] >
2.27 Definitie. Laten en natuurlijke getallen zijn. Zij een natuurlijk getal met . Dan heet het verschil van en . Notatie: .
Merk op dat als er zo’n bestaat, er geen andere is: is een natuurlijk getal met , dan , en dus met de schrapwet: . Daarom kunnen we spreken van het verschil.
Het verschil van en bestaat als je bij kunt beginnen met tellen en zo tegenkomt. Heb je keer de opvolger genomen, dan is het verschil.
2.28 Definitie. Laten en natuurlijke getallen zijn. We zeggen dat kleiner is dan of gelijk is aan als er een bestaat zo dat . Notatie: (of en dan zeggen we dat groter dan of gelijk aan is). Als , dus als , dan zeggen we dat kleiner is dan . Notatie: (of : groter dan ).
Dus:
En: .
2.29 Propositie. De relatie is een ordening van , d.w.z.:
Bewijs.
Tussen een natuurlijk getal en z’n opvolger zijn er geen natuurlijke getallen:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De volgende propositie zegt dat de natuurlijke getallen door totaal geordend zijn: voor natuurlijke getallen en geldt dat of . Zowel als kan dus alleen als . Dus één van de volgende drie uitspraken is waar: , , .
Bewijs. Zij een willekeurig natuurlijk getal. We bewijzen met volledige inductie dat de uitspraak
: of
geldt voor alle natuurlijke getallen . Het is duidelijk dat geldt: .
Laat een natuurlijk getal zijn met . Als , dan . Stel dus dat niet . Dan volgens geldt en dus voor een . Omdat , is een opvolger: , met . Dan en dus . □
De volgende propositie beschrijft de relatie met de optelling.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De relatie met de vermenigvuldiging is beschreven in de volgende propositie.
Bewijs.
Stel dat niet . Dan volgens Propositie 2.31 , ofwel voor een . Dan en dus , want . Tegenspraak.
Dus . □
Omdat voor ieder tweetal natuurlijke getallen geldt dat of , bestaat dus het verschil of het verschil .
Propositie 2.31 maakt dat er een algoritme is om van twee natuurlijke getallen het verschil te bepalen, als het er is: je neemt van beide de opvolger, met het resultaat doe je hetzelfde, etc. Totdat je een van deze getallen opnieuw krijgt. De propositie zegt dat dat gaat gebeuren. In een schema voor de getallen en :
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Hieraan is te zien dat en dat .
Het algoritme is eenvoudig om te zetten in Python-code en deze voegen we toe aan integer.py.
Dan:
2.34 Definities en notaties. Is de vergelijking oplosbaar, dan zeggen we dat een -voud is en als noteren we de oplossing als . (Uit de schrapwet voor de vermenigvuldiging volgt dat die oplossing uniek is.)
Is de vergelijking oplosbaar, dan zeggen we dat een -de macht is en als noteren we de oplossing als . Deze is uniek als . (Dat volgt met volledige inductie uit de schrapwet voor de vermenigvuldiging.)
Is de vergelijking oplosbaar, dan zeggen we dat een macht van is en als noteren we de oplossing als . Ook deze is uniek.
Een belangrijk doel van de uitbreidingen van het getalsysteem is zoveel getallen te hebben dat vergelijkingen als deze steeds oplossingen hebben, maar dat is niet alles wat we willen. We willen ook dat de normale rekenregels blijven gelden. En dat is misschien wel teveel gevraagd. Dat dat allemaal mogelijk is spreekt in ieder geval niet vanzelf.