] >
Voor het vergelijken van verzamelingen maken we gebruik van afbeeldingen tussen die verzamelingen. We definiëren eerst dit in de wiskunde fundamentele begrip afbeelding.
3.1 Definitie. Een afbeelding van een verzameling naar een verzameling bestaat uit
Een transformatie van een verzameling is een afbeelding van naar .
3.2 Notaties. Is een afbeelding van naar , dan noteren we dat vaak als of als . Om aan te geven dat een onder het beeld is van een , dus , schrijven we ook . Merk op dat er een verschil is in het gebruik van de symbolen en .
3.3 Terminologie. Een ander woord voor afbeelding is functie. Een afbeelding van naar heet dan een functie op met waarden in . In de terminologie van functies noemen we gewoonlijk de waarde van de functie in . Hier zullen we het woord functie vooral gebruiken als het codomein uit getallen bestaat en bovendien het codomein zelf er niet zo toe doet. We hebben het dan over een functie op . De functiewaarden zijn dan getallen. Breiden we het getalsysteem uit, dan hebben we dus meer functies op . Nu hebben we alleen nog maar functies met waarden in de natuurlijke getallen.
3.4 Voorbeeld. Zij en zij . Een afbeelding van naar ligt vast door bij iedere een element van te geven; dat element heet dan . Dus bijvoorbeeld: , , en . Voor iedere hebben we zo een beeld . Je kunt dit in een plaatje overzichtelijk weergeven, zie Figuur 3.1.
Deze afbeelding kan ook genoteerd worden als . Het beeld van een staat dan recht onder . Uit de notatie blijkt wat het domein van de afbeelding is, het codomein ligt er niet mee vast.
Deze manier om een afbeelding , waarbij eindig is, te noteren zullen we incidenteel gebruiken. Het is geen algemeen aanvaarde notatie en meestal zijn er betere notaties.
3.5 Voorbeelden. Bij ieder natuurlijk getal hoort de opvolger van dat getal. We kunnen dit zien als een afbeelding van naar :
Andere voorbeelden van afbeeldingen zijn:
De afbeeldingen en worden gegeven door een formule, namelijk , respectievelijk . Of, als je graag een in een formule ziet, en . In de schoolwiskunde wordt een afbeelding (een functie) vaak gedefinieerd als een formule. Hier gaat het niet om formules, zie bijvoorbeeld Voorbeeld 3.4. Het enige dat telt is dat ieder element van het domein een beeld heeft in het codomein.
3.6 Definitie. Zij en zij . De beperking van tot is de afbeelding . Een afbeelding , waarbij heet een voortzetting van tot als de beperking van tot is.
Een afbeelding heeft een unieke beperking tot een gegeven deelverzameling. De voortzetting van een afbeelding tot een is niet uniek, tenzij .