] >
Getallen zijn elementen van iedere completering van . Bij elk van die completeringen hoort een Hilbertsymbool .
18.46 Definitie. Laten en rationale getallen zijn en zij een priemgetal. Dan definiëren we
waarbij het Hilbertsymbool op is. Verder definiëren we
waarbij het Hilbertsymbool op is. Voor iedere (inclusief ) hebben we dan een afbeelding
het Hilbertsymbool op met betrekking tot . Deze kan ook zijn. Zowel priemgetallen als noemen we voortaan priemen. Dat is vaak handig bij het formuleren van stellingen. We kennen er hier verder geen betekenis aan toe.
Het representatieprobleem
Zij . Voor welke zijn er met ?
is volgens Propositie 18.33 equivalent met
Zij . Voor welke zijn er met ?
Zijn er bij een zulke en , dan is dat dus ook het geval in iedere completering van , ofwel voor alle priemen .
18.47 Voorbeeld. In 12.43 bepaalden we alle die representeerbaar zijn in de vorm . Is een representeerbaar in de vorm , dan voor alle priemen . We gaan de bepalen waarvoor dit laatste geldt. Het is duidelijk dat en representeerbaar zijn. We kunnen aannemen dat geheel is en kwadraatvrij en dat , ofwel . We hebben:
We hebben dus voor kwadraatvrije met dat een product is van priemgetallen die of modulo zijn en dat zelf modulo is. Het teken van hangt dus af van het even of oneven zijn van het aantal priemdelers . Betrekken we ook en hierbij, dan krijgen we precies de beschrijving in 12.43. Nu hebben we alleen laten zien dat het nodige voorwaarden zijn, niet dat ze voldoende zijn.
Om bij gegeven en de Hilbertsymbolen uit te rekenen is het voldoende ze op één na uit te rekenen. Dat volgt uit de productformule voor Hilbertsymbolen:
18.48 Stelling. Laten en rationale getallen zijn. Dan
Hierbij is het product over alle priemen genomen.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
In de productformule voor Hilbertsymbolen zijn dus de kwadratische reciprociteitswet en de bijbehorende aanvullende wetten terug te vinden.
In sommige gevallen is de oplosbaarheid van vergelijkingen over af te leiden uit hun oplosbaarheid over alle completeringen van . In zulke gevallen zegt men dat het principe van Hasse geldt. De vergelijkingen over zijn daar voorbeelden van.
Bewijs. We moeten nog bewijzen dat uit voor alle priemen volgt dat er zijn met . We kunnen aannemen dat en kwadraatvrije gehele getallen zijn en dat . Het bewijs gaat met inductie naar .
Als , dan . Omdat kunnen we aannemen dat en dan is in oplosbaar.
Stel met voor alle priemen en stel dat in oplosbaar is voor alle kwadraatvrije waarvoor en voor alle priemen .
Omdat en , hebben we . Laat een priemdeler zijn van . Als en , dan . Dus is een kwadraat modulo . Ook is een kwadraat modulo als of . Dus is een kwadraat modulo alle priemdelers van het kwadraatvrije getal . Met de Chinese reststelling volgt dat een kwadraat is modulo . Er zijn dus met en . Uit volgt dat voor alle priemen en dus dat ook voor alle priemen . Verder geldt dat en dus (want ). Laat het kwadraatvrije deel van zijn, dus met kwadraatvrij. Dan en voor alle priemen . Uit de inductieaanname volgt dan dat er zijn met en dus zijn er ook met . We kunnen aannemen dat . Dan volgt uit Propositie 18.33 dat een norm van een element van is. Ook is ook zo’n norm: . Dus is een norm van een element van , ofwel er zijn met . □
18.50 Voorbeeld. We bepalen de getallen die te representeren zijn in de vorm . We kunnen ons beperken tot kwadraatvrije gehele getallen. Omdat representeerbaar is, kunnen we ook aannemen dat . Verder is het duidelijk dat alleen positieve representeerbaar kunnen zijn. We onderscheiden twee gevallen.
Ook moet gelden
Het getal is dus een product van priemgetallen die er in twee soorten zijn:
De voorwaarde betekent dat een even aantal priemdelers van van soort II is.
Ook moet gelden
Het getal is dus een product van priemgetallen van soort I en II en het aantal priemdelers van soort II is oneven.
Op grond van de productformule is het niet nodig de symbolen te berekenen. We hebben dus:
Een is representeerbaar in de vorm als , even is voor alle priemgetallen en bovendien even is, waarbij de verzameling is van de priemgetallen tezamen met het priemgetal .