklassen te kijken. We nemen als
representanten van de zeven kwadraatklassen die uit niet-kwadraten bestaan de
getallen
We berekenen
dus in 28 gevallen. In elk van deze gevallen zal de uitkomst in overeenstemming zijn met de
formule.
We laten zien dat .
Stel dat .
Dan zijn er
met .
Wegens symmetrie kunnen we aannemen dat .
Dan
en dus ,
zeg
met .
Dan
en .
We hebben dan: .
In
is een kwadraat congruent met
of
modulo .
Elk van de drie kwadraten is dus
modulo .
Tegenspraak, want
omdat .
Dus .
Enkele nuttige gevallen. We gebruiken Propositie 18.37.
De resterende gevallen .
De resterende gevallen .
De resterende gevallen .
De resterende gevallen .
De resterende gevallen .
□
Voor de Hilbertsymbolen hebben we nu in het bijzonder:
18.42 Stelling.Voor alle geldt
,
,
voor .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Uit deze drie regels volgen de andere regels:
Normen
Zij
geen kwadraat. Dan:
Voor iedere kwadraatklasse van
geldt dat hij ofwel geen norm bevat, ofwel uit louter normen bestaat. Uit de eigenschappen
van het Hilbertsymbool volgt dat de helft van de kwadraatklassen uit normen bestaat.
18.43Voorbeeld. Zij
met
geen kwadraat, d.w.z. .
Dan
en de positieve elementen van
zijn normen: alleen de kwadraten zijn normen van elementen van .
18.44Voorbeeld. Het getal
is geen kwadraat in .
In
zijn er vier kwadraatklassen. Ze worden gerepresenteerd door ,
,
en .
De klasse van
is de klasse van de kwadraten en dat zijn normen van .
Er geldt .
Dit is een element van de klasse van .
Die klasse bestaat dus ook uit normen. In de andere twee klassen zijn geen normen. Met
Hilbertsymbolen: ,
,
en .
Ook
is geen kwadraat. De normen van
zitten in de klassen van
en .
Verificatie hiervan met Hilbertsymbolen: ,
,
en .
18.45Voorbeeld. Door adjunctie van vierkantswortels zijn uit
zeven lichamen te maken. In onderstaande
tabel is in elk van de zeven gevallen aangegeven welke van de acht kwadraatklassen van
uit normen bestaan.