] >
Natuurlijke getallen zijn er om mee te tellen. Ze zijn er om het aantal elementen van een eindige verzameling mee aan te geven. Bewerkingen van natuurlijke getallen stemmen overeen met bewerkingen van verzamelingen: de optelling hoort bij de vereniging, de vermenigvuldiging hoort bij het Cartesisch product.
Bewijs. De afbeeldingen en zijn elkaars inversen. □
De volgende voor de hand liggende propositie, die het verenigen van verzamelingen in verband brengt met optellen, ligt ten grondslag aan veel telprincipes.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Vermenigvuldigen hoort bij het Cartesisch product van verzamelingen:
Bewijs. We bewijzen dit met inductie naar . Voor , d.w.z. is leeg, is ook leeg. Geldt de uitspraak voor , dan te bewijzen dat hij ook geldt als . Stel . Kies een . Er geldt
Uit Propositie 3.40 volgt dan
□
3.42 Notatie. Laten en verzamelingen zijn. De verzameling van alle afbeeldingen van naar noteren we als . Dus
Machtsverheffen hoort bij deze verzameling van alle afbeeldingen:
Bewijs. We bewijzen dit met inductie naar . Voor bestaat uit één element: . Geldt de uitspraak voor , dan te bewijzen dat hij ook geldt als . Stel . Kies een . De afbeelding
waarbij de beperking van tot is, is een bijectie en dus volgens Propositie 3.41